Automorfismo

Un automorfismo de los cuatro grupos Klein se muestra como un mapeo entre dos gráficos de Cayley, una permutación en la notación del ciclo, y un mapeo entre dos tablas de Cayley.

En matemáticas, un automorfismo es un isomorfismo de un objeto matemático a sí mismo. Es, en cierto sentido, una simetría del objeto y una forma de mapear el objeto a sí mismo mientras se preserva toda su estructura. El conjunto de todos los automorfismos de un objeto forma un grupo, llamado grupo de automorfismos. Es, en términos generales, el grupo de simetría del objeto.

Definición

En el contexto del álgebra abstracta, un objeto matemático es una estructura algebraica, como un grupo, un anillo o un espacio vectorial. Un automorfismo es simplemente un homomorfismo biyectivo de un objeto consigo mismo. (La definición de homomorfismo depende del tipo de estructura algebraica; véase, por ejemplo, homomorfismo de grupo, homomorfismo de anillo y operador lineal).

El morfismo de identidad (mapeo de identidad) se denomina automorfismo trivial en algunos contextos. Respectivamente, otros automorfismos (que no son de identidad) se denominan automorfismos no triviales.

La definición exacta de un automorfismo depende del tipo de "objeto matemático" en cuestión y qué, precisamente, constituye un "isomorfismo" de ese objeto. El escenario más general en el que estas palabras tienen significado es una rama abstracta de las matemáticas llamada teoría de categorías. La teoría de categorías trata con objetos abstractos y morfismos entre esos objetos.

En la teoría de categorías, un automorfismo es un endomorfismo (es decir, un morfismo de un objeto a sí mismo) que también es un isomorfismo (en el sentido categórico de la palabra, lo que significa que existe un derecho y endomorfismo inverso izquierdo).

Esta es una definición muy abstracta ya que, en la teoría de categorías, los morfismos no son necesariamente funciones y los objetos no son necesariamente conjuntos. Sin embargo, en la mayoría de los escenarios concretos, los objetos serán conjuntos con alguna estructura adicional y los morfismos serán funciones que preservan esa estructura.

Grupo de automorfismos

Si los automorfismos de un objeto X forman un conjunto (en lugar de una clase propiamente dicha), entonces forman un grupo bajo composición de morfismos. Este grupo se denomina grupo de automorfismos de X.

Clausura

Composición de dos automorfismos es otro automorfismo.

Associativity

Es parte de la definición de una categoría que la composición de los morfismos es asociativa.

Identidad

La identidad es el morfismo de identidad de un objeto a sí mismo, que es un automorfismo.

Inversos

Por definición cada isomorfismo tiene un inverso que es también un isomorfismo, y puesto que el inverso es también un endomorfismo del mismo objeto es un automorfismo.

El grupo de automorfismos de un objeto X en una categoría C se denota Aut_C( X), o simplemente Aut(X) si la categoría es clara por el contexto.

Ejemplos

• En la teoría de conjuntos, una permutación arbitraria de los elementos de un conjunto X es un automorfismo. El grupo de automorfismo X también se llama el grupo simétrico X.
• En aritmética elemental, el conjunto de enteros, Z, considerado como un grupo bajo adición, tiene un automorfismo notrivial único: negación. Considerado como un anillo, sin embargo, sólo tiene el automorfismo trivial. En términos generales, la negación es un automorfismo de cualquier grupo abeliano, pero no de un anillo o campo.
• Un automorfismo de grupo es un isomorfismo de grupo a sí mismo. Informalmente, es una permutación de los elementos del grupo tal que la estructura permanece inalterada. Por cada grupo G hay un homomorfismo de grupo natural G → Aut(G) cuya imagen es el grupo Inn(G) de automorfismos internos y cuyo núcleo es el centro de G. Así, si G tiene centro trivial que puede ser incrustado en su propio grupo de automorfismo.
• En álgebra lineal, un endomorfismo de un espacio vectorial V es un operador lineal V → V. Un automorfismo es un operador lineal invertible V. Cuando el espacio vectorial es finito-dimensional, el grupo de automorfismo V es el mismo que el grupo lineal general, GL(V). (La estructura algebraica de todos los endomorfismos de V es en sí mismo un álgebra sobre el mismo campo base que V, cuyos elementos invertibles consisten precisamente en GL(V).)
• Un automorfismo de campo es un homomorfismo de anillo bijetivo de un campo a sí mismo. En los casos de los números racionales (Q) y los números reales (RNo hay automorfismos de campo notrivial. Algunos subcampos de R tienen automorfismos de campo notrivial, que sin embargo no se extienden a todos R (porque no pueden preservar la propiedad de un número que tiene una raíz cuadrada en R). En el caso de los números complejos, C, hay un automorfismo notrivial único que envía R en R: conjugación compleja, pero hay infinitamente (incontablemente) muchos automorfismos "sacerdos" (suponiendo el axioma de elección). Los automorfismos de campo son importantes para la teoría de las extensiones de campo, en particular las extensiones de Galois. En el caso de una extensión Galois L/K el subgrupo de todos los automorfismos de L fijación K pointwise se llama el grupo Galois de la extensión.
• El grupo de automorfismo de las quaterniones (H) como un anillo son los automorfismos interiores, por el Skolem-Noether theorem: mapas de la forma a ↦ bab⁻¹. Este grupo es isomorfo a SO(3), el grupo de rotaciones en espacio tridimensional.
• El grupo de automorfismo de las octoniones (O) es el grupo excepcional Lie G2.
• En la teoría del gráfico un automorfismo de un gráfico es una permutación de los nodos que conserva los bordes y los no-edges. En particular, si dos nodos se unen por un borde, así son sus imágenes bajo la permutación.
• En la geometría, un automorfismo puede llamarse movimiento del espacio. También se utiliza terminología especializada:
  • En la geometría métrica un automorfismo es una auto-isometry. El grupo automorfismo también se llama grupo isometría.
  • En la categoría de superficies Riemann, un automorfismo es un mapa biholomorfo (también llamado mapa conformal), de una superficie a sí mismo. Por ejemplo, los automorfismos de la esfera Riemann son transformaciones Möbius.
  • Un automorfismo de un manifold diferente M es un diffeomorfismo de M a sí mismo. El grupo de automorfismo es a veces denotado Diff(M).
  • En la topología, los morfismos entre los espacios topológicos se denominan mapas continuos, y un automorfismo de un espacio topológico es un homeomorfismo del espacio a sí mismo, o auto-homeomorfismo (ver grupo homeomorfismo). En este ejemplo es no suficiente para que un morfismo sea bijetivo para ser un isomorfismo.

Historia

Uno de los primeros automorfismos de grupo (automorfismo de un grupo, no simplemente un grupo de automorfismos de puntos) fue dado por el matemático irlandés William Rowan Hamilton en 1856, en su cálculo icosiano, donde descubrió un automorfismo de orden dos, escribiendo:

así μ μ {displaystyle mu } es una nueva quinta raíz de la unidad, conectada con la antigua quinta raíz λ λ {displaystyle lambda } por relaciones de perfecta reciprocidad.

Automorfismos internos y externos

En algunas categorías, especialmente grupos, anillos y álgebras de Lie, es posible separar los automorfismos en dos tipos, denominados "internos" y "exterior" automorfismos.

En el caso de los grupos, los automorfismos internos son las conjugaciones de los elementos del propio grupo. Para cada elemento a de un grupo G, la conjugación por a es la operación φ_a: G → G dado por φ_a(g) = aga⁻¹ (o a⁻¹ga; el uso varía). Se puede comprobar fácilmente que la conjugación por a es un automorfismo de grupo. Los automorfismos internos forman un subgrupo normal de Aut(G), denotado por Inn(G); esto se llama el lema de Goursat.

Los otros automorfismos se denominan automorfismos externos. El grupo de cocientes Aut(G) / Inn(G) generalmente se denota por Out(G); los elementos no triviales son las clases laterales que contienen los automorfismos externos.

La misma definición vale para cualquier anillo unitario o álgebra donde a es cualquier elemento invertible. Para las álgebras de Lie, la definición es ligeramente diferente.