Axioma de simetría de Freiling

El axioma de la simetríaAX{displaystyle {textttt {AX}}) es un axioma teórico establecido propuesto por Chris Freiling. Se basa en la intuición de Stuart Davidson pero las matemáticas detrás se remonta a Wacław Sierpiński.

Vamos A⊆ ⊆ P()[0,1])[0,1]{displaystyle Asubseteq {mathcal {}([0,1]}{[0,1]} denota el conjunto de todas las funciones de [0,1]{displaystyle [0,1]} a subcontables de [0,1]{displaystyle [0,1]}. El axioma AX{displaystyle {textttt {AX}} estados:

Por todos f▪ ▪ A{displaystyle fin A}, existen x,Sí.▪ ▪ [0,1]{displaystyle x,yin [0,1]} tales que x∉f()Sí.){displaystyle xnot in f(y)} y Sí.∉f()x){displaystyle ynot in f(x)}.

Un teorema de Sierpiński dice que bajo las suposiciones de la teoría del conjunto ZFC, AX{displaystyle {textttt {AX}} es equivalente a la negación de la hipótesis continuum (CH). El teorema de Sierpiński respondió una pregunta de Hugo Steinhaus y fue probado mucho antes de que la independencia de CH fuera establecida por Kurt Gödel y Paul Cohen.

Freiling afirma que la intuición probabilística apoya firmemente esta propuesta, mientras que otros no están de acuerdo. Hay varias versiones del axioma, algunas de las cuales se analizan a continuación.

El argumento de Freiling

Arreglar una función f en A. Consideraremos un experimento mental que consiste en lanzar dos dardos en el intervalo de la unidad. No podemos determinar físicamente con una precisión infinita los valores reales de los números x e y que se alcanzan. Asimismo, la cuestión de si "y está en f(x)" en realidad no se puede calcular físicamente. Sin embargo, si f realmente es una función, entonces esta pregunta es significativa y tendrá un "sí" o "no" respuesta.

Ahora espere hasta que se lance el primer dardo, x, y luego evalúe las posibilidades de que el segundo dardo y esté en f. (x). Dado que x ahora es fijo, f(x) es un conjunto contable fijo y tiene la medida de Lebesgue cero. Por lo tanto, este evento, con x fijo, tiene probabilidad cero. Freiling ahora hace dos generalizaciones:

• Ya que podemos predecir con certeza virtual que "Sí. no está f()x)" después del primer dardo es lanzado, y puesto que esta predicción es válida no importa lo que el primer dardo hace, debemos ser capaces de hacer esta predicción antes de que el primer dardo sea lanzado. Esto no es decir que todavía tenemos un evento mensurable, sino que es una intuición sobre la naturaleza de ser predecible.
• DesdeSí. no está f()x)" es previsiblemente cierto, por la simetría del orden en el que se lanzaron los dardos (de ahí el nombre "axioma de la simetría") también deberíamos poder predecir con certeza virtual que "x no está f()Sí.)".

El axioma AX{displaystyle {textttt {AX}} se justifica ahora en base al principio de que lo que ocurrirá previsiblemente cada vez que se realice este experimento, debe ser al menos posible. Por lo tanto debe existir dos números reales x, Sí. tales que x no está f()Sí.) y Sí. no está f()x).

Relación con la hipótesis del continuo (generalizado)

Corrección κ κ {displaystyle kappa ,} un cardenal infinitoPor ejemplo. א א 0{displaystyle aleph _{0},}). Vamos AXκ κ .{displaystyle {textttt {fnK}_{kappa }. ser la declaración: no hay mapa f:P()κ κ )→ → P()P()κ κ )){displaystyle f:{mathcal {}(kappa)to {mathcal {}({mathcal {}}(kappa)},} de conjuntos a conjuntos de tamaño ≤ ≤ κ κ {displaystyle leq kappa } para la cual ()О О x,Sí.▪ ▪ P()κ κ )){displaystyle (forall {x,yin {mathcal {}(kappa)}),} o x▪ ▪ f()Sí.){displaystyle xin f(y),} o Sí.▪ ▪ f()x){displaystyle yin f(x),}.

Claim: ZFC⊢ ⊢ 2κ κ =κ κ +Administración Administración ¬ ¬ AXκ κ .{displaystyle {textttt {ZFC}vdash 2^{kappa }=kappa ^{+}leftrightarrow neg {texttt {AX}_{kappa }..

Prueba:Parte I ()⇒ ⇒ {displaystyle Rightarrow ,}):

Suppose 2κ κ =κ κ +{displaystyle 2^{kappa }=kappa ^{+},}. Entonces existe una bijeción σ σ :κ κ +→ → P()κ κ ){displaystyle sigma:kappa ^{+}to {mathcal {}(kappa),}. Ajuste f:P()κ κ )→ → P()P()κ κ )){displaystyle f:{mathcal {}(kappa)to {mathcal {}({mathcal {}}(kappa)},} definida mediante σ σ ()α α )↦ ↦ {}σ σ ()β β ):β β ⪯ ⪯ α α }{displaystyle sigma (alpha)mapsto {sigma (beta):beta preceq alpha #Es fácil ver que esto demuestra el fracaso del axioma de Freiling.

Parte II ()Alternativa Alternativa {displaystyle Leftarrow ,}):

Supongamos que el axioma de Freiling falla. Entonces arregla algo. f{displaystyle f,} para verificar este hecho. Definir una relación de orden P()κ κ ){fnMicrosoft Sans Serif} por A≤ ≤ fB{displaystyle Aleq _{f}B} Sip A▪ ▪ f()B){displaystyle Ain f(B)}. Esta relación es total y cada punto tiene ≤ ≤ κ κ {displaystyle leq kappa } muchos predecesores. Define ahora una cadena estrictamente creciente <math alttext="{displaystyle (A_{alpha }in {mathcal {P}}(kappa))_{alpha ()Aα α ▪ ▪ P()κ κ ))α α .κ κ +{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {kappa }}}}<img alt="(A_{{alpha }}in {mathcal {P}}(kappa))_{{alpha como sigue: en cada etapa elegir <math alttext="{displaystyle A_{alpha }in {mathcal {P}}(kappa)setminus bigcup _{xi Aα α ▪ ▪ P()κ κ )∖ ∖ ⋃ ⋃ .. .α α f()A.. ){displaystyle A_{alpha }in {mathcal {}(kappa)setminus bigcup _{xi }f(A_{xi })}<img alt="A_{{alpha }}in {mathcal {P}}(kappa)setminus bigcup _{{xi . Este proceso se puede llevar a cabo desde cada ordinal <math alttext="{displaystyle alpha α α .κ κ +{displaystyle alpha <kappa ^{+},}<img alt="alpha , <math alttext="{displaystyle bigcup _{xi ⋃ ⋃ .. .α α f()A.. ){displaystyle bigcup _{xi }alpha }f(A_{xi }),}<img alt="bigcup _{{xi es una unión de ≤ ≤ κ κ {displaystyle leq kappa ,} muchos conjuntos de tamaño ≤ ≤ κ κ {displaystyle leq kappa ,}; así es de tamaño <math alttext="{displaystyle leq kappa ≤ ≤ κ κ .2κ κ {displaystyle leq kappa <2^{kappa },}<img alt="leq kappa y así es un subconjunto estricto P()κ κ ){fnMicrosoft Sans Serif}. También tenemos que esta secuencia es cofinal en el orden definido, i.e. cada miembro de P()κ κ ){fnMicrosoft Sans Serif} es ≤ ≤ f{displaystyle leq _{f},} algunos Aα α {displaystyle A_{alpha},}. (Por otra parte si B▪ ▪ P()κ κ ){displaystyle Bin {mathcal {}(kappa),} no ≤ ≤ f{displaystyle leq _{f},} algunos Aα α {displaystyle A_{alpha}, entonces ya que el pedido es total <math alttext="{displaystyle (forall {alpha ()О О α α .κ κ +)Aα α ≤ ≤ fB{displaystyle (forall {alpha =kappa ^{+})A_{alpha }leq _{f} B,}<img alt="(forall {alpha ; implicación B{displaystyle B,} tiene kappa ,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">≥ ≥ κ κ +■κ κ {displaystyle geq kappa ^{+}kappa ,}kappa ," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b65b04481ba0e7fcbf975e759e92c28f577512a6" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.128ex; height:2.676ex;"/> muchos predecesores; una contradicción.) Así podemos definir bien un mapa g:P()κ κ )→ → κ κ +{displaystyle g:{mathcal {}(kappa)to kappa ^{+},} por <math alttext="{displaystyle Bmapsto operatorname {min} {alpha B↦ ↦ min⁡ ⁡ {}α α .κ κ +:B▪ ▪ f()Aα α )}{displaystyle Bmapsto operatorname {min} {alpha - No.<img alt="Bmapsto operatorname {min}{alpha . Así que... <math alttext="{displaystyle {mathcal {P}}(kappa)=bigcup _{alpha <kappa ^{+}}g^{-1}{alpha }=bigcup _{alpha P()κ κ )=⋃ ⋃ α α .κ κ +g− − 1{}α α }=⋃ ⋃ α α .κ κ +f()Aα α ){displaystyle {mathcal {}(kappa)=bigcup _{alpha Identificakappa ^{+}g^{-1}alpha }=bigcup _{alpha <kappa ^{+}f(A_{alpha }),}<img alt="{mathcal {P}}(kappa)=bigcup _{{alpha <kappa ^{{+}}}}g^{{-1}}{alpha }=bigcup _{{alpha que es unión de κ κ +{displaystyle kappa ^{+},} muchos conjuntos cada uno de tamaño ≤ ≤ κ κ {displaystyle leq kappa ,}. Por lo tanto 2κ κ ≤ ≤ κ κ +⋅ ⋅ κ κ =κ κ +{displaystyle 2^{kappa }leq kappa ^{+}cdot kappa =kappa ^{+},}.

Note que Silencio[0,1]Silencio=SilencioP()א א 0)Silencio{fnMicrosoft _{0}) } así podemos reorganizar fácilmente las cosas para obtenerlo ¬ ¬ CH.. {displaystyle neg {textttt}Leftrightarrow ,} la forma mencionada del axioma de Freiling.

Lo anterior se puede hacer más preciso: ZF⊢ ⊢ ()ACP()κ κ )+¬ ¬ AXκ κ )Administración Administración CHκ κ {displaystyle {textttt {f}vdash ({textttt {}_{mthcal {} {kappa)}+neg {textttt {AX}_{kappa }) leftrightarrow {texttt {CH}_{kappa },}. Esto muestra (junto con el hecho de que la hipótesis continuum es independiente de elección) una manera precisa en la que la hipótesis continuum (generalizada) es una extensión del axioma de elección.

Objeciones al argumento de Freiling

El argumento de Freiling no es ampliamente aceptado debido a los siguientes dos problemas (que Freiling conocía bien y discutió en su artículo).

• La intuición probabilística ingenua utilizada por Freiling asume tácitamente que hay una manera bien comportada de asociar una probabilidad a cualquier subconjunto de los reales. Pero la formalización matemática de la noción de probabilidad utiliza la noción de medida, pero el axioma de elección implica la existencia de subconjuntos no mensurables, incluso del intervalo de unidad. Algunos ejemplos de esto son la paradoja Banach-Tarski y la existencia de conjuntos Vitali.
• Una variación menor de su argumento da una contradicción con el axioma de elección si uno acepta o no la hipótesis continuum, si uno reemplaza la aditividad contable de probabilidad por aditividad para cardenales menos que el continuum. (Freiling utilizó un argumento similar para afirmar que el axioma de Martin es falso.) No está claro por qué la intuición de Freiling debe ser menos aplicable en este caso, si se aplica en absoluto. (Maddy 1988, pág. 500) Así que el argumento de Freiling parece ser más un argumento contra la posibilidad de ordenar bien los reales que contra la hipótesis continua.

Conexión con la teoría de grafos

Usando el hecho de que en ZFC, tenemos 2κ κ =κ κ +.. ¬ ¬ AXκ κ {displaystyle 2^{kappa }=kappa ^{+} Leftrightarrow neg {textttt {AX}_{kappa},} (ver arriba), no es difícil ver que fracaso del axioma de la simetría - y así el éxito 2κ κ =κ κ +{displaystyle 2^{kappa }=kappa ^{+},}— equivale al siguiente principio combinatorio para gráficos:

• El gráfico completo en P()κ κ ){fnMicrosoft Sans Serif} puede ser tan dirigido, que cada nodo conduce a la mayoría κ κ {displaystyle kappa ,}- Muchos nodos.

En el caso de κ κ =א א 0{displaystyle kappa =aleph ¿Qué?, esto se traduce en:

• El gráfico completo en el círculo de unidad puede ser tan dirigido, que cada nodo conduce a la mayoría de los nodos contablemente-muchos.

Así, en el contexto de ZFC, la falla de un axioma de Freiling es equivalente a la existencia de un tipo específico de función de elección.