Atractor de Lorenz

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El sistema de Lorenz o atractor de Lorenz es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias estudiado por primera vez por el matemático y meteorólogo Edward Lorenz. Se destaca por tener soluciones caóticas para ciertos valores de parámetros y condiciones iniciales. En particular, el atractor de Lorenzes un conjunto de soluciones caóticas del sistema de Lorenz. En los medios populares, el "efecto mariposa" surge de las implicaciones del mundo real del atractor de Lorenz, a saber, que en un sistema físico caótico, en ausencia de un conocimiento perfecto de las condiciones iniciales (incluso la minúscula perturbación del aire debido a una mariposa). batiendo sus alas), nuestra capacidad de predecir su curso futuro siempre fallará. Esto subraya que los sistemas físicos pueden ser completamente deterministas y aún así ser inherentemente impredecibles. La forma del propio atractor de Lorenz, cuando se traza en el espacio de fase, también puede verse como una mariposa.

Visión general

En 1963, Edward Lorenz, con la ayuda de Ellen Fetter, responsable de las simulaciones y figuras numéricas, y de Margaret Hamilton, que ayudó en los cálculos numéricos iniciales que condujeron a los hallazgos del modelo de Lorenz, desarrollaron un modelo matemático simplificado para la atmósfera. convección. El modelo es un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias ahora conocidas como ecuaciones de Lorenz: ${displaystyle {begin{alineado}{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}&=sigma (yx),\[6pt]{frac {mathrm {d } y}{mathrm {d} t}}&=x(rho -z)-y,\[6pt]{frac {mathrm {d} z}{mathrm {d} t}}& =xy-beta z.end{alineado}}}$

Las ecuaciones relacionan las propiedades de una capa de fluido bidimensional calentada uniformemente desde abajo y enfriada desde arriba. En particular, las ecuaciones describen la tasa de cambio de tres cantidades con respecto al tiempo: x es proporcional a la tasa de convección, y a la variación de temperatura horizontal y z a la variación de temperatura vertical. Las constantes σ, ρ y β son parámetros del sistema proporcionales al número de Prandtl, el número de Rayleigh y ciertas dimensiones físicas de la capa misma.

Las ecuaciones de Lorenz también surgen en modelos simplificados para láseres, dínamos, termosifones, motores de CC sin escobillas, circuitos eléctricos, reacciones químicas y ósmosis directa. Las ecuaciones de Lorenz son también las ecuaciones gobernantes en el espacio de Fourier para la rueda hidráulica de Malkus. La rueda hidráulica de Malkus exhibe un movimiento caótico en el que, en lugar de girar en una dirección a una velocidad constante, su rotación se acelerará, se desacelerará, se detendrá, cambiará de dirección y oscilará de un lado a otro entre combinaciones de tales comportamientos de manera impredecible.

Desde un punto de vista técnico, el sistema de Lorenz es no lineal, aperiódico, tridimensional y determinista. Las ecuaciones de Lorenz han sido objeto de cientos de artículos de investigación y de al menos un estudio de la extensión de un libro.

Análisis

Normalmente se supone que los parámetros σ, ρ y β son positivos. Lorenz usó los valores σ = 10, β = 8 / 3 y ρ = 28. El sistema exhibe un comportamiento caótico para estos valores (y los cercanos).

Si ρ < 1, entonces solo hay un punto de equilibrio, que está en el origen. Este punto corresponde a la ausencia de convección. Todas las órbitas convergen al origen, que es un atractor global, cuando ρ < 1.

Se produce una bifurcación en horquilla en ρ = 1, y para ρ > 1 aparecen dos puntos críticos adicionales en ${displaystyle left({sqrt {beta (rho -1)}},{sqrt {beta (rho -1)}},rho -1right)quad {text{y }}quad left(-{sqrt {beta (rho -1)}},-{sqrt {beta (rho -1)}},rho -1right).}$

Estos corresponden a la convección constante. Este par de puntos de equilibrio es estable sólo si $rho <sigma {frac {sigma +beta +3}{sigma -beta -1}},$

que solo se puede cumplir para ρ positivo si σ > β + 1. En el valor crítico, ambos puntos de equilibrio pierden estabilidad a través de una bifurcación de Hopf subcrítica.

Cuando ρ = 28, σ = 10 y β = 8/3, el sistema de Lorenz tiene soluciones caóticas (pero no todas las soluciones son caóticas). Casi todos los puntos iniciales tenderán a un conjunto invariante, el atractor de Lorenz, un atractor extraño, un fractal y un atractor autoexcitado con respecto a los tres equilibrios. Su dimensión de Hausdorff se estima desde arriba por la dimensión de Lyapunov (dimensión de Kaplan-Yorke) como2,06 ± 0,01, y se estima que la dimensión de correlación es2,05 ± 0,01. La fórmula exacta de la dimensión de Lyapunov del atractor global se puede encontrar analíticamente bajo restricciones clásicas en los parámetros: ${displaystyle 3-{frac {2(sigma +beta +1)}{sigma +1+{sqrt {left(sigma -1right)^{2}+4sigma rho }}}}}$

El atractor de Lorenz es difícil de analizar, pero la acción de la ecuación diferencial sobre el atractor se describe mediante un modelo geométrico bastante simple. Demostrar que este es realmente el caso es el decimocuarto problema en la lista de problemas de Smale. Este problema fue el primero en ser resuelto, por Warwick Tucker en 2002.

Para otros valores de ρ, el sistema muestra órbitas periódicas anudadas. Por ejemplo, con ρ = 99,96 se convierte en un nudo toro T (3,2).

Ejemplos de soluciones del sistema de Lorenz para diferentes valores de ρ

ρ = 14, σ = 10, β = 8 / 3 (Ampliar)	ρ = 13, σ = 10, β = 8 / 3 (Ampliar)

ρ = 15, σ = 10, β = 8 / 3 (Ampliar)	ρ = 28, σ = 10, β = 8/3 (Ampliar)
Para valores pequeños de ρ, el sistema es estable y evoluciona a uno de los dos atractores de punto fijo. Cuando ρ > 24,74, los puntos fijos se convierten en repulsores y la trayectoria es repelida por ellos de forma muy compleja.

Dependencia sensible de la condición inicial
Tiempo t = 1 (Ampliar)	Tiempo t = 2 (Ampliar)	Tiempo t = 3 (Ampliar)

Estas figuras, hechas con ρ = 28, σ = 10 y β = 8/3, muestran tres segmentos de tiempo de la evolución tridimensional de dos trayectorias (una en azul, la otra en amarillo) en el atractor de Lorenz que comienza en dos puntos iniciales. puntos que difieren solo en 10 en la coordenada x. Al principio, las dos trayectorias parecen coincidentes (solo se ve la amarilla, ya que está dibujada sobre la azul), pero, después de un tiempo, la divergencia es evidente.

Conexión al mapa de la tienda

En la Figura 4 de su artículo, Lorenz trazó el valor máximo relativo en la dirección z logrado por el sistema frente al máximo relativo anterior en la dirección z. Este procedimiento más tarde se conoció como un mapa de Lorenz (que no debe confundirse con un diagrama de Poincaré, que traza las intersecciones de una trayectoria con una superficie prescrita). La trama resultante tiene una forma muy similar al mapa de la tienda. Lorenz también descubrió que cuando el valor máximo de z está por encima de cierto punto de corte, el sistema cambiará al siguiente lóbulo. Combinando esto con el caos que se sabe que exhibe el mapa de la tienda, mostró que el sistema cambia entre los dos lóbulos caóticamente.

Un sistema de Lorenz generalizado

En los últimos años, una serie de documentos sobre modelos de Lorenz de alta dimensión han producido un modelo de Lorenz generalizado, que se puede simplificar en el modelo clásico de Lorenz para tres variables de estado o el siguiente modelo de Lorenz de cinco dimensiones para cinco variables de estado:

{displaystyle {begin{alineado}{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}&=sigma (yx),\[6pt]{frac {mathrm {d } y}{mathrm {d} t}}&=x(rho -z)-y,\[6pt]{frac {mathrm {d} z}{mathrm {d} t}}& =xy-xy_{1}-beta z,\[6pt]{frac {mathrm {d} y_{1}}{mathrm {d} t}}&=xz-2xz_{1}-d_ {0}y_{1},\[6pt]{frac {mathrm {d} z_{1}}{mathrm {d} t}}&=2xy_{1}-4beta z_{1}.end{alineado}}}

Se ha aplicado una elección del parámetro d _{0 = 19/3 para ser consistente con la elección de los otros parámetros.}Ver detalles en.

Simulaciones

Simulación julia

usando  DifferentialEquations,  Parcelas 
función  lorenz! (du, u, pag, t) 
    du [ 1 ]  =  10.0 * (u [ 2 ] - u [ 1 ]) 
    du [ 2 ]  =  u [ 1 ] * (28.0 - u [ 3 ])  -  u [ 2 ] 
    du [ 3]  =  tu [ 1 ] * tu [ 2 ]  -  (8 / 3) * tu [ 3 ] 
end 
u0  =  [ 1.0; 0.0; 0.0 ] 
tspan  =  (0.0, 100.0) 
prob  =  ODEProblem (lorenz!, u0, tspan) 
sol  =  resolver (prob) 
trazar (sol, vars = (1, 2, 3))

SimulaciónMATLAB

% Resolver en intervalo de tiempo [0,100] con condiciones iniciales [1,1,1]
% ''f'' es un conjunto de ecuaciones diferenciales
% ''a'' es una matriz que contiene variables x, y y z
% ''t'' es variable de tiempo

sigma = 10;  
beta = 8/3; _ _  
ro = 28;  
f = @(t, a) [ - sigma * a (1) + sigma * a (2); rho * a (1) - a (2) - a (1) * a (3); - beta * a (3) + a (1) * a (2)];             
[ t, a ] = ode45 (f,[ 0 100 ],[ 1 1 1 ]); % Runge-Kutta 4th/5th order ODE solver          
plot3 (un (:, 1), un (:, 2), un (:, 3))

Simulación matemática

Forma estándar:

tender = 50;  
eq = { x ' [ t ] == σ (y [ t ] - x [ t ]), y ' [ t ] == x [ t ] (ρ - z [ t ]) - y [ t ], z ' [ v ] == x [ v ] y [ v ] - β z [        
              
            t ]};
inicializar = { x [ 0 ] == 10, y [ 0 ] == 10, z [ 0 ] == 10 };          
pares = { σ -> 10, ρ -> 28, β - > 8/3 };    
{ xs, ys, zs } = NDSolveValue [{ eq /. pars, init }, { x, y, z }, { t, 0, tend }];    
           
ParametricPlot3D [{ xs [ t ], ys [ t ], zs [ t ]}, { t, 0, tender }]

Menos detallado:

lorenz = Modelo de espacio de estado no lineal [{{ σ (y - x), x (ρ - z) - y, x y - β z }, {}}, { x, y, z }, { σ, ρ, β }];                       
soln [ t_ ] = StateResponse [{ lorenz, { 10, 10, 10 }}, { 10, 28, 8 / 3 }, { t, 0, 50 }];           
ParametricPlot3D [ solución [ t ], { t, 0, 50 }]

Simulación de Python

importar  numpy  como  np
importar  matplotlib.pyplot  como  plt
de  scipy.integrate  import  odeint
desde  mpl_toolkits.mplot3d  importar  Axes3D

ro  =  28,0
sigma  =  10,0
beta  =  8.0  /  3.0

def  f (estado,  t):
    x,  y,  z  =  estado   # Desempaquetar el vector de estado
    return  sigma  *  (y  -  x),  x  *  (rho  -  z)  -  y,  x  *  y  -  beta  *  z   # Derivadas

estado0  =  [ 1.0,  1.0,  1.0 ]
t  =  np. arange (0.0,  40.0,  0.01)

estados  =  odeint (f,  state0,  t)

higo  =  plt. figura ()
hacha  =  higo. add_subplot (proyección = '3d')
hacha _ parcela (estados [:,  0 ],  estados [:,  1 ],  estados [:,  2 ])
por favor dibujar ()
por favor mostrar ()

Código de Python para el sistema de Lorenz de cinco dimensiones

importar  numpy  como  np
importar  matplotlib.pyplot  como  plt
de  scipy.integrate  import  odeint
desde  mpl_toolkits.mplot3d  importar  Axes3D

ro  =  43,5
sigma  =  10,0
beta  =  8.0  /  3.0
d0  =  19,0  /  3,0 

def  f (estado,  t):
    x,  y,  z,  y1,  z1  =  estado   # Descomprima el vector de estado
    devuelve  sigma  *  (y  -  x),  x  *  (rho  -  z)  -  y,  x  *  y  -  x  *  y1  -  beta  *  z,  x  *  z  -  2  *  x  *  z1  -  d0  *  y1,  2  *  x  *  y1  -  4  *  beta  *  z1   # Derivados

estado0  =  [ 1.0,  1.0,  1.0,  1.0,  1.0 ]
t  =  np. arange (0.0,  40.0,  0.01)

estados  =  odeint (f,  state0,  t)

higo,  hacha  =  plt. subparcelas (subparcela_kw = dict (proyección = '3d'))
hacha _ parcela (estados [:,  0 ],  estados [:,  1 ],  estados [:,  2 ])
por favor dibujar ()
por favor mostrar ()

Aplicaciones

Modelo para convección atmosférica

Como se muestra en el artículo original de Lorenz, el sistema de Lorenz es una versión reducida de un sistema más grande estudiado anteriormente por Barry Saltzman. Las ecuaciones de Lorenz se derivan de la aproximación de Oberbeck-Boussinesq a las ecuaciones que describen la circulación de un fluido en una capa poco profunda de fluido, calentado uniformemente desde abajo y enfriado uniformemente desde arriba. Esta circulación de fluidos se conoce como convección de Rayleigh-Bénard. Se supone que el fluido circula en dos dimensiones (vertical y horizontal) con condiciones de contorno rectangulares periódicas.

Las ecuaciones diferenciales parciales que modelan la temperatura y la función de la corriente del sistema están sujetas a una aproximación espectral de Galerkin: los campos hidrodinámicos se expanden en series de Fourier, que luego se truncan severamente a un solo término para la función de la corriente y dos términos para la temperatura. Esto reduce las ecuaciones del modelo a un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales acopladas. Se puede encontrar una derivación detallada, por ejemplo, en textos de dinámica no lineal de Hilborn (2000), Apéndice C; 1984 Bergé, Pomeau & Vidal (1984), Apéndice D; o Shen (2016), Materiales complementarios.

Resolución del problema 14 de Smale

El decimocuarto problema de Smale dice: "¿Las propiedades del atractor de Lorenz exhiben las de un atractor extraño?". El problema fue respondido afirmativamente por Warwick Tucker en 2002. Para probar este resultado, Tucker usó métodos numéricos rigurosos como la aritmética de intervalos y las formas normales. Primero, Tucker definió una sección transversal ${ estilo de visualización Sigma subconjunto {x_ {3} = r-1 }}$ que es cortada transversalmente por las trayectorias de flujo. A partir de esto, se puede definir el mapa de primer retorno $PAGS$ , que asigna a cada uno ${ estilo de visualización x en Sigma}$ el punto donde se cruza $P(x)$ la trayectoria del primero. $X$ $Sigma$

Entonces la prueba se divide en tres puntos principales que se prueban e implican la existencia de un atractor extraño. Los tres puntos son:

Existe una región ${ estilo de visualización N subconjunto Sigma}$ invariante bajo el mapa de primer retorno, lo que significa ${ estilo de visualización P (N) subconjunto N}$ .
El mapa de retorno admite un campo de cono invariante hacia adelante.
Los vectores dentro de este campo cónico invariante se expanden uniformemente por la derivada $DP$ del mapa de retorno.

Para probar el primer punto, notamos que la sección transversal $Sigma$ está cortada por dos arcos formados por ${ estilo de visualización P ( Sigma)}$ . Tucker cubre la ubicación de estos dos arcos por pequeños rectángulos $Rhode Island}$ , la unión de estos rectángulos da $norte$ . Ahora, el objetivo es probar que para todos los puntos en $norte$ , el flujo traerá de vuelta los puntos en $Sigma$ , en $norte$ . Para hacer eso, tomamos un plano a ${ estilo de visualización Sigma '}$ continuación $Sigma$ a una distancia $h$ pequeña, luego, al tomar el centro y usar el método de integración $c_{yo}$ de $Rhode Island}$ Euler, se puede estimar dónde traerá el flujo, lo $c_{yo}$ que ${ estilo de visualización Sigma '}$ nos da un nuevo punto ${displaystyle c_{i}'}$ . Entonces, uno puede estimar dónde se mapearán los puntos $Sigma$ usando ${ estilo de visualización Sigma '}$ la expansión de Taylor, esto nos da un nuevo rectángulo $Rhode Island'$ centrado en $c_{yo}$ . Así sabemos que todos los puntos en $Rhode Island}$ serán mapeados en $Rhode Island'$ . El objetivo es hacer este método recursivamente hasta que el flujo regrese $Sigma$ y obtengamos un rectángulo ${displaystyle Rf_{yo}}$ en $Sigma$ el que sepamos que ${displaystyle P(R_{i})subconjunto Rf_{i}}$ . El problema es que nuestra estimación puede volverse imprecisa después de varias iteraciones, por lo que lo que hace Tucker es dividir $Rhode Island'$ en rectángulos más pequeños $R_{{i,j}}$ y luego aplicar el proceso recursivamente. Otro problema es que a medida que aplicamos este algoritmo, el flujo se vuelve más 'horizontal', lo que lleva a un aumento dramático en la imprecisión. Para evitar esto, el algoritmo cambia la orientación de las secciones transversales, haciéndolas horizontales o verticales.

Galería

Una solución en el atractor de Lorenz graficada a alta resolución en el plano xz.
Una solución en el atractor de Lorenz representado como un SVG.
Una animación que muestra trayectorias de múltiples soluciones en un sistema de Lorenz.
Una solución en el atractor de Lorenz representado como un alambre de metal para mostrar la dirección y la estructura 3D.
Una animación que muestra la divergencia de soluciones cercanas al sistema de Lorenz.
Una visualización del atractor de Lorenz cerca de un ciclo intermitente.
Dos líneas de corriente en un sistema de Lorenz, de ρ = 0 a ρ = 28 (σ = 10, β = 8/3). _
Animación de un Sistema de Lorenz con rho-dependencia.
Animación del atractor de Lorenz en Brain Dynamics Toolbox.