Axioma de conjunto de potencias

Los elementos del conjunto de potencia del conjunto {}x, Sí., z} ordenado con respecto a la inclusión.

En matemáticas, el axioma del conjunto potencia es uno de los axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría axiomática de conjuntos.

En el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma dice:

${displaystyle forall x,exists y,forall z,[zin yiff forall w,(win zrightarrow win x)}$

Donde Sí. es el conjunto de poder x, ${displaystyle {mathcal {}(x)}$.

En inglés, esto dice:

Dado cualquier conjunto x, hay un conjunto ${displaystyle {mathcal {}(x)}$ tal que, dado cualquier conjunto z, este set z es miembro de ${displaystyle {mathcal {}(x)}$ si y sólo si cada elemento de z es también un elemento x.

Más sucintamente: para cada conjunto ${displaystyle x}$, hay un conjunto ${displaystyle {mathcal {}(x)}$ consistiendo precisamente en los subconjuntos ${displaystyle x}$.

Note la relación del subconjunto ${displaystyle subseteq }$ no se utiliza en la definición formal como subconjunto no es una relación primitiva en la teoría formal de conjunto; más bien, subconjunto se define en términos de la membresía de conjunto, ${displaystyle in }$. Por el axioma de la extensión, el conjunto ${displaystyle {mathcal {}(x)}$ es único.

El axioma del conjunto de potencias aparece en la mayoría de las axiomatizaciones de la teoría de conjuntos. Generalmente se considera indiscutible, aunque la teoría de conjuntos constructiva prefiere una versión más débil para resolver las preocupaciones sobre la predicatividad.

Consecuencias

El axioma del sistema de potencia permite una simple definición del producto cartesiano de dos conjuntos ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Sí.$:

${displaystyle Xtimes Y={(x,y):xin Xland yin Y}$

Observa que

${displaystyle x,yin Xcup Sí.$

${displaystyle {x},{x,y}in {fnMitcal {P}(Xcup Y)}$

y, por ejemplo, considerando un modelo que usa el par ordenado de Kuratowski,

${\fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$

y por lo tanto el producto cartesiano es un conjunto ya que

${displaystyle Xtimes Ysubseteq {mathcal {}({mathcal {}(Xcup Y)}$

Se puede definir recursivamente el producto cartesiano de cualquier colección finita de conjuntos:

${displaystyle X_{1}times cdots times X_{n}=(X_{1}times cdots times X_{n-1})times X_{n}.}$

Tenga en cuenta que la existencia del producto cartesiano puede demostrarse sin usar el axioma del conjunto de potencias, como en el caso de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek.

Limitaciones

El axioma del conjunto potencia no especifica qué subconjuntos de un conjunto existen, solo que hay un conjunto que contiene todos los que existen. No se garantiza la existencia de todos los subconjuntos imaginables. En particular, el conjunto potencia de un conjunto infinito contendría solo "conjuntos construibles" si el universo es el universo construible pero en otros modelos de teoría de conjuntos ZF podría contener conjuntos que no son construibles.