Axioma de emparejamiento

En la teoría axiomática de conjuntos y las ramas de la lógica, las matemáticas y la informática que la utilizan, el axioma de emparejamiento es uno de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Fue introducido por Zermelo (1908) como un caso especial de su axioma de conjuntos elementales.

Declaración formal

En el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma dice:

О О AО О B∃ ∃ CО О D[D▪ ▪ C⟺ ⟺ ()D=AAlternativa Alternativa D=B)]{displaystyle forall A,forall B,exists C,forall D,[Din Ciff (D=Alor D=B)}

En palabras:

Dado cualquier objeto A y cualquier objeto B, hay un conjunto C tal que, dado cualquier objeto D, D es miembro de C si D es igual a A o D es igual a B.

O en palabras más simples:

Dados dos objetos, hay un conjunto cuyos miembros son exactamente los dos objetos dados.

Consecuencias

Como se señaló, lo que dice el axioma es que, dados dos objetos A y B, podemos encontrar un conjunto C cuyos miembros son exactamente A y B.

Podemos usar el axioma de extensionalidad para mostrar que este conjunto C es único. Llamamos al conjunto C el par de A y B, y lo denotamos {A,B}. Así, la esencia del axioma es:

Cualquier dos objetos tienen un par.

El set {A,A} es abreviado {A}, llamado el singleton que contiene A. Tenga en cuenta que un singleton es un caso especial de un par. Ser capaz de construir un singleton es necesario, por ejemplo, para mostrar la no existencia de las cadenas descendentes infinitamente x={}x}{displaystyle x={x}} del Axioma de la regularidad.

El axioma del emparejamiento también permite la definición de pares ordenados. Para cualquier objeto a{displaystyle a} y b{displaystyle b}, el par ordenado se define por el siguiente:

()a,b)={}{}a},{}a,b}}.{displaystyle (a,b)={a},{a,b}},}

Tenga en cuenta que esta definición satisface la condición

()a,b)=()c,d)⟺ ⟺ a=c∧ ∧ b=d.{displaystyle (a,b)=(c,d)iff a=cland b=d.}

Las n-tuplas ordenadas se pueden definir recursivamente de la siguiente manera:

()a1,...... ,an)=()()a1,...... ,an− − 1),an).{displaystyle (a_{1},ldotsa_{n}=(a_{1},ldotsa_{n-1}),a_{n}).}

Alternativas

No independencia

El axioma de emparejamiento generalmente se considera incontrovertido, y este o un equivalente aparece en casi cualquier axiomatización de la teoría de conjuntos. Sin embargo, en la formulación estándar de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, el axioma de emparejamiento se deriva del esquema del axioma de reemplazo aplicado a cualquier conjunto dado con dos o más elementos y, por lo tanto, a veces se omite. La existencia de tal conjunto con dos elementos, como { {}, { {} } }, se puede deducir del axioma del conjunto vacío y del axioma del conjunto potencia o del axioma del infinito.

En ausencia de algunos de los axiomas ZFC más fuertes, el axioma de emparejamiento aún puede, sin pérdida, introducirse en formas más débiles.

Más débil

En presencia de formas estándar del esquema del axioma de separación, podemos reemplazar el axioma de emparejamiento por su versión más débil:

О О AО О B∃ ∃ CО О D()()D=AAlternativa Alternativa D=B)⇒ ⇒ D▪ ▪ C){displaystyle forall Aforall Bexists Cforall D(D=Alor D=B)Rightarrow Din C)}.

Este débil axioma de emparejamiento implica que cualquier objeto dado A{displaystyle A} y B{displaystyle B} son miembros de algún conjunto C{displaystyle C}. Usando el esquema axiom de separación podemos construir el conjunto cuyos miembros son exactamente A{displaystyle A} y B{displaystyle B}.

Otro axioma que implica el axioma de apareamiento en presencia del axioma de conjunto vacío es el axioma de adjunción

О О AО О B∃ ∃ CО О D[D▪ ▪ C⟺ ⟺ ()D▪ ▪ AAlternativa Alternativa D=B)]{displaystyle forall A,forall B,exists C,forall D,[Din Ciff (Din Alor D=B)]}.

difiere del estándar por uso de D▪ ▪ A{displaystyle Din A} en lugar de D=A{displaystyle D=A}. Usando {} para A y x para B, tenemos {x} para C. Entonces use {xPara A y Sí. para B, conseguir {x,yPara C. Uno puede continuar de esta manera para construir cualquier conjunto finito. Y esto podría utilizarse para generar todos los conjuntos hereditariamente finitos sin usar el axioma de la unión.

Más fuerte

Junto con el axioma del conjunto vacío y el axioma de unión, el axioma de El emparejamiento se puede generalizar al siguiente esquema:

О О A1...... О О An∃ ∃ CО О D[D▪ ▪ C⟺ ⟺ ()D=A1Alternativa Alternativa ⋯ ⋯ Alternativa Alternativa D=An)]{displaystyle forall A_{1},ldots ,forall A_{n},exists C,forall D,[Din Ciff (D=A_{1}lor cdots lor D=A_{n}]

eso es:

Dado cualquier número finito de objetos A₁ a través de A_n, hay un conjunto C cuyos miembros son precisamente A₁ a través de A_n.

Este conjunto C es nuevamente único por el axioma de extensionalidad, y se denota {A₁,..., A_n}.

Por supuesto, no podemos referirnos rigurosamente a un número finito de objetos sin tener ya en nuestras manos un conjunto (finito) al que pertenecen los objetos en cuestión. Por lo tanto, no se trata de un solo enunciado, sino de un esquema, con un enunciado separado para cada número natural n.

• El caso n = 1 es el axioma de emparejar con A = A₁ y B = A₁.
• El caso n = 2 es el axioma de emparejar con A = A₁ y B = A₂.
• Casos n ■ 2 se puede probar utilizando el axioma del emparejamiento y el axioma del sindicato varias veces.

Por ejemplo, para probar el caso n = 3, use el axioma de emparejamiento tres veces, para producir el par {A₁,A₂}, el singleton {A₃}, y luego el par {{A ₁,A₂},{A₃}}. El axioma de unión produce el resultado deseado, {A₁,A₂,A₃}. Podemos extender este esquema para incluir n=0 si interpretamos ese caso como el axioma del conjunto vacío.

Por lo tanto, uno puede usar esto como un esquema de axioma en lugar de los axiomas de conjunto vacío y emparejamiento. Normalmente, sin embargo, uno usa los axiomas de conjunto vacío y emparejamiento por separado, y luego prueba esto como un esquema de teorema. Tenga en cuenta que adoptar esto como un esquema de axioma no reemplazará el axioma de unión, que aún se necesita para otras situaciones.