Axioma del infinito

En la teoría axiomática de conjuntos y las ramas de las matemáticas y la filosofía que la utilizan, el axioma del infinito es uno de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Garantiza la existencia de al menos un conjunto infinito, es decir, un conjunto que contiene los números naturales. Fue publicado por primera vez por Ernst Zermelo como parte de su teoría de conjuntos en 1908.

Declaración formal

En el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma dice:

∃ ∃ I()∅ ∅ ▪ ▪ I∧ ∧ О О x▪ ▪ I()()x∪ ∪ {}x})▪ ▪ I)).{displaystyle exists mathbf {I} ,(emptyset in mathbf {I} ,land ,forall xin mathbf {I} ,(,(xcup {x})in mathbf {I})). }

En palabras, hay un conjunto I (el conjunto que se postula infinito), tal que el conjunto vacío está en I, y tal que siempre que cualquier x es miembro de I, el conjunto formado por la unión de x con su singleton {x} también es miembro de I. Tal conjunto a veces se denomina conjunto inductivo.

Interpretación y consecuencias

Este axioma está estrechamente relacionado con la construcción de von Neumann de los números naturales en la teoría de conjuntos, en la que el sucesor de x se define como x ∪ {x}. Si x es un conjunto, entonces se deduce de los otros axiomas de la teoría de conjuntos que este sucesor también es un conjunto definido de forma única. Los sucesores se utilizan para definir la codificación teórica de conjuntos habitual de los números naturales. En esta codificación, cero es el conjunto vacío:

0 = {}.

El número 1 es el sucesor del 0:

1 = 0 ∪ {0} = {0} = {0} = {}}

Del mismo modo, 2 es el sucesor de 1:

2 = 1 ∪ {1} = {0} = {0,1} = {} {}}

y así sucesivamente:

3 = {0,1,2} = {} {}, {} {}}} }

4 = {0,1,2,3} = {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {}} {}}}} }

Una consecuencia de esta definición es que todo número natural es igual al conjunto de todos los números naturales precedentes. El recuento de elementos en cada conjunto, en el nivel superior, es el mismo que el número natural representado, y la profundidad de anidamiento del conjunto vacío anidado más profundo {}, incluida su anidación en el conjunto que representa el número del cual es una parte, es también igual al número natural que representa el conjunto.

Esta construcción forma los números naturales. Sin embargo, los otros axiomas son insuficientes para demostrar la existencia del conjunto de Todos números naturales, N0{displaystyle mathbb {N} _{0}. Por lo tanto, su existencia se toma como un axioma – el axioma del infinito. Este axioma afirma que hay un conjunto I que contiene 0 y se cierra bajo la operación de tomar el sucesor; es decir, para cada elemento I, el sucesor de ese elemento también está en I.

Así, la esencia del axioma es:

Hay un juego, I, que incluye todos los números naturales.

El axioma del infinito también es uno de los axiomas de von Neumann-Bernays-Gödel.

Extracción de los números naturales del conjunto infinito

El conjunto infinito I es un superconjunto de los números naturales. Para mostrar que los números naturales en sí mismos constituyen un conjunto, se puede aplicar el esquema axiomático de especificación para eliminar los elementos no deseados, dejando el conjunto N de todos los números naturales. Este conjunto es único por el axioma de extensionalidad.

Para extraer los números naturales, necesitamos una definición de qué conjuntos son números naturales. Los números naturales se pueden definir de una manera que no asume ningún axioma excepto el axioma de extensionalidad y el axioma de inducción: un número natural es cero o un sucesor y cada uno de sus elementos es cero o un sucesor de otro de sus elementos. En lenguaje formal, la definición dice:

О О n()n▪ ▪ N⟺ ⟺ ()[n=∅ ∅ Alternativa Alternativa ∃ ∃ k()n=k∪ ∪ {}k})]∧ ∧ О О m▪ ▪ n[m=∅ ∅ Alternativa Alternativa ∃ ∃ k▪ ▪ n()m=k∪ ∪ {}k})])).{displaystyle forall n(nin mathbf {N} iff ([n=emptyset ,,lor ,,,exists k(n=kcup {k})],,land ,,forall min[m=emptyset ,,lor,,m }

O, aún más formalmente:

О О n()n▪ ▪ N⟺ ⟺ ()[О О k()¬ ¬ k▪ ▪ n)Alternativa Alternativa ∃ ∃ kО О j()j▪ ▪ n⟺ ⟺ ()j▪ ▪ kAlternativa Alternativa j=k))]∧ ∧ {displaystyle forall n(nin mathbf {N} iff ([forall k(lnot kin n)lor exists kforall j(jin niff (jin klor j=k))]land }

О О m()m▪ ▪ n⇒ ⇒ [О О k()¬ ¬ k▪ ▪ m)Alternativa Alternativa ∃ ∃ k()k▪ ▪ n∧ ∧ О О j()j▪ ▪ m⟺ ⟺ ()j▪ ▪ kAlternativa Alternativa j=k)))]))).{displaystyle forall m(min nRightarrow [forall k(lnot kin m)lor exists k(kin nland forall j(jin miff (jin klor j=k))))])}

Método alternativo

Un método alternativo es el siguiente. Vamos CCPR CCPR ()x){displaystyle Phi (x)} ser la fórmula que dice "x es inductivo"; es decir, CCPR CCPR ()x)=()∅ ∅ ▪ ▪ x∧ ∧ О О Sí.()Sí.▪ ▪ x→ → ()Sí.∪ ∪ {}Sí.}▪ ▪ x))){displaystyle Phi (x)=(emptyset in xwedge forall y(yin xto (ycup {y}in x))}. Informalmente, lo que haremos es tomar la intersección de todos los conjuntos inductivos. Más formalmente, queremos demostrar la existencia de un conjunto único W{displaystyle W. tales que

О О x()x▪ ▪ WAdministración Administración О О I()CCPR CCPR ()I)→ → x▪ ▪ I)).{displaystyle forall x(xin Wleftrightarrow forall I(Phi (I)to xin I)). } (*)

Para la existencia, usaremos el Axioma del Infinito combinado con el esquema del Axioma de la especificación. Vamos I{displaystyle Yo... ser un conjunto inductivo garantizado por el Axioma del Infinito. Luego utilizamos el esquema de especificación de Axiom para definir nuestro conjunto W={}x▪ ▪ I:О О J()CCPR CCPR ()J)→ → x▪ ▪ J)}{displaystyle W={xin I:forall J(Phi (J)to xin J)} - i.e. W{displaystyle W. es el conjunto de todos los elementos de I{displaystyle Yo... que sucede también como elementos de cada otro conjunto inductivo. Esto claramente satisface la hipótesis de (*), ya que si x▪ ▪ W{displaystyle xin W}, entonces x{displaystyle x} está en cada conjunto inductivo, y si x{displaystyle x} está en cada conjunto inductivo, es en particular I{displaystyle Yo..., por lo que también debe estar en W{displaystyle W..

Para la singularidad, primera nota que cualquier conjunto que satisfies (*) es en sí mismo inductivo, ya que 0 está en todos los conjuntos inductivos, y si un elemento x{displaystyle x} está en todos los conjuntos inductivos, entonces por la propiedad inductiva así es su sucesor. Así, si hubiera otro conjunto W.{displaystyle W. que estén satisfechos (*) W.⊆ ⊆ W{displaystyle W'subseteq W} desde entonces W{displaystyle W. es inductivo, y W⊆ ⊆ W.{displaystyle W 'subseteq W' desde entonces W.{displaystyle W. es inductivo. Así W=W.{displaystyle W=W'. Vamos ⋅ ⋅ {displaystyle omega } denota este elemento único.

Esta definición es conveniente porque el principio de inducción sigue inmediatamente: Si I⊆ ⊆ ⋅ ⋅ {displaystyle I 'subseteq omega } es inductivo, entonces también ⋅ ⋅ ⊆ ⊆ I{displaystyle omega subseteq I}Así que I=⋅ ⋅ {displaystyle I=omega }.

Ambos métodos producen sistemas que satisfacen los axiomas de la aritmética de segundo orden, ya que el axioma del sistema de poder nos permite cuantificar sobre el conjunto de poder ⋅ ⋅ {displaystyle omega }Como en la lógica de segundo orden. Así ambos determinan completamente los sistemas isomorfos, y puesto que son isomorfos bajo el mapa de identidad, deben ser de hecho iguales.

Una versión aparentemente más débil

Una versión aparentemente más débil

∃ ∃ x()∃ ∃ Sí.()Sí.▪ ▪ x)∧ ∧ О О Sí.()Sí.▪ ▪ x→ → ∃ ∃ z()z▪ ▪ x∧ ∧ Sí.⊊ ⊊ z))).{displaystyle exists x,(exists y,(yin x),land ,forall y(yin x,rightarrow ,exists z(zin x,land ,ysubsetneq z))),}

Esto dice que hay un elemento en x y por cada elemento y de x hay otro elemento de x que es un superconjunto estricto de y. Esto implica que x es un conjunto infinito sin decir mucho sobre su estructura. Sin embargo, con la ayuda de los otros axiomas de ZF, podemos mostrar que esto implica la existencia de ω. Primero, si tomamos el conjunto potencia de cualquier conjunto infinito x, entonces ese conjunto potencia contendrá elementos que son subconjuntos de x de cada cardinalidad finita (entre otros subconjuntos de x). Demostrar la existencia de esos subconjuntos finitos puede requerir el axioma de separación o los axiomas de emparejamiento y unión. Entonces podemos aplicar el axioma de reemplazo para reemplazar cada elemento de ese conjunto potencia de x por el número ordinal inicial de la misma cardinalidad (o cero, si no existe tal ordinal). El resultado será un conjunto infinito de ordinales. Entonces podemos aplicar el axioma de unión para obtener un ordinal mayor o igual que ω.

Independencia

El axioma del infinito no se puede probar de los otros axiomas de ZFC si son consistentes. (Para ver por qué, note que ZFC ⊢ ⊢ {displaystyle vdash } Con(ZFC – Infinity) y utilizar el segundo teorema de incomplete de Gödel.)

La negación del axioma del infinito no puede derivarse del resto de los axiomas de ZFC, si son consistentes. (Esto equivale a decir que ZFC es consistente, si los otros axiomas son consistentes). Creemos esto, pero no podemos probarlo (si es cierto).

De hecho, utilizando el universo von Neumann, podemos construir un modelo de ZFC – Infinity + (¬Infinity). Es V⋅ ⋅ {displaystyle V_{omega }}, la clase de conjuntos hereditariamente finitos, con la relación de membresía heredada. Tenga en cuenta que si el axioma del conjunto vacío no se toma como parte de este sistema (ya que puede derivarse de ZF + Infinity), entonces el dominio vacío también satisfice ZFC – Infinity + ¬Infinity, ya que todos sus axiomas están universalmente cuantificados, y por lo tanto trivialmente satisfechos si no existe ningún conjunto.

La cardinalidad del conjunto de números naturales, aleph null (א א 0{displaystyle aleph _{0}), tiene muchas de las propiedades de un gran cardenal. Así el axioma del infinito es considerado a veces como el primero grande cardenal axiom, y a veces grandes axiomas cardenales son llamados axiomas más fuertes de la infinidad.