Arquímedes

Arquímedes de Siracusa (c. 287 – c. 212 BC) fue un matemático, físico, ingeniero, astrónomo e inventor griego de la antigua ciudad de Siracusa. en Sicilia. Aunque se conocen pocos detalles de su vida, se le considera uno de los principales científicos de la antigüedad clásica. Considerado el matemático más grande de la historia antigua y uno de los más grandes de todos los tiempos, Arquímedes anticipó el cálculo y el análisis modernos al aplicar el concepto de lo infinitamente pequeño y el método de agotamiento para derivar y demostrar rigurosamente una variedad de teoremas geométricos. Estos incluyen el área de un círculo, el área de la superficie y el volumen de una esfera, el área de una elipse, el área bajo una parábola, el volumen de un segmento de un paraboloide de revolución, el volumen de un segmento de un hiperboloide de revolución, y el área de una espiral.

Arquímedes' otros logros matemáticos incluyen derivar una aproximación de pi, definir e investigar la espiral de Arquímedes e idear un sistema usando exponenciación para expresar números muy grandes. También fue uno de los primeros en aplicar las matemáticas a los fenómenos físicos, trabajando en estática e hidrostática. Arquímedes' Los logros en esta área incluyen una prueba de la ley de la palanca, el uso generalizado del concepto de centro de gravedad y la enunciación de la ley de flotabilidad o de Arquímedes. principio. También se le atribuye el diseño de máquinas innovadoras, como su bomba de tornillo, poleas compuestas y máquinas de guerra defensivas para proteger su Syracuse natal de una invasión.

Arquímedes murió durante el sitio de Siracusa, cuando un soldado romano lo mató a pesar de las órdenes de no hacerle daño. Cicerón describe la visita de Arquímedes' tumba, que estaba coronada por una esfera y un cilindro que Arquímedes pidió que se colocara allí para representar sus descubrimientos matemáticos.

A diferencia de sus inventos, Arquímedes' Los escritos matemáticos eran poco conocidos en la antigüedad. Los matemáticos de Alejandría lo leyeron y lo citaron, pero la primera compilación completa no se realizó hasta c. 530 AD de Isidoro de Mileto en la Constantinopla bizantina, mientras que los comentarios sobre las obras de Arquímedes de Eutocius en el siglo VI las abrieron a un público más amplio por primera vez. Las relativamente pocas copias de Archimedes' El trabajo escrito que sobrevivió a través de la Edad Media fue una fuente influyente de ideas para los científicos durante el Renacimiento y nuevamente en el siglo XVII, mientras que el descubrimiento en 1906 de trabajos previamente perdidos de Arquímedes en el Palimpsesto de Arquímedes ha proporcionado nuevos conocimientos sobre cómo obtuvo las matemáticas. resultados.

Biografía

La muerte de Arquímedes (1815) de Thomas Degeorge

Arquímedes nació c. 287 a. C. en la ciudad portuaria de Siracusa, Sicilia, en ese momento una colonia autónoma en Magna Graecia. La fecha de nacimiento se basa en una declaración del historiador griego bizantino John Tzetzes de que Arquímedes vivió 75 años antes de su muerte en el 212 a. En el Sand-Reckoner, Arquímedes da el nombre de su padre como Fidias, un astrónomo del que no se sabe nada más. Su amigo Heráclides escribió una biografía de Arquímedes, pero este trabajo se ha perdido, dejando oscuros los detalles de su vida. Se desconoce, por ejemplo, si alguna vez se casó o tuvo hijos, o si alguna vez visitó Alejandría, Egipto, durante su juventud. De sus obras escritas sobrevivientes, está claro que mantuvo relaciones colegiadas con eruditos con sede allí, incluido su amigo Conón de Samos y el bibliotecario principal Eratóstenes de Cirene.

Las versiones estándar de Archimedes' vida fueron escritos mucho después de su muerte por historiadores griegos y romanos. La primera referencia a Arquímedes aparece en Las historias de Polibio (c. 200–118 a. C.), escrita unos 70 años después de su muerte. Arroja poca luz sobre Arquímedes como persona y se centra en las máquinas de guerra que se dice que construyó para defender la ciudad de los romanos. Polybius comenta cómo, durante la Segunda Guerra Púnica, Siracusa cambió su lealtad de Roma a Cartago, lo que resultó en una campaña militar bajo el mando de Marcus Claudius Marcellus y Appius Claudius Pulcher, quienes sitiaron la ciudad desde el 213 al 212 a. Señala que los romanos subestimaron las defensas de Siracusa y menciona varias máquinas que diseñó Arquímedes, incluidas catapultas mejoradas, máquinas similares a grúas que podían girar en un arco y otros lanzadores de piedras. Aunque los romanos finalmente capturaron la ciudad, sufrieron pérdidas considerables debido a las órdenes de Arquímedes. inventiva.

Cicerón Descubriendo la Tumba de Arquímedes (1805) de Benjamin West

Cicerón (106–43 a. C.) menciona a Arquímedes en algunas de sus obras. Mientras se desempeñaba como cuestor en Sicilia, Cicerón encontró lo que se suponía era Arquímedes & # 39; tumba cerca de la puerta de Agrigentina en Siracusa, en estado de abandono y cubierta de arbustos. Cicerón hizo limpiar la tumba y pudo ver la talla y leer algunos de los versos que se habían agregado como inscripción. La tumba llevaba una escultura que ilustraba a Arquímedes' prueba matemática favorita, que el volumen y el área de la superficie de la esfera son dos tercios de los del cilindro incluyendo sus bases. También menciona que Marcelo trajo a Roma dos planetarios construidos por Arquímedes. El historiador romano Tito Livio (59 a. C.-17 d. C.) vuelve a contar a Polibio' historia de la captura de Siracusa y Arquímedes' papel en ella.

Plutarco (45–119 d. C.) escribió en sus Vidas paralelas que Arquímedes estaba emparentado con el rey Hierón II, gobernante de Siracusa. También proporciona al menos dos relatos sobre cómo murió Arquímedes después de la toma de la ciudad. Según el relato más popular, Arquímedes estaba contemplando un diagrama matemático cuando la ciudad fue capturada. Un soldado romano le ordenó que fuera a encontrarse con Marcelo, pero él se negó, diciendo que tenía que terminar de trabajar en el problema. Esto enfureció al soldado, que mató a Arquímedes con su espada. Otra historia muestra a Arquímedes cargando instrumentos matemáticos antes de ser asesinado porque un soldado pensó que eran artículos valiosos. Según los informes, Marcellus estaba enojado por Arquímedes & # 39; muerte, ya que lo consideraba un valioso activo científico (llamó a Arquímedes "un Briareo geométrico") y había ordenado que no se le hiciera daño.

Las últimas palabras atribuidas a Arquímedes son "No molestes a mis círculos" (Latín, "Noli turbare circulos meos"; Katharevousa Griego, "μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε"), una referencia al dibujo matemático que supuestamente fue estudiando cuando es molestado por el soldado romano. No hay evidencia confiable de que Arquímedes haya pronunciado estas palabras y no aparecen en el relato de Plutarco. Una cita similar se encuentra en la obra de Valerio Máximo (fl. 30 d. C.), quien escribió en Dichos y hechos memorables, "... sed protecto manibus puluere 'noli' inquit, 'obsecro, istum disturbare'" ("... pero protegiéndose del polvo con las manos, dijo 'Te lo ruego, no molestes a este'").

Descubrimientos e inventos

Arquímedes N.º 39; principio

La anécdota más conocida sobre Arquímedes cuenta cómo inventó un método para determinar el volumen de un objeto con forma irregular. Según Vitruvio, se había hecho una corona votiva para un templo para el rey Hierón II de Siracusa, quien había suministrado el oro puro para ser utilizado; Se le pidió a Arquímedes que determinara si el orfebre deshonesto había sustituido algo de plata. Arquímedes tuvo que resolver el problema sin dañar la corona, por lo que no pudo fundirla en un cuerpo de forma regular para calcular su densidad.

En Vitruvio' cuenta, Arquímedes notó mientras se bañaba que el nivel del agua en la tina subía al entrar, y se dio cuenta de que este efecto podía usarse para determinar el volumen de la corona. A efectos prácticos el agua es incompresible, por lo que la corona sumergida desplazaría una cantidad de agua igual a su propio volumen. Dividiendo la masa de la copa por el volumen de agua desplazada, se pudo obtener la densidad de la copa. Esta densidad sería menor que la del oro si se le hubieran agregado metales más baratos y menos densos. Entonces Arquímedes salió desnudo a las calles, tan emocionado por su descubrimiento que se había olvidado de vestirse, gritando "¡Eureka!" (Griego: "εὕρηκα, heúrēka!, lit. '¡Lo he encontrado!'). La prueba de la corona se llevó a cabo con éxito, demostrando que efectivamente se había mezclado plata.

La historia de la corona de oro no aparece en ninguna parte de Archimedes' obras conocidas. La practicidad del método que describe ha sido cuestionada debido a la extrema precisión que se requeriría al medir el desplazamiento del agua. En cambio, Arquímedes pudo haber buscado una solución que aplicara el principio conocido en hidrostática como Archimedes' principio, que describe en su tratado Sobre los cuerpos flotantes. Este principio establece que un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotación igual al peso del fluido que desplaza. Usando este principio, habría sido posible comparar la densidad de la corona con la del oro puro equilibrando la corona en una balanza con una muestra de referencia de oro puro del mismo peso, y luego sumergiendo el aparato en agua. La diferencia de densidad entre las dos muestras haría que la balanza se inclinara en consecuencia. Galileo Galilei, quien en 1586 inventó una balanza hidrostática para pesar metales en aire y agua inspirado en la obra de Arquímedes, consideró "probable que este método sea el mismo que siguió Arquímedes, ya que, además de ser muy preciso, es basado en demostraciones encontradas por el mismo Arquímedes."

Arquímedes N.º 39; tornillo

El tornillo de Arquímedes puede elevar el agua eficientemente.

Gran parte de Arquímedes' El trabajo en ingeniería probablemente surgió para satisfacer las necesidades de su ciudad natal de Siracusa. El escritor griego Ateneo de Naucratis describió cómo el rey Hierón II encargó a Arquímedes que diseñara un enorme barco, el Syracusia, que podría usarse para viajes de lujo, transporte de suministros y como buque de guerra naval. Se dice que el Syracusia fue el barco más grande construido en la antigüedad clásica. Según Ateneo, tenía capacidad para transportar a 600 personas e incluía entre sus instalaciones decoraciones de jardín, un gimnasio y un templo dedicado a la diosa Afrodita. Dado que un barco de este tamaño perdería una cantidad considerable de agua a través del casco, Archimedes' El tornillo supuestamente se desarrolló para eliminar el agua de la sentina. Arquímedes' máquina era un dispositivo con una hoja giratoria en forma de tornillo dentro de un cilindro. Se giraba a mano y también se podía utilizar para transferir agua desde una masa de agua baja a los canales de riego. Arquímedes' El tornillo todavía se usa hoy para bombear líquidos y sólidos granulados como el carbón y el grano. Descrito en la época romana por Vitruvio, Arquímedes' tornillo puede haber sido una mejora en una bomba de tornillo que se utilizó para regar los Jardines Colgantes de Babilonia. El primer barco de vapor de navegación marítima del mundo con una hélice de tornillo fue el SS Archimedes, que se botó en 1839 y recibió su nombre en honor a Arquímedes y su trabajo sobre el tornillo.

Arquímedes N.º 39; garra

Se dice que Arquímedes diseñó una garra como arma para defender la ciudad de Siracusa. También conocido como "the ship shaker&# 34;, la garra consistía en un brazo en forma de grúa del que colgaba un gran garfio de metal. Cuando la garra se dejaba caer sobre un barco atacante, el brazo se balanceaba hacia arriba, levantando el barco fuera del agua y posiblemente hundiéndolo.

Ha habido experimentos modernos para probar la viabilidad de la garra, y en 2005 un documental de televisión titulado Superweapons of the Ancient World construyó una versión de la garra y concluyó que era un dispositivo funcional.

Rayo de calor

Archimedes allegedly used mirrors collectively as a parabolic reflector against vessels attacking Syracuse.

Es posible que Arquímedes haya escrito una obra sobre espejos titulada Catoptrica, y autores posteriores creyeron que podría haber usado espejos actuando colectivamente como un reflector parabólico para quemar los barcos que atacaban Siracusa. Luciano escribió, en el siglo II dC, que durante el asedio de Siracusa, Arquímedes destruyó las naves enemigas con fuego. Casi cuatrocientos años después, Antemio de Tralles menciona, algo vacilante, que Arquímedes podría haber usado lentes incendiarios como arma. El presunto dispositivo, a menudo llamado "rayo de calor de Arquímedes", enfocó la luz del sol en los barcos que se acercaban, provocando que se incendiaran. En la era moderna, se han construido dispositivos similares y pueden denominarse helióstato u horno solar.

Arquímedes' El supuesto rayo de calor ha sido objeto de un debate en curso sobre su credibilidad desde el Renacimiento. René Descartes lo rechazó como falso, mientras que los investigadores modernos han intentado recrear el efecto utilizando solo los medios que habrían estado disponibles para Arquímedes, en su mayoría con resultados negativos. Se ha sugerido que se podría haber empleado una gran variedad de escudos de bronce o cobre muy pulidos que actúan como espejos para enfocar la luz del sol en un barco, pero el efecto general habría sido cegar, deslumbrar o distraer a la tripulación del barco en lugar de disparar..

Palanca

Si bien Arquímedes no inventó la palanca, dio una prueba matemática del principio involucrado en su obra Sobre el equilibrio de los planos. Las descripciones anteriores de la palanca se encuentran en la escuela peripatética de los seguidores de Aristóteles y, a veces, se atribuyen a Arquitas. Hay varios informes, a menudo contradictorios, sobre Arquímedes & # 39; Hazañas usando la palanca para levantar objetos muy pesados. Plutarch describe cómo Arquímedes diseñó sistemas de poleas de bloqueo y aparejos, lo que permitió a los marineros utilizar el principio de palanca para levantar objetos que, de otro modo, habrían sido demasiado pesados para mover. Según Pappus de Alejandría, Arquímedes' el trabajo en las palancas le hizo comentar: "Dame un lugar para pararme y moveré la Tierra" (Griego: δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω). Olympiodorus más tarde atribuyó el mismo alarde a Arquímedes' invención del baroulkos, una especie de molinete, en lugar de la palanca.

A Arquímedes también se le atribuye haber mejorado el poder y la precisión de la catapulta, y haber inventado el cuentakilómetros durante la Primera Guerra Púnica. El odómetro se describió como un carro con un mecanismo de engranajes que dejaba caer una pelota en un contenedor después de cada milla recorrida.

Instrumentos astronómicos

Arquímedes analiza las medidas astronómicas de la Tierra, el Sol y la Luna, así como Aristarchus' modelo heliocéntrico del universo, en el Sand-Reckoner. Sin el uso de trigonometría o una tabla de cuerdas, Arquímedes describe el procedimiento y el instrumento utilizado para hacer observaciones (una barra recta con clavijas o ranuras), aplica factores de corrección a estas medidas y finalmente da el resultado en forma de superior e inferior. límites inferiores para tener en cuenta el error de observación. Ptolomeo, citando a Hiparco, también hace referencia a Arquímedes' observaciones del solsticio en el Almagest. Esto convertiría a Arquímedes en el primer griego conocido en haber registrado múltiples fechas y horas de solsticio en años sucesivos.

De re publica de Cicerón retrata una conversación ficticia que tiene lugar en el año 129 a. C., después de la Segunda Guerra Púnica. Se dice que el general Marcus Claudius Marcellus se llevó a Roma dos mecanismos después de capturar Siracusa en el 212 a. C., que fueron construidos por Arquímedes y que mostraban el movimiento del Sol, la Luna y cinco planetas. Cicerón también menciona mecanismos similares diseñados por Tales de Mileto y Eudoxo de Cnidus. El diálogo dice que Marcellus guardó uno de los dispositivos como su único botín personal de Siracusa y donó el otro al Templo de la Virtud en Roma. Marcelo' El mecanismo fue demostrado, según Cicerón, por Gaius Sulpicius Gallus a Lucius Furius Philus, quien lo describió así:

Esta es una descripción de un pequeño planetario. Pappus de Alejandría informa sobre un tratado de Arquímedes (ahora perdido) que trata sobre la construcción de estos mecanismos titulado Sobre la creación de esferas. La investigación moderna en esta área se ha centrado en el mecanismo de Antikythera, otro dispositivo construido c. 100 AC que probablemente fue diseñado para el mismo propósito. La construcción de mecanismos de este tipo habría requerido un conocimiento sofisticado de engranajes diferenciales. Alguna vez se pensó que esto estaba más allá del alcance de la tecnología disponible en la antigüedad, pero el descubrimiento del mecanismo de Antikythera en 1902 ha confirmado que los dispositivos de este tipo eran conocidos por los antiguos griegos.

Matemáticas

Aunque a menudo se le considera diseñador de dispositivos mecánicos, Arquímedes también hizo contribuciones al campo de las matemáticas. Plutarco escribió que Arquímedes "colocó todo su afecto y ambición en aquellas especulaciones más puras donde no puede haber referencia a las necesidades vulgares de la vida", aunque algunos eruditos creen que esto puede ser una caracterización errónea.

Método de agotamiento

Archimedes calcula el lado del 12-gon del hexágono y para cada posterior duplicación de los lados del polígono regular.

Arquímedes pudo usar los indivisibles (un precursor de los infinitesimales) de una manera similar al cálculo integral moderno. A través de la prueba por contradicción (reductio ad absurdum), podía dar respuestas a problemas con un grado arbitrario de precisión, al tiempo que especificaba los límites dentro de los cuales se encontraba la respuesta. Esta técnica se conoce como el método del agotamiento y la empleó para aproximar las áreas de las figuras y el valor de π.

In Medición de un círculo, lo hizo dibujando un hexágono regular más grande fuera de un círculo luego un hexágono regular más pequeño dentro del círculo, y doblando progresivamente el número de lados de cada polígono regular, calculando la longitud de un lado de cada polígono en cada paso. A medida que aumenta el número de lados, se convierte en una aproximación más precisa de un círculo. Después de cuatro pasos tales, cuando los polígonos tenían 96 lados cada uno, fue capaz de determinar que el valor de π lay entre 31/7 (aprox. 3.1429) y 310/71 (aprox. 3.1408), en consonancia con su valor real de aproximadamente 3.1416. También demostró que el área de un círculo era igual a π multiplicado por la plaza del radio del círculo (π π r2{textstyle pi r^{2}).

Propiedad de Arquímedes

En Sobre la esfera y el cilindro, Arquímedes postula que cualquier magnitud, cuando se suma a sí misma suficientes veces, excederá cualquier magnitud dada. Hoy esto se conoce como la propiedad de Arquímedes de los números reales.

Arquímedes da el valor de la raíz cuadrada de 3 entre 265/153 (aproximadamente 1,7320261) y 1351/780 (aproximadamente 1,7320512) en Medición de un Círculo. El valor real es de aproximadamente 1,7320508, lo que lo convierte en una estimación muy precisa. Presentó este resultado sin ofrecer ninguna explicación de cómo lo había obtenido. Este aspecto de la obra de Arquímedes hizo que John Wallis comentara que él estaba: "como si tuviera el propósito de haber ocultado las huellas de su investigación como si hubiera guardado a regañadientes a la posteridad el secreto de su método de investigación mientras investigaba". deseaba extorsionarlos para que dieran su consentimiento a sus resultados." Es posible que haya utilizado un procedimiento iterativo para calcular estos valores.

La serie infinita

Una prueba de que el área del segmento parabólico en la figura superior es igual a 4/3 la del triángulo inscrito en la figura inferior de Quadrature of the Parabola.

En Cuadratura de la parábola, Arquímedes demostró que el área encerrada por una parábola y una línea recta es 4/3 veces el área de un triángulo inscrito correspondiente como se muestra en la figura de la derecha. Expresó la solución al problema como una serie geométrica infinita con la razón común 1/4:

.. n=0JUEGO JUEGO 4− − n=1+4− − 1+4− − 2+4− − 3+⋯ ⋯ =43.{displaystyle sum _{n=0}{infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+cdots ={4 over 3}.;}

Si el primer término de esta serie es el área del triángulo, entonces el segundo es la suma de las áreas de dos triángulos cuyas bases son las dos rectas secantes más pequeñas, y cuyo tercer vértice está donde está la recta paralela a el eje de la parábola y que pasa por el punto medio de la base corta a la parábola, y así sucesivamente. Esta prueba usa una variación de la serie 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · que suma 1/3.

Miríada de miríadas

En The Sand Reckoner, Arquímedes se dispuso a calcular un número mayor que los granos de arena necesarios para llenar el universo. Al hacerlo, desafió la noción de que la cantidad de granos de arena era demasiado grande para ser contada. Él escribió:

Hay algunos, el rey Gelo (Gelo II, hijo de Hiero II), que piensan que el número de la arena es infinito en multitud; y me refiero a la arena no sólo lo que existe sobre Siracusa y el resto de Sicilia, sino también lo que se encuentra en cada región ya sea habitada o deshabitada.

Para resolver el problema, Arquímedes ideó un sistema de conteo basado en la miríada. La palabra en sí deriva del griego μυριάς, murias, por el número 10.000. Propuso un sistema numérico usando potencias de una miríada de miríadas (100 millones, es decir, 10 000 x 10 000) y concluyó que la cantidad de granos de arena necesarios para llenar el universo sería 8 vigintillones u 8×10⁶³.

Escritos

Portada de Arquímedes ' Opera, en griego y latín, editado por David Rivault (1615).

Las obras de Arquímedes fueron escritas en griego dórico, el dialecto de la antigua Siracusa. Muchas obras escritas de Arquímedes no han sobrevivido o solo existen en fragmentos muy editados; se sabe que al menos siete de sus tratados han existido debido a las referencias hechas por otros autores. Pappus de Alejandría menciona Sobre la creación de esferas y otro trabajo sobre poliedros, mientras que Teón de Alejandría cita un comentario sobre la refracción del ahora perdido Catóptrica.

Arquímedes dio a conocer su obra a través de la correspondencia con los matemáticos de Alejandría. Los escritos de Arquímedes fueron recopilados por primera vez por el arquitecto griego bizantino Isidoro de Mileto (c. 530 d. C.), mientras que los comentarios sobre las obras de Arquímedes escritos por Eutocius en el siglo VI d. C. ayudaron a acercar su obra a un público más amplio. Arquímedes' la obra fue traducida al árabe por Thābit ibn Qurra (836-901 d. C.), y al latín a través del árabe por Gerardo de Cremona (c. 1114-1187). William of Moerbeke (c. 1215–1286) e Iacobus Cremonensis (c. 1400–1453) realizaron traducciones directas del griego al latín.

Durante el Renacimiento, la Editio princeps (Primera edición) fue publicada en Basilea en 1544 por Johann Herwagen con las obras de Arquímedes en griego y latín.

Obras sobrevivientes

Los siguientes están ordenados cronológicamente con base en nuevos criterios terminológicos e históricos establecidos por Knorr (1978) y Sato (1986).

Medida de un Círculo

Este es un trabajo breve que consta de tres proposiciones. Está escrito en forma de correspondencia con Dositeo de Pelusio, que fue alumno de Conón de Samos. En la Proposición II, Arquímedes da una aproximación del valor de pi (π), mostrando que es mayor que 223/71 y menos de 22/ 7.

El contador de arena

En este tratado, también conocido como Psamitas, Arquímedes encuentra un número mayor que los granos de arena necesarios para llenar el universo. Este libro menciona la teoría heliocéntrica del sistema solar propuesta por Aristarco de Samos, así como ideas contemporáneas sobre el tamaño de la Tierra y la distancia entre varios cuerpos celestes. Mediante el uso de un sistema de números basado en poderes de la miríada, Arquímedes concluye que la cantidad de granos de arena necesarios para llenar el universo es 8×10⁶³ en notación moderna. La carta introductoria establece que Arquímedes' padre era un astrónomo llamado Fidias. The Sand Reckoner es el único trabajo sobreviviente en el que Arquímedes analiza sus puntos de vista sobre la astronomía.

Sobre el equilibrio de los planos

Hay dos libros para Sobre el equilibrio de los planos: el primero contiene siete postulados y quince proposiciones, mientras que el segundo libro contiene diez proposiciones. En el primer libro, Arquímedes demuestra la ley de la palanca, que establece que:

Las magnitudes están en equilibrio a distancias recíprocamente proporcionales a sus pesos.

Arquímedes usa los principios derivados para calcular las áreas y los centros de gravedad de varias figuras geométricas, incluidos triángulos, paralelogramos y parábolas.

Cuadratura de la Parábola

En esta obra de 24 proposiciones dirigida a Dositeo, Arquímedes demuestra por dos métodos que el área encerrada por una parábola y una recta es 4/3 del área de un triángulo de igual base y altura. Lo logra en una de sus demostraciones calculando el valor de una serie geométrica que suma hasta el infinito con la razón 1 /4.

Sobre la esfera y el cilindro

Una esfera tiene 2/3 el volumen y la superficie de su cilindro circunscribiendo incluyendo sus bases.

En este tratado de dos volúmenes dirigido a Dositeo, Arquímedes obtiene el resultado del que estaba más orgulloso, a saber, la relación entre una esfera y un cilindro circunscrito de la misma altura y diámetro. El volumen es 4/3πr³ para la esfera, y 2πr³ para el cilindro. El área de la superficie es 4πr² para la esfera, y 6πr² para el cilindro (incluidas sus dos bases), donde r es el radio de la esfera y el cilindro.

Sobre espirales

Esta obra de 28 proposiciones también está dirigida a Dositheus. El tratado define lo que ahora se llama espiral arquímica. Es el locus de puntos correspondientes a las ubicaciones con el tiempo de un punto que se aleja de un punto fijo con una velocidad constante a lo largo de una línea que gira con velocidad angular constante. Equivalentemente, en coordenadas polares modernas (r, Silencio), se puede describir por la ecuación r=a+bSilencio Silencio {displaystyle ,r=a+btheta } con números reales a y b.

Este es un ejemplo temprano de una curva mecánica (una curva trazada por un punto en movimiento) considerada por un matemático griego.

Sobre conoides y esferoides

Esta es una obra en 32 proposiciones dirigida a Dositeo. En este tratado Arquímedes calcula las áreas y volúmenes de secciones de conos, esferas y paraboloides.

Sobre cuerpos flotantes

Hay dos libros de Sobre cuerpos flotantes. En el primer libro, Arquímedes enuncia la ley del equilibrio de los fluidos y demuestra que el agua adoptará una forma esférica alrededor de un centro de gravedad. Esto puede haber sido un intento de explicar la teoría de los astrónomos griegos contemporáneos como Eratóstenes de que la Tierra es redonda. Los fluidos descritos por Arquímedes no son autogravitantes ya que asume la existencia de un punto hacia el cual todas las cosas caen para derivar la forma esférica. Arquímedes' principio de flotabilidad se da en este trabajo, enunciada de la siguiente manera:

Cualquier cuerpo total o parcialmente inmerso en experiencias de fluidos un upthrust igual a, pero opuesto en sentido a, el peso del fluido desplazado.

En la segunda parte, calcula las posiciones de equilibrio de secciones de paraboloides. Esta fue probablemente una idealización de las formas de los barcos' cascos Algunas de sus secciones flotan con la base bajo el agua y la cima sobre el agua, de forma similar a como flotan los icebergs.

Ostomaquión

Ostomachion es un rompecabezas de disección encontrado en el Archimedes Palimpsest.

También conocido como Lóculo de Arquímedes o Arquímedes' Caja, este es un rompecabezas de disección similar a un Tangram, y el tratado que lo describe se encontró en forma más completa en el Palimpsesto de Arquímedes. Arquímedes calcula las áreas de las 14 piezas que se pueden ensamblar para formar un cuadrado. Reviel Netz, de la Universidad de Stanford, argumentó en 2003 que Arquímedes estaba tratando de determinar de cuántas maneras se podían ensamblar las piezas en forma de cuadrado. Netz calcula que las piezas se pueden convertir en un cuadrado de 17.152 formas. El número de arreglos es 536 cuando se excluyen las soluciones que son equivalentes por rotación y reflexión. El rompecabezas representa un ejemplo de un problema temprano en combinatoria.

El origen del nombre del acertijo no está claro y se ha sugerido que proviene de la palabra griega antigua para "garganta" o "garganta", stomachos (στόμαχος). Ausonio llama al rompecabezas Ostomachion, una palabra compuesta griega formada a partir de las raíces de osteon (ὀστέον, 'hueso') y machē (μάχη, 'luchar').

El problema del ganado

Gotthold Ephraim Lessing descubrió este trabajo en un manuscrito griego que consiste en un poema de 44 versos en la Biblioteca Herzog August en Wolfenbüttel, Alemania en 1773. Está dirigido a Eratóstenes y los matemáticos de Alejandría. Arquímedes los desafía a contar el número de cabezas de ganado en la Manada del Sol resolviendo una serie de ecuaciones diofánticas simultáneas. Hay una versión más difícil del problema en la que se requiere que algunas de las respuestas sean números cuadrados. A. Amthor resolvió por primera vez esta versión del problema en 1880 y la respuesta es un número muy grande, aproximadamente 7,760271×10²⁰⁶⁵⁴⁴.

El método de los teoremas mecánicos

Este tratado se pensó perdido hasta el descubrimiento del palimpsesto de Arquímedes en 1906. En este trabajo, Arquímedes usa indivisibles y muestra cómo dividir una figura en un número infinito de partes infinitamente pequeñas se puede usar para determinar su área o volumen. Es posible que haya considerado que este método carecía de rigor formal, por lo que también utilizó el método de agotamiento para derivar los resultados. Al igual que con El problema del ganado, El método de los teoremas mecánicos se escribió en forma de carta a Eratóstenes en Alejandría.

Obras apócrifas

Arquímedes' Libro de lemas o Liber Assumptorum es un tratado con 15 proposiciones sobre la naturaleza de los círculos. La copia más antigua conocida del texto está en árabe. TL Heath y Marshall Clagett argumentaron que no puede haber sido escrito por Arquímedes en su forma actual, ya que cita a Arquímedes, lo que sugiere una modificación por parte de otro autor. Los Lemmas pueden estar basados en un trabajo anterior de Arquímedes que ahora se ha perdido.

También se ha afirmado que Arquímedes conocía la fórmula para calcular el área de un triángulo a partir de la longitud de sus lados, aunque su primera aparición es en el trabajo de Herón de Alejandría en el siglo I d.C. Otras atribuciones cuestionables a Arquímedes' destacan el poema latino Carmen de ponderibus et mensuris (siglo IV o V), que describe el uso de una balanza hidrostática para resolver el problema de la corona, y el texto del siglo XII Mapae clavicula, que contiene instrucciones sobre cómo realizar ensayos de metales mediante el cálculo de sus pesos específicos.

Palimpsesto de Arquímedes

En 1906, el Archimedes Palimpsest reveló obras de Arquímedes que pensaban haberse perdido.

El principal documento que contiene Arquímedes' obra es el Palimpsesto de Arquímedes. En 1906, el profesor danés Johan Ludvig Heiberg visitó Constantinopla para examinar un pergamino de oraciones en piel de cabra de 174 páginas, escrito en el siglo XIII, después de leer una breve transcripción publicada siete años antes por Papadopoulos-Kerameus. Confirmó que efectivamente se trataba de un palimpsesto, un documento con texto que había sido escrito sobre una obra anterior borrada. Los palimpsestos se crearon raspando la tinta de las obras existentes y reutilizándolas, una práctica común en la Edad Media, ya que la vitela era cara. Los eruditos identificaron las obras más antiguas del palimpsesto como copias del siglo X de tratados de Arquímedes previamente perdidos. El pergamino pasó cientos de años en la biblioteca de un monasterio en Constantinopla antes de ser vendido a un coleccionista privado en la década de 1920. El 29 de octubre de 1998, se vendió en una subasta a un comprador anónimo por 2 millones de dólares.

El palimpsesto contiene siete tratados, incluida la única copia sobreviviente de Sobre cuerpos flotantes en el griego original. Es la única fuente conocida de El método de los teoremas mecánicos, al que se refiere Suidas y que se cree que se ha perdido para siempre. Stomachion también se descubrió en el palimpsesto, con un análisis del rompecabezas más completo que el que se había encontrado en textos anteriores. El palimpsesto se almacenó en el Museo de Arte Walters en Baltimore, Maryland, donde se sometió a una variedad de pruebas modernas, incluido el uso de luz ultravioleta y de rayos X para leer lo sobrescrito. texto. Desde entonces ha regresado a su propietario anónimo.

Los tratados del Palimpsesto de Arquímedes incluyen:

• Sobre el Equilibrio de Planes
• En espirales
• Medición de un círculo
• Sobre la Esfera y el Cilindro
• En cuerpos flotantes
• El método de los teoremas mecánicos
• Stomachion
• Palabras del político Hypereides del siglo IV BC
• Un comentario sobre Aristóteles Categorías
• Otras obras

Legado

A veces llamado el padre de las matemáticas y la física matemática, Arquímedes tuvo una gran influencia en las matemáticas y la ciencia.

Matemáticas y física

Estatua de bronce de Arquímedes en Berlín

Los historiadores de la ciencia y las matemáticas coinciden casi universalmente en que Arquímedes fue el mejor matemático de la antigüedad. Eric Temple Bell, por ejemplo, escribió:

Cualquier lista de los tres matemáticos más grandes de toda la historia incluiría el nombre de Arquímedes. Los otros dos generalmente asociados con él son Newton y Gauss. Algunos, considerando la riqueza relativa —o pobreza— de las matemáticas y la ciencia física en las edades respectivas en las que vivían estos gigantes, y estimando sus logros en el fondo de sus tiempos, pondrían primero a Arquímedes.

Del mismo modo, Alfred North Whitehead y George F. Simmons dijeron de Arquímedes:

... en el año 1500 Europa sabía menos que Arquímedes que murió en el año 212 BC...

Si consideramos lo que todos los demás hombres lograron en matemáticas y física, en todos los continentes y en cada civilización, desde el comienzo del tiempo hasta el siglo XVII en Europa occidental, los logros de Arquímedes sobresalen todo. Era una gran civilización por sí mismo.

Reviel Netz, Profesor Suplente de Matemáticas Griegas y Astronomía en la Universidad de Stanford y experto en Arquímedes, señala:

Y así, ya que Arquímedes dirigió más que nadie a la formación del cálculo y ya que fue el pionero de la aplicación de las matemáticas al mundo físico, resulta que la ciencia occidental es sólo una serie de notas de pie a Arquímedes. Así resulta que Arquímedes es el científico más importante que ha vivido.

Leonardo da Vinci expresó repetidamente su admiración por Arquímedes y atribuyó su invento Architonnerre a Arquímedes. Galileo lo llamó "sobrehumano" y 'mi maestro', mientras que Huygens dijo: 'Creo que Arquímedes no es comparable a nadie'. y modeló su trabajo después de él. Leibniz dijo: "El que comprende a Arquímedes y Apolonio admirará menos los logros de los hombres más destacados de los últimos tiempos". Los héroes de Gauss fueron Arquímedes y Newton, y Moritz Cantor, quien estudió con Gauss en la Universidad de Göttingen, informó que una vez comentó en una conversación que “solo hubo tres matemáticos que marcaron una época: Arquímedes, Newton y Eisenstein.."

El inventor Nikola Tesla lo elogió diciendo:

Archimedes era mi ideal. Admiré las obras de artistas, pero para mi mente, sólo eran sombras y semblanzas. El inventor, pensé, da a las creaciones mundiales que son palpables, que viven y trabajan.

Honores y conmemoraciones

La Medalla Fields lleva un retrato de Arquímedes.

Hay un cráter en la Luna llamado Arquímedes (29°42′N 4°00′W / 29,7°N 4,0°W / 29,7; -4,0) en su honor, además de una cordillera lunar, los Montes Arquímedes (25°18′N 4°36′W / 25,3°N 4,6°W / 25,3; -4.6).

La Medalla Fields por logros destacados en matemáticas lleva un retrato de Arquímedes, junto con una talla que ilustra su prueba en la esfera y el cilindro. La inscripción alrededor de la cabeza de Arquímedes es una cita atribuida al poeta Manilius del siglo I d. C., que dice en latín: Transire suum pectus mundoque potiri ("Elévate por encima de ti mismo y agarra el mundo").

Arquímedes ha aparecido en sellos postales emitidos por Alemania Oriental (1973), Grecia (1983), Italia (1983), Nicaragua (1971), San Marino (1982) y España (1963).

La exclamación de ¡Eureka! atribuido a Arquímedes es el lema del estado de California. En este caso, la palabra se refiere al descubrimiento de oro cerca de Sutter's Mill en 1848, que desencadenó la fiebre del oro de California.