Base (álgebra lineal)

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Conjunto de vectores utilizados para definir coordenadas

El mismo vector puede ser representado en dos bases diferentes (flechas púrpuras y rojas).

En matemáticas, un conjunto $B$ de vectores en un espacio vectorial $V$ se denomina base si cada elemento de $V$ se puede escribir de una manera única como una combinación lineal finita de elementos de $B$ . Los coeficientes de esta combinación lineal se denominan componentes o coordenadas del vector con respecto a $B$ . Los elementos de una base se denominan vectores base .

De manera equivalente, un conjunto $B$ es una base si sus elementos son linealmente independientes y cada elemento de $V$ es una combinación lineal de elementos de $B$ . En otras palabras, una base es un conjunto generador linealmente independiente.

Un espacio vectorial puede tener varias bases; sin embargo, todas las bases tienen el mismo número de elementos, lo que se denomina la dimensión del espacio vectorial.

Este artículo trata principalmente de espacios vectoriales de dimensión finita. Sin embargo, muchos de los principios también son válidos para espacios vectoriales de dimensión infinita.

Definición

Una base $B$ de un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ (como los números reales $R$ o los números complejos $C$ ) es un subconjunto linealmente independiente de $V$ que abarca $V$ . Esto significa que un subconjunto $B$ de $V$ es una base si cumple las dos condiciones siguientes:

independencia lineal: para cada subconjunto finito ${displaystyle {mathbf {v} _{1},dotscmathbf {v} _{m}}}$ de $B$ , si ${displaystyle c_{1}mathbf {v} _{1}+cdots +c_{m}mathbf {v} _{m}=mathbf {0} }$ para algunos ${displaystyle c_{1},dotscc_{m}}$ dentro $F$ , entonces ${displaystyle c_{1}=cdots =c_{m}=0}$ ;
propiedad: para cada vector $v$ dentro $V$ , uno puede elegir ${displaystyle a_{1},dotsca_{n}}$ dentro $F$ y ${displaystyle mathbf {v} _{1},dotscmathbf {v} _{n}}$ dentro $B$ tales que ${displaystyle mathbf {v} =a_{1}mathbf {v} _{1}+cdots +a_{n}mathbf {v} _{n}}$ .

Los cuero cabelludos $a_{i}$ se llaman las coordenadas del vector $v$ con respecto a la base $B$ , y por la primera propiedad se determinan únicamente.

Un espacio vectorial que tiene una base finita se llama de dimensión finita. En este caso, el subconjunto finito se puede tomar como $B$ para verificar la independencia lineal en la definición anterior.

A menudo es conveniente o incluso necesario ordenar los vectores base, por ejemplo, cuando se analiza la orientación o cuando se consideran los coeficientes escalares de un vector con respecto a una base sin referirse explícitamente a los elementos base. En este caso, la ordenación es necesaria para asociar cada coeficiente al elemento base correspondiente. Esta ordenación se puede realizar numerando los elementos base. Para enfatizar que se ha elegido un orden, se habla de una base ordenada, que por tanto no es simplemente un conjunto desestructurado, sino una secuencia, una familia indexada, o similar; ver § Bases ordenadas y coordenadas a continuación.

Ejemplos

Esta imagen ilustra la base estándar en R². Los vectores azules y naranjas son los elementos de la base; el vector verde se puede dar en términos de los vectores base, y así es dependiente linealmente de ellos.

El conjunto $R 2$ de los pares ordenados de números reales es un espacio vectorial bajo las operaciones de componente- adición sabia

{displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}

{displaystyle lambda (a,b)=(lambda a,lambda b),}

lambda

e 1 = (1, 0)

e 2 = (0, 1)

v = a, b)

R 2

{displaystyle mathbf {v} =amathbf {e} _{1}+bmathbf {e} _{2}.}

R 2

(1, 1)

(1, 2)

R 2

Más generalmente, si $F$ es un campo, el conjunto $F^{n}$ de n-tuples de elementos de $F$ es un espacio vectorial para la adición y multiplicación de escalar igualmente definida. Vamos

{displaystyle mathbf {e} _{i}=(0,ldots0,1,0,ldots0)}

n

i

{displaystyle mathbf {e} _{1},ldotsmathbf {e} _{n}}

{displaystyle F^{n},}

Bases estándar

{displaystyle F^{n}.}

Los anillos polinómicos dan un sabor diferente al ejemplo. Si $F$ es un campo, la colección $F [X]$ de todos los polinomios en un indeterminado $X$ con coeficientes en $F$ es un espacio vectorial $F$ . Una base para este espacio es la base monomio $B$ , que consta de todos los monomios:

{displaystyle B={1,X,X^{2},ldots }.}

F [X]

Propiedades

Muchas propiedades de las bases finitas resultan del lema de intercambio de Steinitz, que establece que, para cualquier espacio vectorial $V$ , dada una conjunto generador finito $S$ y un conjunto linealmente independiente $L$ de $n$ elementos de $V$ , uno puede reemplazar $n$ elementos bien elegidos de $S$ por los elementos de $L$ para obtener un conjunto de expansión que contiene $L$ , teniendo sus otros elementos en $S$ , y con el mismo número de elementos que $S$ .

La mayoría de las propiedades resultantes del lema de intercambio de Steinitz siguen siendo verdaderas cuando no hay un conjunto generador finito, pero sus pruebas en el caso infinito generalmente requieren el axioma de elección o una forma más débil del mismo, como el lema de ultrafiltro.

Si $V$ es un espacio vectorial sobre un campo $F$ , luego:

Si $L$ es un subconjunto linealmente independiente de un conjunto de spanning $S \subseteq V$ , entonces hay una base $B$ tales que ${displaystyle Lsubseteq Bsubseteq S.}$
$V$ tiene una base (esta es la propiedad anterior con $L$ siendo el conjunto vacío, y $S = V$ ).
Todas las bases de $V$ tienen la misma cardenalidad, que se llama la dimensión $V$ . Este es el teorema de dimensión.
Un conjunto generador $S$ es una base de $V$ si y sólo si es mínima, es decir, no subconjunto adecuado $S$ es también un conjunto generador de $V$ .
Un conjunto linealmente independiente $L$ es una base si y sólo si es maximal, es decir, no es un subconjunto adecuado de cualquier conjunto linealmente independiente.

Si $V$ es un espacio vectorial de dimensión $n$ , entonces:

Un subconjunto de $V$ con $n$ los elementos son una base si y sólo si es linealmente independiente.
Un subconjunto de $V$ con $n$ elementos es una base si y sólo si es un conjunto de azotes $V$ .

Coordenadas

Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$ sobre un campo $F$ , y

{displaystyle B={mathbf {b} _{1},ldotsmathbf {b} _{n}}}

V

v

V

{displaystyle mathbf {v} =lambda _{1}mathbf {b} _{1}+cdots +lambda _{n}mathbf {b} _{n},}

lambda _{1},ldotslambda _{n}

F

coordenadas

v

B

setset

{displaystyle 3mathbf {b} _{1}+2mathbf {b} _{2}}

{displaystyle 2mathbf {b} _{1}+3mathbf {b} _{2}}

{2, 3}

base ordenadamarco

Deja, como siempre, $F^{n}$ ser el conjunto de los n-tuples de elementos de $F$ . Este set es un $F$ - espacio del vencedor, con la multiplicación de adición y escalar definida componente-en sentido. El mapa

{displaystyle varphi:(lambda _{1},ldotslambda _{n})mapsto lambda _{1}mathbf {b} _{1}+cdots +lambda _{n}mathbf {b} _{n}}

F^{n}

V

F^{n}

V

n

{displaystyle varphi ^{-1}(mathbf {v})}

v

La imagen inversa por $varphi$ de $mathbf b_i$ es $n$ -tuple $mathbf {e} _{i}$ todos sus componentes son 0, excepto los $i$ que es 1. El $mathbf {e} _{i}$ form an ordered basis of $F^{n}$ , que se denomina base estándar o base canónica. The ordered basis $B$ es la imagen por $varphi$ de la base canónica $F^{n}$ .

De lo que precede que cada base ordenada es la imagen por un isomorfismo lineal de la base canónica de $F^{n}$ , y que todo isomorfismo lineal $F^{n}$ sobre $V$ puede definirse como el isomorfismo que mapea la base canónica de $F^{n}$ sobre una determinada base ordenada $V$ . En otras palabras, es equivalente a definir una base ordenada $V$ , o un isomorfismo lineal $F^{n}$ sobre $V$ .

Cambio de base

Vamos $V$ ser un espacio vectorial de dimensión $n$ sobre un terreno $F$ . Dados dos bases (ordenadas) ${displaystyle B_{text{old}}=(mathbf {v} _{1},ldotsmathbf {v} _{n})}$ y ${displaystyle B_{text{new}}=(mathbf {w} _{1},ldotsmathbf {w} _{n})}$ de $V$ , a menudo es útil para expresar las coordenadas de un vector $x$ con respecto a ${displaystyle B_{mathrm {old} }}$ en términos de las coordenadas con respecto a ${displaystyle B_{mathrm {new} }.}$ Esto puede ser hecho por cambio de fórmula de la base, que se describe a continuación. Los subscriptos "antiguos" y "nuevos" han sido elegidos porque es habitual referirse a ${displaystyle B_{mathrm {old} }}$ y ${displaystyle B_{mathrm {new} }}$ como vieja base y el nueva base, respectivamente. Es útil describir las viejas coordenadas en términos de las nuevas, porque, en general, hay expresiones que implican las antiguas coordenadas, y si se quiere obtener expresiones equivalentes en términos de las nuevas coordenadas; esto se obtiene reemplazando las antiguas coordenadas por sus expresiones en términos de las nuevas coordenadas.

Normalmente, los nuevos vectores base vienen dados por sus coordenadas sobre la base anterior, es decir,

{displaystyle mathbf {w} _{j}=sum _{i=1}^{n}a_{i,j}mathbf {v} _{i}.}

(x_1, ldots, x_n)

{displaystyle (y_{1},ldotsy_{n})}

x

{displaystyle x_{i}=sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},}

i = 1,... n

Esta fórmula puede estar concisamente escrita en notación de matriz. Vamos $A$ ser la matriz de la $a_{i,j}$ , y

{displaystyle X={begin{bmatrix}x_{1}\vdots \x_{n}end{bmatrix}}quad {text{and}}quad Y={begin{bmatrix}y_{1}\vdots \y_{n}end{bmatrix}}}

v

{displaystyle X=AY.}

La fórmula se puede probar considerando la descomposición del vector $x$ en las dos bases: uno tiene

{displaystyle mathbf {x} =sum _{i=1}^{n}x_{i}mathbf {v} _{i},}

{displaystyle mathbf {x} =sum _{j=1}^{n}y_{j}mathbf {w} _{j}=sum _{j=1}^{n}y_{j}sum _{i=1}^{n}a_{i,j}mathbf {v} _{i}=sum _{i=1}^{n}left(sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}right)mathbf {v} _{i}.}

La fórmula de cambio de base resulta entonces de la singularidad de la descomposición de un vector sobre una base, aquí ${displaystyle B_{text{old}}}$ ; eso es

{displaystyle x_{i}=sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},}

i = 1,... n

Nociones relacionadas

Módulo gratuito

Si se reemplaza el campo que aparece en la definición de un espacio vectorial por un anillo, se obtiene la definición de un módulo. Para los módulos, la independencia lineal y los conjuntos generadores se definen exactamente como para los espacios vectoriales, aunque "conjunto generador" se usa más comúnmente que el de "conjunto de expansión".

Al igual que para los espacios vectoriales, una base de un módulo es un subconjunto linealmente independiente que también es un conjunto generador. Una diferencia importante con la teoría de los espacios vectoriales es que no todos los módulos tienen una base. Un módulo que tiene una base se llama módulo libre. Los módulos libres juegan un papel fundamental en la teoría de módulos, ya que pueden ser utilizados para describir la estructura de módulos no libres a través de resoluciones libres.

Un módulo sobre los enteros es exactamente lo mismo que un grupo abeliano. Así, un módulo gratuito sobre los enteros es también un grupo abeliano libre. Grupos abelianos libres tienen propiedades específicas que no son compartidas por módulos sobre otros anillos. Específicamente, cada subgrupo de un grupo abeliano libre es un grupo abeliano libre, y, si $G$ es un subgrupo de un grupo abeliano libre de generación finita $H$ (eso es un grupo abeliano que tiene una base finita), entonces hay una base ${displaystyle mathbf {e} _{1},ldotsmathbf {e} _{n}}$ de $H$ y un entero $0 \leq k \leq n$ tales que ${displaystyle a_{1}mathbf {e} _{1},ldotsa_{k}mathbf {e} _{k}}$ es una base de $G$ , para algunos enteros no cero $a_{1},ldotsa_{k}$ . Para más detalles, consulte Grupo Abeliano Libre § Subgrupos.

Análisis

En el contexto de espacios vectoriales infinitas sobre los números reales o complejos, el término Hamel basis (llamado después de Georg Hamel) o base algebraica puede utilizarse para referirse a una base definida en este artículo. Esto es hacer una distinción con otras nociones de "basis" que existen cuando los espacios vectoriales de dimensiones infinitas están dotados de estructura extra. Las alternativas más importantes son las bases ortogonales en los espacios Hilbert, las bases Schauder y las bases Markushevich en los espacios lineales normados. En el caso de los números reales R visto como un espacio vectorial sobre el terreno Q de números racionales, las bases de Hamel son incontables, y tienen específicamente el cardenalismo del continuum, que es el número cardenal $2^{aleph _{0}}$ , Donde $aleph _{0}$ es el más pequeño cardenal infinito, el cardenal de los enteros.

La característica común de las otras nociones es que permiten tomar infinitas combinaciones lineales de los vectores base para generar el espacio. Esto, por supuesto, requiere que las sumas infinitas se definan significativamente en estos espacios, como es el caso de los espacios vectoriales topológicos, una gran clase de espacios vectoriales que incluyen, p. Espacios de Hilbert, espacios de Banach o espacios de Fréchet.

La preferencia de otros tipos de bases para espacios infinitas está justificada por el hecho de que la base Hamel se convierte en "demasiado grande" en los espacios de Banach: Si X es un espacio vectorial de dimensiones infinitas, y está completo (es decir, X es un espacio de Banach), entonces cualquier base de Hamel X es necesariamente incontable. Esta es una consecuencia del teorema de la categoría Baire. La integridad, así como la dimensión infinita, son supuestos cruciales en la reclamación anterior. De hecho, los espacios finitos-dimensionales tienen por definición bases finitas y hay infinitas dimensiones (no completo) espacios de protección que tienen bases de Hamel contables. Considerar $c_{00}$ , el espacio de las secuencias $x=(x_{n})$ de números reales que tienen sólo finitos muchos elementos no cero, con la norma ${textstyle |x|=sup _{n}|x_{n}|}$ . Su base estándar, consistente en las secuencias que tienen sólo un elemento no cero, que es igual a 1, es una base de Hamel contable.

Ejemplo

En el estudio de las series de Fourier, uno aprende que las funciones ${1} \cup { sin(nx), cos(nx): n = 1, 2, 3,... }$ son una "base ortogonal" del espacio vectorial (real o complejo) de todas las funciones (reales o de valor complejo) en el intervalo [0, 2π] que son integrables al cuadrado en este intervalo, es decir, funciones f que satisfacen

<math alttext="{displaystyle int _{0}^{2pi }left|f(x)right|^{2},dx∫ ∫ 02π π Silenciof()x)Silencio2dx.JUEGO JUEGO .{displaystyle int _{0}{2pi }left durablef(x)right sobre la vida^{2},dx obtenidosinfty.}<img alt="{displaystyle int _{0}^{2pi }left|f(x)right|^{2},dx

Las funciones ${1} \cup { sin(nx), cos(nx): n = 1, 2, 3,... }$ son linealmente independientes, y cada función f que es integrable al cuadrado en [0, 2π] es una "combinación lineal infinita& #34; de ellos, en el sentido de que

{displaystyle lim _{nto infty }int _{0}^{2pi }left|a_{0}+sum _{k=1}^{n}left(a_{k}cos left(kxright)+b_{k}sin left(kxright)right)-f(x)right|^{2}dx=0}

para coeficientes adecuados (reales o complejos) a_k, b_k. Pero muchas funciones cuadradas integrables no pueden representarse como combinaciones lineales finitas de estas funciones base, que por lo tanto no comprenden una base de Hamel. Cada base de Hamel de este espacio es mucho más grande que este conjunto de funciones meramente numerables. Las bases de Hamel de espacios de este tipo normalmente no son útiles, mientras que las bases ortonormales de estos espacios son esenciales en el análisis de Fourier.

Geometría

Las nociones geométricas de un espacio afinado, espacio proyector, conjunto convexo y cono tienen nociones relacionadas de base. An affine basis para una n- el espacio de afinación dimensional es $n+1$ puntos en posición lineal general. A base de proyectos es $n+2$ puntos en posición general, en un espacio proyectado de dimensión n. A base convex de un politopo es el conjunto de los vértices de su casco convexo. A cone basis consta de un punto por borde de un cono poligonal. Vea también una base Hilbert (programación lineal).

Base aleatoria

Para una distribución de probabilidad en $R n$ con una función de densidad de probabilidad, tal como la equidistribución en una bola n-dimensional con respecto a la medida de Lebesgue, se puede demostrar que $n$ los vectores elegidos al azar e independientemente formarán una base con probabilidad uno, lo cual se debe al hecho de que $n$ vectores linealmente dependientes x₁,..., x_n en $R n$ debe satisfacer la ecuación $det[x 1 \dots x n] = 0$ (determinante cero de la matriz con columnas $x i$ ), y el conjunto de ceros de un polinomio no trivial tiene medida cero. Esta observación ha llevado a técnicas para aproximar bases aleatorias.

Distribución empírica de longitudes N de cadenas casi ortogonales uniformes de vectores que se muestren aleatoriamente de forma independiente de las n- cubo dimensional

[1, a 1] n

como función de la dimensión, n. Boxplots muestra los cuartiles segundo y tercero de estos datos para cada uno n, las barras rojas corresponden a las medianas, y las estrellas azules indican los medios. La curva roja muestra un límite teórico dado por Eq. (1) y la curva verde muestra una estimación refinada.

Es difícil comprobar numéricamente la dependencia lineal o la ortogonalidad exacta. Por lo tanto, se utiliza la noción de ε-orthogonality. Para espacios con producto interior, x ε-orthogonal to Sí. si $<math alttext="{displaystyle left|leftlangle x,yrightrangle right|/left(left|xright|left|yright|right)Silencio.x,Sí..Silencio/().x..Sí..).ε ε {displaystyle left WordPressleftleftlangle x,yrightrangle right sobre la vida/left(leftpresentxrightleftlefthonerightrightrightright) <img alt="{displaystyle left|leftlangle x,yrightrangle right|/left(left|xright|left|yright|right)$ (es decir, cosina del ángulo entre $x$ y $Sí.$ es menos que $ε$ ).

En dimensiones altas, dos vectores aleatorios independientes son con alta probabilidad casi ortogonales, y el número de vectores aleatorios independientes, que son todos casi ortogonales con alta probabilidad por pares, crece exponencialmente con la dimensión. Más precisamente, considere la equidistribución en una bola n-dimensional. Elija N vectores aleatorios independientes de una bola (son independientes e idénticamente distribuidos). Sea θ un pequeño número positivo. Entonces para

{displaystyle Nleq e^{frac {varepsilon ^{2}n}{4}}[-ln(1-theta)]^{frac {1}{2}}}

(Eq. 1)

$N$ vectores aleatorios son todos pares ε-orthogonal con probabilidad $1 - Silencio$ . Esto $N$ crecimiento exponencialmente con dimensión $n$ y ${displaystyle Ngg n}$ para suficientemente grande $n$ . Esta propiedad de bases aleatorias es una manifestación de la llamada fenómeno de concentración.

La figura (derecha) ilustra la distribución de longitudes N de cadenas de vectores casi ortogonales por pares que se muestrean aleatoriamente de forma independiente del cubo n-dimensional $[-1, 1] n$ en función de la dimensión, n. Primero se selecciona aleatoriamente un punto en el cubo. El segundo punto se elige al azar en el mismo cubo. Si el ángulo entre los vectores estaba dentro de $π/2 \pm 0.037π/2$ , entonces se retenía el vector. En el siguiente paso se genera un nuevo vector en el mismo hipercubo y se evalúan sus ángulos con los vectores generados previamente. Si estos ángulos están dentro de $π/2 \pm 0.037π/2$ , entonces se retiene el vector. El proceso se repite hasta que se rompe la cadena de casi ortogonalidad, y se registra el número de dichos vectores casi ortogonales por pares (longitud de la cadena). Para cada n, se construyeron numéricamente 20 cadenas casi ortogonales por pares para cada dimensión. Se presenta la distribución de la longitud de estas cadenas.

Prueba de que todo espacio vectorial tiene una base

Sea $V$ cualquier espacio vectorial sobre algún campo $F$ . Sea $X$ el conjunto de todos los subconjuntos linealmente independientes de $V$ .

El conjunto $X$ no está vacío ya que el conjunto vacío es un subconjunto independiente de $V$ , y está parcialmente ordenado por inclusión, que se denota, como de costumbre, por $\subseteq$ .

Sea $Y$ un subconjunto de $X$ que es totalmente ordenado por $\subseteq$ , y sea $L Y$ la unión de todos los elementos de $Y$ (que son a su vez ciertos subconjuntos de $V).$

Dado que $(Y, \subseteq)$ está totalmente ordenado, cada subconjunto finito de $L Y$ es un subconjunto de un elemento de $Y$ , que es un subconjunto linealmente independiente de V, y por lo tanto $L Y$ es linealmente independiente. Así $L Y$ es un elemento de $X . Por lo tanto, L Y es un límite superior para Y en (X, \subseteq) : es un elemento de X, que contiene todos los elementos de Y .$

Como $X$ no está vacío, y cada subconjunto totalmente ordenado de $(X, \subseteq)$ tiene un límite superior en $X$ , el lema de Zorn afirma que $X$ tiene un elemento máximo. En otras palabras, existe algún elemento $L max$ de $X$ satisfaciendo la condición de que siempre que $L max \subseteq L$ para algún elemento $L$ de $X$ , luego $L = L max$ .

Queda por probar que $L max$ es una base de $V$ . Dado que $L max$ pertenece a $X$ , ya sabemos que $L max$ es un subconjunto linealmente independiente de $V$ .

Si hubiera algún vector $w$ de $V$ que no está en el rango de $L max$ , entonces $w$ tampoco sería un elemento de $L max$ . Sea $L w = L max \cup {w}$ . Este conjunto es un elemento de $X$ , es decir, es un subconjunto linealmente independiente de $V$ (porque w no está en el intervalo de L_max, y $L max$ es independiente). Como $L max \subseteq L w$ , y $L max \neq L w$ (porque $L w$ contiene el vector $w$ que no está contenido en $L max$ ), esto contradice la maximalidad de $L máx . Por lo tanto, esto muestra que L max abarca V .$

Por lo tanto, $L max$ es linealmente independiente y genera $V$ . Por tanto, es una base de $V$ , y esto prueba que todo espacio vectorial tiene una base.

Esta prueba se basa en el lema de Zorn, que es equivalente al axioma de elección. Por el contrario, se ha demostrado que si todo espacio vectorial tiene una base, entonces el axioma de elección es verdadero. Por lo tanto, las dos afirmaciones son equivalentes.

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