Base de proporción áurea

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La base de la proporción áurea es un sistema de numeración posicional no entero que utiliza la proporción áurea (el número irracional 1 + √5/2 ≈ 1,61803399 simbolizado por la letra griega φ) como su base. A veces se denomina base-φ, base media dorada, phi-base o, coloquialmente, phinary. Cualquier número real no negativo se puede representar como un número de base φ usando solo los dígitos 0 y 1, y evitando la secuencia de dígitos "11" – esto se llama un formulario estándar. Un número de base φ que incluye la secuencia de dígitos "11" siempre se puede reescribir en forma estándar, usando las propiedades algebraicas de la base φ - más notablemente que φ (φ¹) + 1 (φ⁰) = φ². Por ejemplo, 11_φ = 100_φ.

A pesar de usar una base numérica irracional, cuando se usa la forma estándar, todos los números enteros no negativos tienen una representación única como una expansión de base-φ terminal (finita). El conjunto de números que poseen una representación de base finita φ es el anillo Z[1 + √5/2]; juega el mismo papel en estos sistemas numéricos que los racionales diádicos juegan en los números binarios, brindando la posibilidad de multiplicar.

Otros números tienen representaciones estándar en base-φ, mientras que los números racionales tienen representaciones recurrentes. Estas representaciones son únicas, excepto que los números con una expansión terminal también tienen una expansión no terminal. Por ejemplo, 1 = 0,1010101... en base-φ al igual que 1 = 0,99999... en base-10.

Ejemplos

Decimal	Poderes de φ	Base φ
1	φ⁰	1
2	φ¹ + φ⁻²	10.01
3	φ² + φ⁻²	100.01
4	φ² + φ⁰ + φ⁻²	101.01
5	φ³ + φ⁻¹ + φ⁻⁴	1000.1001
6	φ³ + φ¹ + φ⁻⁴	1010.0001
7	φ⁴ + φ⁻⁴	10000.0001
8	φ⁴ + φ⁰ + φ⁻⁴	10001.0001
9	φ⁴ + φ¹ + φ⁻² + φ⁻⁴	10010.0101
10	φ⁴ + φ² + φ⁻² + φ⁻⁴	10100.0101

Escribir números base de proporción áurea en forma estándar

En el siguiente ejemplo, la notación 1 se usa para representar −1.

211.01_φ no es un número de base φ estándar, ya que contiene un "11" y además un "2" y un "1" = −1, que no son "0" o "1".

Para "estandarizar" un número, podemos usar las siguientes sustituciones: 011_φ = 100_φ, 0200_φ = 1001_φ, 010_φ = 101_φ y 110_φ = 001_φ. Podemos aplicar las sustituciones en el orden que queramos, ya que el resultado es el mismo. Abajo, las sustituciones aplicadas al número de la línea anterior están a la derecha, el número resultante a la izquierda.

211.01_φ
300.01_φ	011_φ → 100_φ
1101.01_φ	0200_φ → 1001_φ
10001.01_φ	011_φ → 100_φ (de nuevo)
10001.101_φ	010_φ → 101_φ
10000.011_φ	110_φ → 001_φ
10000.1_φ	011_φ → 100_φ (de nuevo)

Cualquier número positivo con una representación base-φ de terminación no estándar se puede estandarizar de forma única de esta manera. Si llegamos a un punto donde todos los dígitos son "0" o "1", excepto que el primer dígito sea negativo, entonces el número es negativo. (La excepción a esto es cuando el primer dígito es uno negativo y los siguientes dos dígitos son uno, como 1111.001=1.001.) Esto se puede convertir al negativo de una representación de base φ negando cada dígito, estandarizando el resultado y luego marcándolo como negativo. Por ejemplo, use un signo menos o algún otro significado para indicar números negativos. Si la aritmética se realiza en una computadora, es posible que se devuelva un mensaje de error.

Representación de números enteros como números base de proporción áurea

Podemos considerar que nuestro número entero es el (único) dígito de un número de base φ no estándar y estandarizarlo, o hacer lo siguiente:

1 × 1 = 1, φ × φ = 1 + φ y 1/φ = −1 + φ. Por lo tanto, podemos calcular

()a + bφ) + (c + dφ) = (a + c) + (b + d)φ),

()a + bφ) - (c + dφ) = (a − c) + (b − d)φ)

()a + bφ) ×c + dφ) = (ac + bd) + (ad + bc + bd)φ).

Entonces, usando solo valores enteros, podemos sumar, restar y multiplicar números de la forma (a + bφ), e incluso representar potencias enteras positivas y negativas de ϕ.

(a + bφ) > (c + dφ) si y solo si 2(a − c) − (d − b) > (d − b) × √5 . Si un lado es negativo y el otro positivo, la comparación es trivial. De lo contrario, eleve al cuadrado ambos lados para obtener una comparación de enteros, invirtiendo la dirección de comparación si ambos lados fueran negativos. Al elevar al cuadrado ambos lados, el √5 se reemplaza por el número entero 5.

Entonces, usando solo valores enteros, también podemos comparar números de la forma (a + bφ).

Para convertir un entero x a un número base-φ, note que x =x + 0φ).
Subir el poder más alto de φ, que es todavía más pequeño que el número que tenemos, para obtener nuestro nuevo número, y registrar un "1" en el lugar apropiado en el número base-φ resultante.
A menos que nuestro número sea 0, vaya al paso 2.
Terminado.

El procedimiento anterior nunca dará como resultado la secuencia "11", ya que 11_φ = 100_φ, por lo que obtener un "11& #34; significaría que nos perdimos un "1" antes de la secuencia "11".

Empiece, por ejemplo, con un número entero = 5, siendo el resultado hasta ahora... 00000.00000..._φ

La potencia más alta de φ ≤ 5 es φ³ = 1 + 2φ ≈ 4,236067977

Restando esto de 5, tenemos 5 − (1 + 2φ) = 4 − 2φ ≈ 0.763932023..., el resultado hasta ahora es 1000.00000..._φ

La potencia más alta de φ ≤ 4 − 2φ ≈ 0,763932023... es φ⁻¹ = −1 + 1φ ≈ 0,618033989...

Restando esto de 4 − 2φ ≈ 0.763932023..., tenemos 4 − 2φ − (−1 + 1φ) = 5 − 3φ ≈ 0.145898034..., el resultado hasta ahora es 1000.10000..._φ

La potencia más alta de φ ≤ 5 − 3φ ≈ 0,145898034... es φ⁻⁴ = 5 − 3φ ≈ 0,145898034...

Restando esto de 5 − 3φ ≈ 0,145898034..., tenemos 5 − 3φ − (5 − 3φ) = 0 + 0φ = 0, siendo el resultado final 1000,1001_φ.

No unicidad

Al igual que con cualquier sistema de base n, los números con una representación terminal tienen una representación recurrente alternativa. En base 10, esto se basa en la observación de que 0,999...=1. En base-φ, el número 0.1010101... puede verse como igual a 1 de varias maneras:

Conversión a forma no estándar: 1 = 0.11_φ = 0.1011_φ = 0.101011_φ = 0.1010101010._φ
Serie geométrica: 1.0101010..._φ es igual a

{displaystyle sum _{k=0}{infty }varphi ^{-2k}={frac {1}{1-varphi ^{-2}=varphi }

Difference between "shifts": φ² x − x = 10.101010..._φ − 0.101010..._φ = 10_φ = φ so that x = φ/φ² − 1 = 1

Esta falta de unicidad es una característica del sistema de numeración, ya que tanto 1,0000 como 0,101010... están en forma estándar.

En general, el 1 final de cualquier número en base φ se puede reemplazar con un 01 recurrente sin cambiar el valor de ese número.

Representar números racionales como números base de proporción áurea

Todo número racional no negativo se puede representar como una expansión base-φ recurrente, al igual que cualquier elemento no negativo del campo Q[√5] = Q + √5Q, el campo generado por los números racionales y √5. Por el contrario, cualquier expansión base-φ recurrente (o terminal) es un elemento no negativo de Q[√5]. Para decimales periódicos, la parte periódica se ha sobrerayado:

1/2 Entendido.010_φ
1/3 Entendido.00101000_φ
√5 = 10.1_φ
2 + √5/13 Entendido 10.010100010001010100010001000000_φ

La justificación de que un racional da una expansión recurrente es análoga a la prueba equivalente para un sistema de numeración de base n (n = 2,3,4,...). Esencialmente, en la división larga base-φ solo hay un número finito de restos posibles, por lo que una vez debe haber un patrón recurrente. Por ejemplo, con 1/2 = 1/10.01_φ = 100_φ/1001_φ< /span> la división larga se ve así (tenga en cuenta que la resta base-φ puede ser difícil de seguir al principio):

.0 1 0 1
____________________________
1 0 0 1) 1 0 0,0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 comercio: 10000 = 1100 = 1011
----- tan 10000 - 1001 = 1011 - 1001 = 1001
1 0 0 0 0
1 0 1
---
etc.

Lo contrario también es cierto, en el sentido de que un número con una base φ recurrente; la representación es un elemento del campo Q[√5 ]. Esto se deriva de la observación de que una representación recurrente con período k involucra una serie geométrica con razón φ^−k, que sumará un elemento de Q[√5].

Representación de números irracionales de nota como números base de proporción áurea

Las representaciones base-φ de algunos números interesantes:

π ♥ 100.0100 1010 1001 0001 0101 0100 0001 0100..._φ (secuencia) A102243 en el OEIS)
$e$ ♥ 100.0000 1000 0100 1000 0000 0100..._φ (secuencia) A105165 en el OEIS)
√2 ≈ 1.0100 0001 0100 1010 0100 0000 0101 0000 0000 0101..._φ
φ = 1+√5/2 = 10_φ
√5 = 10.1_φ

Suma, resta y multiplicación

Es posible adaptar todos los algoritmos estándar de la aritmética en base 10 a la aritmética en base φ. Hay dos enfoques para esto:

Calcular, luego convertir a forma estándar

Para la suma de dos números de base φ, agregue cada par de dígitos, sin acarreo, y luego convierta el número a la forma estándar. Para la resta, reste cada par de dígitos sin pedir prestado (pedir prestado es una cantidad negativa de acarreo) y luego convertir el número a la forma estándar. Para la multiplicación, multiplique en la forma típica de base 10, sin acarreo, luego convierta el número a la forma estándar.

Por ejemplo,

2 + 3 = 10.01 + 100.01 = 110.02 = 110.1001 = 1000.1001
2 × 3 = 10.01 × 100.01 = 1000.1 + 1.0001 = 1001.1001 = 1010.0001
7 − 2 = 10000.0001 − 10.01 = 10010,0101 = 1110,0101 = 1001.0101 = 1000.1001

Evitar dígitos que no sean 0 y 1

Un estilo más "nativo" El enfoque es evitar tener que sumar dígitos 1+1 o restar 0 – 1. Esto se hace reorganizando los operandos en forma no estándar para que estas combinaciones no ocurran. Por ejemplo,

2 + 3 = 10.01 + 100.01 = 10.01 + 100.0011 = 110.0111 = 1000.1001
7 − 2 = 10000.0001 − 10.01 = 1100.0001 − 10.01 = 1011.0001 − 10.01 = 1010.1101 − 10.01 = 1000.1001

La resta que se ve aquí usa una forma modificada del estándar "trading" algoritmo de sustracción.

División

Ningún número racional no entero se puede representar como un número finito de base φ. En otras palabras, todos los números base-φ finitamente representables son enteros o (más probablemente) irracionales en un campo cuadrático Q[√5]. Debido a que la división larga tiene solo un número finito de restos posibles, una división de dos números enteros (u otros números con una representación de base φ finita) tendrá una expansión recurrente, como se demostró anteriormente.

Relación con la codificación Fibonacci

La codificación Fibonacci es un sistema de numeración estrechamente relacionado que se usa para números enteros. En este sistema, solo se usan los dígitos 0 y 1 y los valores posicionales de los dígitos son los números de Fibonacci. Al igual que con base-φ, la secuencia de dígitos "11" se evita reorganizando a una forma estándar, usando la relación de recurrencia de Fibonacci F_k+1 = F_k + F_k−1. Por ejemplo,

30 = 1×21 + 0×13 + 1×8 + 0×5 + 0×3 + 0×2 + 1×1 + 0×1 = 10100010_fib.

Uso práctico

Es posible mezclar la aritmética de base φ con las secuencias enteras de Fibonacci. La suma de números en una secuencia entera de Fibonacci general que se corresponden con los dígitos distintos de cero en el número de base φ es la multiplicación del número de base φ y el elemento en la posición cero en la secuencia. Por ejemplo:

producto 10 (10100.0101 base-φ) y 25 (Posición cero) = 5 + 10 + 65 + 170 = 250
base-φ: 1 0 0 0. 0 1 0 1
secuencia parcial:... 5 5 10 15 25 40 65 105 170 275 445 720 1165...
producto 10 (10100.0101 base-φ) y 65 (Posición cero) = 10 + 25 + 170 + 445 = 650
base-φ: 1 0 0 0. 0 1 0 1
secuencia parcial:... 5 5 10 15 25 40 65 105 170 275 445 720 1165...

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