Axioma A

En matemáticas, el axioma A de Smale define una clase de sistemas dinámicos que han sido ampliamente estudiados y cuya dinámica se entiende relativamente bien. Un ejemplo destacado es el mapa de herradura de Smale. El término "axioma A" tiene su origen en Stephen Smale. La importancia de estos sistemas se demuestra con la hipótesis caótica, que afirma que, "a todos los efectos prácticos", un sistema termostatizado de muchos cuerpos se aproxima a un sistema de Anosov.

Sea M una variedad suave con un difeomorfismo f: M→M. Entonces f es un difeomorfismo del axioma A si se cumplen las dos condiciones siguientes:

1. El conjunto de no desperdicio f, Ω()f), es un conjunto hiperbólico y compacto.
2. El conjunto de puntos periódicos f es denso en Ω()f).

Para las superficies, la hiperbolicidad del conjunto no errante implica la densidad de puntos periódicos, pero esto ya no es cierto en dimensiones superiores. No obstante, los difeomorfismos del axioma A a veces se denominan difeomorfismos hiperbólicos, porque la porción de M donde ocurre la dinámica interesante, es decir, Ω(f), exhibe un comportamiento hiperbólico.

Los difeomorfismos del axioma A generalizan los sistemas de Morse-Smale, que satisfacen restricciones adicionales (número finito de puntos periódicos y transversalidad de subvariedades estables e inestables). El mapa de herradura de Smale es un difeomorfismo del axioma A con un número infinito de puntos periódicos y entropía topológica positiva.

Cualquier difeomorfismo de Anosov satisface el axioma A. En este caso, toda la variedad M es hiperbólica (aunque es una cuestión abierta si el conjunto no errante Ω(f) constituye toda la M).

Rufus Bowen demostró que el conjunto no errante Ω(f) de cualquier difeomorfismo del axioma A admite una partición de Markov. Por lo tanto, la restricción de f a un cierto subconjunto genérico de Ω(f) se conjuga con un desplazamiento de tipo finito.

La densidad de los puntos periódicos en el conjunto no errante implica su maximalidad local: existe un entorno abierto U de Ω(f) tal que

${\displaystyle \cap _{n\in \mathbb {Z}f^{n}(U)=\Omega (f).}$

Una propiedad importante de los sistemas Axiom A es su estabilidad estructural frente a pequeñas perturbaciones. Es decir, las trayectorias del sistema perturbado permanecen en correspondencia topológica 1-1 con el sistema no perturbado. Esta propiedad es importante, ya que demuestra que los sistemas Axiom A no son excepcionales, sino que son en cierto sentido "robustos".

Más precisamente, para cada C¹-perturbación f_ε de f, su conjunto no errante está formado por dos subconjuntos compactos, f_ε-invariantes Ω₁ y Ω₂. El primer subconjunto es homeomorfo a Ω(f) a través de un homeomorfismo h que conjuga la restricción de f a Ω(f) con la restricción de f_ε a Ω₁:

${\displaystyle f_{\epsilon }\circ h(x)=h\circ f(x),\quad \forall x\in \Omega (f). }$

Si Ω₂ está vacío, entonces h es sobre Ω(f_ε). Si este es el caso para cada perturbación f_ε, entonces f se llama estable en omega. Un difeomorfismo f es estable en omega si y solo si satisface el axioma A y la condición de no ciclo (que una órbita, una vez que ha salido de un subconjunto invariante, no regresa).

• Flujo ergonódico

• Ruelle, David (1978). formalismo termodinámico. Las estructuras matemáticas del equilibrio clásico. Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. Vol. 5. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-201-13504-3. Zbl 0401.28016.
• Ruelle, David (1989). Evolución caótica y extraños atractivos. Análisis estadístico de la serie de tiempo para sistemas no lineales determinísticos. Lezioni Lincee. Notas preparadas por Stefano Isola. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36830-8. Zbl 0683.58001.