Axioma del conjunto vacío

En la teoría axiomática de conjuntos, el axioma del conjunto vacío es una afirmación que afirma la existencia de un conjunto sin elementos. Es un axioma de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek y la variante de la teoría general de conjuntos que Burgess (2005) llama "ST," y una verdad demostrable en la teoría de conjuntos de Zermelo y la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, con o sin el axioma de elección.

Declaración formal

En el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma dice:

∃ ∃ xО О Sí.¬ ¬ ()Sí.▪ ▪ x){displaystyle exists x,forall y,lnot (yin x)}

o en palabras:

Hay un conjunto tal que ningún elemento es miembro de él.

Interpretación

Podemos usar el axioma de extensionalidad para mostrar que solo hay un conjunto vacío. Como es único podemos nombrarlo. Se llama el conjunto vacío (indicado por { } o ∅). El axioma, expresado en lenguaje natural, es en esencia:

Existe un conjunto vacío.

Esta fórmula es un teorema y se considera verdadera en todas las versiones de la teoría de conjuntos. La única controversia es sobre cómo debe justificarse: convirtiéndolo en un axioma; derivándolo de un axioma (o lógica) de existencia de conjuntos y del axioma de separación; derivándolo del axioma del infinito; o algún otro método.

En algunas formulaciones de ZF, el axioma del conjunto vacío en realidad se repite en el axioma del infinito. Sin embargo, existen otras formulaciones de ese axioma que no presuponen la existencia de un conjunto vacío. Los axiomas ZF también se pueden escribir usando un símbolo constante que representa el conjunto vacío; entonces el axioma del infinito usa este símbolo sin requerir que esté vacío, mientras que el axioma del conjunto vacío es necesario para afirmar que, de hecho, está vacío.

Además, a veces se consideran teorías de conjuntos en las que no hay conjuntos infinitos, y entonces es posible que aún se requiera el axioma del conjunto vacío. Sin embargo, cualquier axioma de la teoría o lógica de conjuntos que implique la existencia de cualquier conjunto implicará la existencia del conjunto vacío, si se tiene el esquema axiomático de separación. Esto es cierto, ya que el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto que consta de aquellos elementos que satisfacen una fórmula contradictoria.

En muchas formulaciones de lógica de predicados de primer orden, siempre se garantiza la existencia de al menos un objeto. Si la axiomatización de la teoría de conjuntos se formula en tal sistema lógico con el esquema axiomático de separación como axiomas, y si la teoría no hace distinción entre conjuntos y otros tipos de objetos (lo que es válido para ZF, KP y teorías similares), entonces la existencia del conjunto vacío es un teorema.

Si la separación no se postula como un esquema de axioma, sino que se deriva como un esquema de teorema del esquema de reemplazo (como se hace a veces), la situación es más complicada y depende de la formulación exacta del esquema de reemplazo. La formulación utilizada en el esquema del axioma del artículo de sustitución sólo permite construir la imagen F[a] cuando a está contenida en el dominio del función de clase F; entonces la derivación de la separación requiere el axioma del conjunto vacío. Por otro lado, la restricción de totalidad de F a menudo se elimina del esquema de reemplazo, en cuyo caso implica el esquema de separación sin usar el axioma de conjunto vacío (o cualquier otro axioma para el caso).