Automorfismo interno

En álgebra abstracta, un automorfismo interno es un automorfismo de un grupo, anillo o álgebra dado por la acción de conjugación de un elemento fijo, llamado elemento conjugante. Se pueden realizar a través de operaciones simples desde dentro del propio grupo, de ahí el adjetivo "interior". Estos automorfismos internos forman un subgrupo del grupo de automorfismos, y el cociente del grupo de automorfismos por este subgrupo se define como el grupo de automorfismos externo.

Definición

Si G es un grupo y g es un elemento de G (alternativamente, si G es un anillo, y g es una unidad), entonces la función

φ φ g:: G→ → Gφ φ g()x):=g− − 1xg{displaystyle {begin{aligned}varphi ¿Qué? GENTE G\\varphi _{g}(x) Condenado:=g^{-1}xgend{aligned}

se llama (derecho) conjugación por g (ver también clase de conjugación). Esta función es un endomorfismo G: para todos x1,x2▪ ▪ G,{displaystyle x_{1},x_{2}in G,}

φ φ g()x1x2)=g− − 1x1x2g=()g− − 1x1g)()g− − 1x2g)=φ φ g()x1)φ φ g()x2),{displaystyle varphi _{g}(x_{1}x_{2})=g^{-1}x_{1}x_{2}g=left(g^{-1}x_{1}gright)left(g^{-1}x_{2}gright)=varphi _{1}{2}varphi_{2}

donde la segunda igualdad es dada por la inserción de la identidad entre x1{displaystyle x_{1}} y x2.{displaystyle x_{2}.} Además, tiene una inversa izquierda y derecha, es decir, φ φ g− − 1.{displaystyle varphi _{-1}} Así, φ φ g{displaystyle varphi _{g} es bijetivo, y así un isomorfismo de G con sí mismo, es decir, un automorfismo. An automorfismo interior es cualquier automorfismo que surge de la conjugación.

Al discutir la conjugación correcta, la expresión g− − 1xg{displaystyle g^{-1}xg} es a menudo denotado exponencialmente por xg.{displaystyle x^{g} Esta notación se utiliza porque la composición de las conjugaciones satisface la identidad: ()xg1)g2=xg1g2{displaystyle left(x^{g_{1}right)}{g_{2}=x^{g_{1}g_{2}}} para todos g1,g2▪ ▪ G.{displaystyle G_{1},g_{2}in G.} Esto demuestra que la conjugación correcta da una acción correcta G en sí mismo.

Grupos de automorfismos internos y externos

La composición de dos automorfismos internos es nuevamente un automorfismo interno, y con esta operación, la colección de todos los automorfismos internos de G es un grupo, el grupo de automorfismo interno de G denotado Inn(G).

Inn(G) es un subgrupo normal del grupo completo de automorfismos Aut(G) de G. El grupo de automorfismos exterior, Out(G) es el grupo cociente

Fuera⁡ ⁡ ()G)=Aut⁡ ⁡ ()G)/Inn⁡ ⁡ ()G).{displaystyle operatorname {Out} (G)=operatorname {Aut} (G)/operatorname {Inn} (G). }

El grupo de automorfismos externos mide, en cierto sentido, cuántos automorfismos de G no son internos. Cada automorfismo no interno genera un elemento no trivial de Out(G), pero diferentes automorfismos no internos pueden generar el mismo elemento de Fuera(G).

Diciendo esa conjugación de x por a deja x sin cambios equivale a decir que a y x conmutan:

a− − 1xa=x⟺ ⟺ xa=ax.{displaystyle a^{-1}xa=xiff xa=ax.}

Por lo tanto, la existencia y el número de automorfismos internos que no son el mapeo de identidad es una especie de medida de la falla de la ley conmutativa en el grupo (o anillo).

Un automorfismo de un grupo G es interno si y solo si se extiende a todos los grupos que contienen G.

Asociando el elemento a ∈ G con el automorfismo interior f(x) = x^a en Inn(G) como arriba, se obtiene un isomorfismo entre el grupo cociente G / Z(G) (donde Z(G) es el centro de G) y el grupo de automorfismo interno:

G/Z()G).. Inn⁡ ⁡ ()G).{displaystyle G,/,mathrm {Z} (G)cong operatorname {Inn} (G). }

Esto es una consecuencia del primer teorema de isomorfismo, porque Z(G) es precisamente el conjunto de esos elementos de G que dan el mapeo de identidad como automorfismo interno correspondiente (la conjugación no cambia nada).

Automorfismos no internos de grupos p finitos

Un resultado de Wolfgang Gaschütz dice que si G es un p-grupo finito no abeliano, entonces G tiene un automorfismo de p-power orden que no es interior.

Es un problema abierto si cada p-grupo G tiene un automorfismo de orden p. La última pregunta tiene una respuesta positiva siempre que G tenga una de las siguientes condiciones:

1. G es nilpotente de clase 2
2. G es un grupo p regular
3. G / Z(G) es un poderoso grupo de p
4. El centralizador en G, C_G, del centro, Z, del subgrupo Frattini, CCPR, de G, C_G ∘ Z ∘ Ё(G), no es igual a Negotiat(G)

Tipos de grupos

El grupo de automorfismos internos de un grupo G, Inn(G), es trivial (es decir, consta solo del elemento de identidad) si y solo si G es abeliano

El grupo Inn(G) es cíclico solo cuando es trivial.

En el extremo opuesto del espectro, los automorfismos internos pueden agotar todo el grupo de automorfismos; un grupo cuyos automorfismos son todos internos y cuyo centro es trivial se llama completo. Este es el caso de todos los grupos simétricos en elementos n cuando n no es 2 o 6. Cuando n = 6, el grupo simétrico tiene un único no trivial clase de automorfismos no internos, y cuando n = 2, el grupo simétrico, a pesar de no tener automorfismos no internos, es abeliano, dando un no -centro trivial, descalificándolo de ser completo.

Si el grupo de automorfismo interno de un grupo perfecto G es simple, entonces G se llama cuasisimple.

Caso de álgebra de mentira

Un automorfismo de un álgebra de Lie 𝔊 se denomina automorfismo interno si tiene la forma Ad_g, donde Ad es el mapa adjunto y g es un elemento de un grupo de Lie cuyo álgebra de Lie es 𝔊. La noción de automorfismo interno para álgebras de Lie es compatible con la noción de grupos en el sentido de que un automorfismo interno de un grupo de Lie induce un automorfismo interno único del álgebra de Lie correspondiente.

Extensión

Si G es el grupo de unidades de un anillo, A, entonces un automorfismo interno en G se puede extender a un mapeo en el proyectivo línea sobre A por el grupo de unidades del anillo de la matriz, M₂(A). En particular, los automorfismos internos de los grupos clásicos pueden extenderse de esa manera.