Axioma de extensionalidad

En la teoría axiomática de conjuntos y las ramas de la lógica, las matemáticas y la informática que la utilizan, el axioma de extensionalidad, o axioma de extensión, es uno de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Dice que los conjuntos que tienen los mismos elementos son el mismo conjunto.

Declaración formal

En el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma dice:

${displaystyle forall A,forall B,(forall X,(Xin Aiff Xin B)implies A=B)}$

o en palabras:

Dado cualquier conjunto A y cualquier conjunto B, si para cada conjunto X, X es miembro de A si X es miembro de B, entonces A es igual a B.

(No es realmente esencial que X Aquí tienes. set- pero en ZFTodo lo es. See Urelements abajo para cuando esto es violado.)

El contrario, ${displaystyle forall A,forall B,(A=Bimplies forall X,(Xin Aiff Xin B)),}$ de este axioma se deriva de los bienes de sustitución de la igualdad.

Interpretación

Para comprender este axioma, tenga en cuenta que la cláusula entre paréntesis en la declaración simbólica anterior simplemente establece que A y B tienen precisamente los mismos miembros. Por lo tanto, lo que el axioma realmente dice es que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen precisamente los mismos miembros. La esencia de esto es:

Un conjunto es determinado únicamente por sus miembros.

El axioma de la extensión puede ser utilizado con cualquier declaración de la forma ${displaystyle exists A,forall X,(Xin Aiff P(X),)}$, Donde P es cualquier predicado que no menciona A, para definir un conjunto único ${displaystyle A}$ cuyos miembros son precisamente los conjuntos que satisfacen el predicado ${displaystyle P}$. Entonces podemos introducir un nuevo símbolo para ${displaystyle A}$; es de esta manera que las definiciones en matemáticas ordinarias finalmente funcionan cuando sus declaraciones se reducen a términos puramente teóricos.

El axioma de extensionalidad generalmente no genera controversia en los fundamentos teóricos de conjuntos de las matemáticas, y él o un equivalente aparece en casi cualquier axiomatización alternativa de la teoría de conjuntos. Sin embargo, puede requerir modificaciones para algunos propósitos, como se muestra a continuación.

En lógica de predicados sin igualdad

El axioma dado arriba asume que la igualdad es un símbolo primitivo en la lógica de predicados. Algunos tratamientos de la teoría axiomática de conjuntos prefieren prescindir de esto y, en cambio, tratan la afirmación anterior no como un axioma sino como una definición de igualdad. Entonces es necesario incluir los axiomas habituales de igualdad de la lógica de predicados como axiomas sobre este símbolo definido. La mayoría de los axiomas de igualdad todavía se derivan de la definición; el restante es la propiedad de sustitución,

${displaystyle forall A,forall B,(forall X,(Xin Aiff Xin B)implies forall Y,(Ain Yiff Bin Y),}$

y se convierte en este axioma al que se hace referencia como el axioma de extensionalidad en este contexto.

En teoría de conjuntos con elementos ur

Un elemento ur es un miembro de un conjunto que no es en sí mismo un conjunto. En los axiomas Zermelo-Fraenkel, no hay elementos ur, pero se incluyen en algunas axiomatizaciones alternativas de la teoría del conjunto. Los elementos Ur pueden ser tratados como un tipo lógico diferente de los conjuntos; en este caso, ${displaystyle Bin A}$ no tiene sentido si ${displaystyle A}$ es un elemento ur, por lo que el axioma de la extensión simplemente se aplica sólo a los sets.

Alternativamente, en lógica no tipo, podemos requerir ${displaystyle Bin A}$ ser falso ${displaystyle A}$ es un elemento ur. En este caso, el axioma habitual de la extensionidad implicaría entonces que cada elemento ur es igual al conjunto vacío. Para evitar esta consecuencia, podemos modificar el axioma de la extensionalidad para aplicar sólo a conjuntos no vacíos, de modo que diga:

${displaystyle forall A,forall B,(exists X,(Xin A)implies [forall Y,(Yin Aiff Yin B)implies A=B],}$

Eso es:

Dado cualquier conjunto A y cualquier conjunto B, si A es un conjunto no vacío (es decir, si existe un miembro X de A), entonces si A y B tienen precisamente los mismos miembros, entonces son iguales.

Otra alternativa en la lógica no tipo es definir ${displaystyle A}$ ser el único elemento ${displaystyle A}$siempre ${displaystyle A}$ es un elemento ur. Si bien este enfoque puede servir para preservar el axioma de la extensión, el axioma de la regularidad necesitará un ajuste en su lugar.