Asortatividad

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Asortatividad o mezcla selectiva, es una preferencia de los nodos de una red para unirse a otros que son similares de alguna manera. Aunque la medida específica de similitud puede variar, los teóricos de redes a menudo examinan la variedad en términos del grado de un nodo. La adición de esta característica a los modelos de red se aproxima más a los comportamientos de muchas redes del mundo real.

Las correlaciones entre nodos de grado similar a menudo se encuentran en los patrones de mezcla de muchas redes observables. Por ejemplo, en las redes sociales, los nodos tienden a estar conectados con otros nodos con valores de grado similares. Esta tendencia se conoce como mezcla selectiva o asortatividad. Por otro lado, las redes tecnológicas y biológicas suelen mostrar una mezcla desordenada o desordenada, ya que los nodos de alto grado tienden a unirse a los nodos de bajo grado.

Medición

La capacidad de selección a menudo se operacionaliza como una correlación entre dos nodos. Sin embargo, hay varias formas de capturar tal correlación. Las dos medidas más destacadas son el coeficiente de surtido y la conectividad vecina. Estas medidas se describen con más detalle a continuación.

Coeficiente de surtido

El coeficiente de asortatividad es el coeficiente de correlación de grado de Pearson entre pares de nodos enlazados. Los valores positivos de r indican una correlación entre nodos de grado similar, mientras que los valores negativos indican relaciones entre nodos de diferente grado. En general, r se encuentra entre −1 y 1. Cuando r = 1, se dice que la red tiene patrones de mezcla clasificados perfectos, cuando r = 0 la red no es clasificativa, mientras que en r = −1 la red es completamente desordenada.

El coeficiente de surtido está dado por $r = frac{sum_{jk}{jk (e_{jk} - q_j q_k)}}{sigma_{q}^{2}}$ . El término $q_{{k}}$ es la distribución del grado restante. Esto captura la cantidad de aristas que salen del nodo, además de la que conecta el par. La distribución de este término se deriva de la distribución de grados $paquete}}$ como ${displaystyle q_{k}={frac {(k+1)p_{k+1}}{sum_{jgeq 1}jp_{j}}}}$ . Finalmente, $e_{{jk}}$ se refiere a la distribución de probabilidad conjunta de los grados restantes de los dos vértices. Esta cantidad es simétrica en un gráfico no dirigido y sigue las reglas de la suma $sum_{jk}{e_{jk}} = 1,$ y $sum_{j}{e_{jk}} = q_{k},$ .

En un gráfico dirigido, la capacidad de selección ( $r(text{en}, text{en})$ ) y la capacidad de selección ( $r(text{fuera}, text{fuera})$ ) miden las tendencias de los nodos para conectarse con otros nodos que tienen grados de entrada y salida similares a ellos, respectivamente. Ampliando esto aún más, se pueden considerar cuatro tipos de surtido (ver). Adoptando la notación de dicho artículo, es posible definir cuatro métricas $r(text{en}, text{en})$ , $r(text{entrada}, text{salida})$ , $r(text{salida}, text{entrada})$ y $r(text{fuera}, text{fuera})$ . Sea $(Alfa Beta)$ , uno de los pares de palabras de entrada/salida (p. ej ., ) $(alpha,beta)=(text{salida},text{entrada})$ . Sea $mi$ el número de aristas en la red. Supongamos que etiquetamos los bordes de la red $1,ldots,E$ . Borde dado $i$ , $j^{alfa}_i$ sea el $alfa$ -grado de la fuente (es decir, la cola) el vértice del nodo del borde, y $k^{beta}_i$ ser el $beta$ -grado del nodo objetivo (es decir, la cabeza) del borde $i$ . Indicamos los valores medios con barras, de modo que $bar{j^alfa}$ , y $bar{k^beta}$ son el $alfa$ -grado medio de las fuentes y $beta$ el -grado de los objetivos, respectivamente; se toman promedios en los bordes de la red. Finalmente, tenemos

r(alpha,beta)=frac{sum_i (j^alpha_i-bar{j^alpha})(k^beta_i-bar{k^beta})}{ sqrt{ sum_i (j^alpha_i-bar{j^alpha})^2} sqrt{sum_i (k^beta_i-bar{k^beta})^2} }.

Conectividad vecina

Otro medio de capturar el grado de correlación es examinar las propiedades de $langle k_{nn} rangle$ , o el grado promedio de los vecinos de un nodo con grado k. Este término se define formalmente como: $langle k_{nn} rangle = sum_{k'}{k'P(k'|k)}$ , donde $P(k'|k)$ es la probabilidad condicional de que una arista de un nodo de grado k apunte a un nodo de grado k'. Si esta función es creciente, la red es assortativa, ya que muestra que los nodos de alto grado se conectan, en promedio, con nodos de alto grado. Alternativamente, si la función es decreciente, la red es desordenada, ya que los nodos de alto grado tienden a conectarse con nodos de menor grado. La función se puede trazar en un gráfico (ver Fig. 2) para representar la tendencia general de surtido de una red.

Variedad local

En las redes clasificatorias, podría haber nodos que no clasifican y viceversa. Se requiere una medida de selección local para identificar tales anomalías dentro de las redes. La assortatividad local se define como la contribución que cada nodo hace a la assortatividad de la red. La selectividad local en redes no dirigidas se define como,

rho = frac{j left(j+1right)left(overline{k}- {mu }_qright)}{2M{sigma }^2_q}

Donde $j$ es el grado de exceso de un nodo en particular y $sobrelínea {k}$ es el grado de exceso promedio de sus vecinos y M es el número de enlaces en la red.

Respectivamente, la capacidad de selección local para redes dirigidas es la contribución de un nodo a la capacidad de selección dirigida de una red. La contribución de un nodo a la variedad de una red dirigida $r_d$ se define como, ${rho }_d= frac{{j_{out}}^2left({overline{k}}_{in}- {mu }^{in}_qright)+ {j_ {entrada}}^2left({overline{k}}_{salida}- {mu }^{salida}_qright)}{2 M{sigma }^{entrada}_q{ sigma }^{fuera}_q}$

Donde $j_{fuera}$ es el grado de salida del nodo bajo consideración y $j_{en}$ es el grado de entrada, ${overline{k}}_{en}$ es el grado de entrada promedio de sus vecinos (al cual el nodo $v$ } tiene un borde) y ${overline{k}}_{fuera}$ es el grado de salida promedio de sus vecinos (desde el cual el nodo $v$ tiene un borde). ${sigma}^{en}_q ne 0$ , ${ sigma }^{fuera}_q ne 0$ .

Al incluir los términos de escala ${sigma}^{en}_q$ y ${ sigma}^{fuera}_q$ , nos aseguramos de que la ecuación para la capacidad de selección local para una red dirigida satisfaga la condición $r_d= sum^N_{i=1}{{rho}_d}$ .

Además, en función de si se considera la distribución dentro o fuera del grado, es posible definir la capacidad de selección local y la capacidad de selección local como las respectivas medidas de capacidad de selección local en una red dirigida.

Patrones de mezcla surtidos de redes reales

Se han examinado los patrones surtidos de una variedad de redes del mundo real. Por ejemplo, la figura 3 enumera los valores de r para una variedad de redes. Tenga en cuenta que las redes sociales (las primeras cinco entradas) tienen una mezcla aparente aparente. Por otro lado, las redes tecnológicas y biológicas (las seis entradas del medio) parecen todas desordenadas. Se ha sugerido que esto se debe a que la mayoría de las redes tienen una tendencia a evolucionar, a menos que estén limitadas de otro modo, hacia su estado de máxima entropía, que suele ser desordenado.

La tabla también tiene el valor de r calculado analíticamente para dos modelos de redes:

el gráfico aleatorio de Erdős y Rényi
Modelo BA (modelo Barabási-Albert)

En el modelo ER, dado que los bordes se colocan al azar sin tener en cuenta el grado de vértice, se deduce que r = 0 en el límite de tamaño de gráfico grande. El modelo BA sin escala también tiene esta propiedad. Para el modelo BA en el caso especial de m=1 (donde cada nodo entrante se une a solo uno de los nodos existentes con una probabilidad proporcional al grado), tenemos $r a 0$ como $(log^2 N)/N$ en el límite de grande $norte$ .

Solicitud

Las propiedades de la variedad son útiles en el campo de la epidemiología, ya que pueden ayudar a comprender la propagación de enfermedades o curas. Por ejemplo, la eliminación de una parte de los vértices de una red puede corresponder a curar, vacunar o poner en cuarentena a individuos o células. Dado que las redes sociales demuestran una mezcla selectiva, es probable que las enfermedades que se dirigen a personas de alto grado se propaguen a otros nodos de alto grado. Alternativamente, dentro de la red celular, que, como red biológica, es probablemente disortiva, las estrategias de vacunación que se dirigen específicamente a los vértices de alto grado pueden destruir rápidamente la red epidémica.

Dissortatividad estructural

La estructura básica de una red puede hacer que estas medidas muestren desorden, lo que no es representativo de ninguna combinación de surtido o desorden subyacente. Se debe tener especial cuidado para evitar este desorden estructural.

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