Axioma de unión

En la teoría axiomática de conjuntos, el axioma de unión es uno de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Este axioma fue introducido por Ernst Zermelo.

El axioma establece que para cada conjunto x existe un conjunto y cuyos elementos son precisamente los elementos de los elementos de x.

Declaración formal

En el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma dice:

О О A∃ ∃ BО О c()c▪ ▪ B⟺ ⟺ ∃ ∃ D()c▪ ▪ D∧ ∧ D▪ ▪ A)){displaystyle forall A,exists B,forall c,(cin Biff exists D,(cin Dland Din A),)}

o en palabras:

Dado cualquier conjunto A, hay un conjunto B tal que, para cualquier elemento c, c es miembro de B si y sólo si hay un conjunto D tales que c es miembro de D y D es miembro de A.

o, más simplemente:

Para cualquier conjunto A{displaystyle A}, hay un conjunto ⋃ ⋃ A{displaystyle bigcup A} que consiste en sólo los elementos de los elementos de ese conjunto A{displaystyle A}.

Relación con el emparejamiento

El axioma de unión permite descomprimir un conjunto de conjuntos y así crear un conjunto más plano. Junto con el axioma de emparejamiento, esto implica que para dos conjuntos cualesquiera, hay un conjunto (llamado su unión) que contiene exactamente los elementos de los dos conjuntos.

Relación con el reemplazo

El axioma de reemplazo permite formar muchas uniones, como la unión de dos conjuntos.

Sin embargo, en toda su generalidad, el axioma de unión es independiente del resto de los axiomas ZFC: El reemplazo no prueba la existencia de la unión de un conjunto de conjuntos si el resultado contiene un número ilimitado de cardinalidades.

Junto con el axioma de esquema de reemplazo, el axioma de unión implica que uno puede formar la unión de una familia de conjuntos indexados por un conjunto.

Relación con la Separación

En el contexto de las teorías de conjuntos que incluyen el axioma de separación, el axioma de unión a veces se establece en una forma más débil que solo produce un superconjunto de la unión de un conjunto. Por ejemplo, Kunen establece el axioma como

О О F∃ ∃ AО О YО О x[()x▪ ▪ Y∧ ∧ Y▪ ▪ F)⇒ ⇒ x▪ ▪ A].{displaystyle forall {Mathcal {F},existidos A,for all Y,forall x(xin Yland Yin {mathcal {F}) Rightarrow xin A].}

que es equivalente a

О О F∃ ∃ AО О x[[∃ ∃ Y()x▪ ▪ Y∧ ∧ Y▪ ▪ F)]⇒ ⇒ x▪ ▪ A].{displaystyle forall {mathcal {F},exists Aforall x[exists Y(xin Yland Yin {mathcal {F}] Rightarrow xin A].}

En comparación con el axioma establecido en la parte superior de esta sección, esta variación afirma solo una dirección de la implicación, en lugar de ambas direcciones.

Relación con la intersección

No hay axioma correspondiente de intersección. Si A{displaystyle A} es un no vacía set containing E{displaystyle E}, es posible formar la intersección ⋂ ⋂ A{displaystyle bigcap A} usando el esquema axiom de especificación como

⋂ ⋂ A={}c▪ ▪ E:О О D()D▪ ▪ A⇒ ⇒ c▪ ▪ D)}{displaystyle bigcap A={cin E:forall D(Din ARightarrow cin D)}},

por lo que no es necesario un axioma de intersección separado. (Si A es el conjunto vacío, entonces intentar formar la intersección de A como

{}c: para todos D dentro A, c está dentro D}

no está permitido por los axiomas. Además, si tal conjunto existiera, entonces contendría todos los conjuntos del 'universo', pero la noción de un conjunto universal es la antítesis de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel).