Axiomas de probabilidad
Los axiomas de Kolmogorov son los fundamentos de la teoría de la probabilidad introducida por Andrey Kolmogorov en 1933. Estos axiomas siguen siendo centrales y tienen contribuciones directas a las matemáticas, las ciencias físicas y los casos de probabilidad del mundo real. El teorema de Cox proporciona un enfoque alternativo para formalizar la probabilidad, favorecido por algunos bayesianos.
Axiomas
Los supuestos para establecer los axiomas se pueden resumir de la siguiente manera: Sea un espacio de medida siendo la probabilidad de algún evento E , y . Entonces es un espacio de probabilidad, con espacio muestral, espacio de eventos y medida de probabilidad .
Primer axioma
La probabilidad de un evento es un número real no negativo:
¿ Dónde está el espacio para eventos? De ello se deduce que siempre es finito, en contraste con la teoría de la medida más general. Las teorías que asignan probabilidad negativa relajan el primer axioma.
Segundo axioma
Esta es la suposición de unidad de medida: que la probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos elementales en todo el espacio muestral es 1
Tercer axioma
Esta es la suposición de σ-aditividad:Cualquier secuencia contable de conjuntos disjuntos (sinónimo de eventos mutuamente excluyentes) satisface
Algunos autores consideran simplemente espacios de probabilidad finitamente aditivos, en cuyo caso uno solo necesita un álgebra de conjuntos, en lugar de un σ-álgebra. Las distribuciones de cuasiprobabilidad en general relajan el tercer axioma.
Consecuencias
De los axiomas de Kolmogorov, se pueden deducir otras reglas útiles para estudiar probabilidades. Las pruebas de estas reglas son un procedimiento muy perspicaz que ilustra el poder del tercer axioma y su interacción con los dos axiomas restantes. A continuación se muestran cuatro de los corolarios inmediatos y sus demostraciones:
Monotonicidad
Si A es un subconjunto de o igual a B, entonces la probabilidad de A es menor o igual que la probabilidad de B.
Prueba de monotonicidad
Para verificar la propiedad de monotonicidad establecemos and , where y for . A partir de las propiedades del conjunto vacío (), es fácil ver que los conjuntos son disjuntos por parejas y . Por tanto, del tercer axioma se obtiene que
Como, por el primer axioma, el lado izquierdo de esta ecuación es una serie de números no negativos, y como converge a lo que es finito, obtenemos tanto como .
La probabilidad del conjunto vacío.
En muchos casos, no es el único evento con probabilidad 0.
Prueba de probabilidad del conjunto vacío
Defina para , entonces estos son disjuntos, y , por lo tanto, por el tercer axioma ; restando (que es finito por el primer axioma) se obtiene . De esto se sigue, junto con el primer axioma , así .
La regla del complemento
Prueba de la regla del complemento
Dados y son mutuamente excluyentes y que :
... (por el axioma 3)
y, ... (por el axioma 2)
El límite numérico
De la propiedad de monotonicidad se sigue inmediatamente que
Prueba del límite numérico
Dada la regla del complemento y el axioma 1 :
Otras consecuencias
Otra propiedad importante es:
Esto se llama la ley de probabilidad de la suma, o la regla de la suma. Es decir, la probabilidad de que suceda un evento en A o B es la suma de la probabilidad de un evento en A y la probabilidad de un evento en B, menos la probabilidad de un evento que está tanto en A como en B. La prueba de esto es la siguiente:
En primer lugar,... (por el Axioma 3)
Asi que,(por ).
También,
y eliminando de ambas ecuaciones nos da el resultado deseado.
Una extensión de la ley de la adición a cualquier número de conjuntos es el principio de inclusión-exclusión.
Poniendo B al complemento A de A en la ley de la suma se obtiene
Es decir, la probabilidad de que cualquier evento no suceda (o el complemento del evento) es 1 menos la probabilidad de que suceda.
Ejemplo simple: lanzamiento de moneda
Considere un solo lanzamiento de moneda y suponga que la moneda caerá cara (H) o cruz (T) (pero no ambas). No se hace ninguna suposición sobre si la moneda es justa.
Podemos definir:
Los axiomas de Kolmogorov implican que:
La probabilidad de que no salga ni cara ni cruz es 0.
La probabilidad de cara o cruz es 1.
La suma de la probabilidad de cara y la probabilidad de cruz es 1.
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