Aritmética

Mesas Aritméticas para niños, Lausanne, 1835

Aritmética (del griego antiguo ἀριθμός (arithmós) 'número', y τική [τέχνη] (tikḗ [tékhnē] ) 'arte, oficio') es una parte elemental de las matemáticas que consiste en el estudio de las propiedades de las operaciones tradicionales con números: suma, resta, multiplicación, división, exponenciación, y extracción de raíces. En el siglo XIX, el matemático italiano Giuseppe Peano formalizó la aritmética con sus axiomas de Peano, que son muy importantes en el campo de la lógica matemática actual.

Historia

La prehistoria de la aritmética se limita a un pequeño número de artefactos, lo que puede indicar la concepción de la suma y la resta, siendo el más conocido el hueso de Ishango de África central, que data de entre el 20 000 y el 18 000 a. C., aunque su interpretación está en disputa.

Los registros escritos más antiguos indican que los egipcios y los babilonios usaban todas las operaciones aritméticas elementales: suma, resta, multiplicación y división, ya en el año 2000 a. C. Estos artefactos no siempre revelan el proceso específico utilizado para resolver problemas, pero las características del sistema numérico particular influyen fuertemente en la complejidad de los métodos. El sistema jeroglífico de los números egipcios, al igual que los números romanos posteriores, desciende de las marcas de conteo utilizadas para contar. En ambos casos, este origen resultó en valores que usaban una base decimal, pero no incluían notación posicional. Cálculos complejos con números romanos requerían la ayuda de una tabla de conteo (o el ábaco romano) para obtener los resultados.

Los primeros sistemas numéricos que incluían notación posicional no eran decimales; estos incluyen el sistema sexagesimal (base 60) para los números babilónicos y el sistema vigesimal (base 20) que definió los números mayas. Debido al concepto de valor posicional, la capacidad de reutilizar los mismos dígitos para diferentes valores contribuyó a métodos de cálculo más simples y eficientes.

El continuo desarrollo histórico de la aritmética moderna comienza con el período helenístico de la antigua Grecia; se originó mucho más tarde que los ejemplos de Babilonia y Egipto. Antes de las obras de Euclides alrededor del año 300 a. C., los estudios griegos sobre matemáticas se superponían con creencias filosóficas y místicas. Nicómaco es un ejemplo de este punto de vista, utilizando el enfoque pitagórico anterior de los números y sus relaciones entre sí en su obra Introducción a la aritmética.

Los números griegos fueron utilizados por Arquímedes, Diofanto y otros en una notación posicional no muy diferente de la notación moderna. Los antiguos griegos carecían de un símbolo para el cero hasta el período helenístico, y usaron tres conjuntos separados de símbolos como dígitos: un conjunto para el lugar de las unidades, otro para el lugar de las decenas y otro para las centenas. Para el lugar de los miles, reutilizarían los símbolos para el lugar de las unidades, y así sucesivamente. Su algoritmo de suma era idéntico al método moderno, y su algoritmo de multiplicación era solo ligeramente diferente. Su algoritmo de división larga era el mismo, y Arquímedes (quien pudo haberlo inventado) conocía el algoritmo de raíz cuadrada dígito por dígito, utilizado popularmente en el siglo XX. Lo prefirió al método de aproximación sucesiva de Hero porque, una vez calculado, un dígito no cambia y las raíces cuadradas de cuadrados perfectos, como 7485696, terminan inmediatamente en 2736. Para números con una parte fraccionaria, como 546,934, usaron potencias negativas de 60, en lugar de potencias negativas de 10 para la parte fraccionaria 0,934.

Los antiguos chinos tenían estudios aritméticos avanzados desde la dinastía Shang hasta la dinastía Tang, desde números básicos hasta álgebra avanzada. Los antiguos chinos usaban una notación posicional similar a la de los griegos. Como tampoco tenían un símbolo para el cero, tenían un conjunto de símbolos para el lugar de las unidades y un segundo conjunto para el lugar de las decenas. Para el lugar de las centenas, luego reutilizaron los símbolos para el lugar de las unidades, y así sucesivamente. Sus símbolos se basaban en las antiguas varas de contar. Se desconoce el momento exacto en el que los chinos comenzaron a calcular con representación posicional, aunque se sabe que la adopción comenzó antes del 400 a. Los antiguos chinos fueron los primeros en descubrir, comprender y aplicar significativamente los números negativos. Esto se explica en los Nueve capítulos sobre el arte matemático (Jiuzhang Suanshu), que fue escrito por Liu Hui y se remonta al siglo II a.

El desarrollo gradual del sistema de numeración hindú-árabe ideó de forma independiente el concepto de valor posicional y la notación posicional, que combinaba los métodos más simples para los cálculos con una base decimal y el uso de un dígito que representaba el 0. Esto permitió que el sistema representar constantemente enteros grandes y pequeños, un enfoque que finalmente reemplazó a todos los demás sistemas. A principios del siglo VI d.C., el matemático indio Aryabhata incorporó una versión existente de este sistema en su trabajo y experimentó con diferentes notaciones. En el siglo VII, Brahmagupta estableció el uso del 0 como un número separado y determinó los resultados de la multiplicación, división, suma y resta del cero y todos los demás números, excepto el resultado de la división por cero. Su contemporáneo, el obispo siríaco Severus Sebokht (650 d. C.) dijo: “Los indios poseen un método de cálculo que ninguna palabra puede elogiar lo suficiente. Su sistema racional de matemáticas, o de su método de cálculo. Me refiero al sistema que usa nueve símbolos." Los árabes también aprendieron este nuevo método y lo llamaron hesab.

Leibniz's Stepped Reckoner fue la primera calculadora que podría realizar las cuatro operaciones aritméticas.

Aunque el Codex Vigilanus describió una forma temprana de números arábigos (omitiendo 0) en el año 976 d.C., Leonardo de Pisa (Fibonacci) fue el principal responsable de difundir su uso en toda Europa después de la publicación de su libro Liber Abaci en 1202. Escribió: "El método de los indios (en latín Modus Indorum) supera cualquier método conocido para computar. Es un método maravilloso. Hacen sus cálculos usando nueve cifras y el símbolo cero".

En la Edad Media, la aritmética era una de las siete artes liberales que se enseñaban en las universidades.

El florecimiento del álgebra en el mundo islámico medieval, y también en la Europa del Renacimiento, fue una consecuencia de la enorme simplificación del cálculo a través de la notación decimal.

Se han inventado y utilizado ampliamente varios tipos de herramientas para ayudar en los cálculos numéricos. Antes del Renacimiento, eran varios tipos de ábacos. Los ejemplos más recientes incluyen reglas de cálculo, nomogramas y calculadoras mecánicas, como la calculadora de Pascal. En la actualidad, han sido suplantados por las calculadoras electrónicas y las computadoras.

Operaciones aritméticas

Las operaciones aritméticas básicas son la suma, la resta, la multiplicación y la división, aunque la aritmética también incluye operaciones más avanzadas, como la manipulación de porcentajes, raíces cuadradas, potenciación, funciones logarítmicas e incluso funciones trigonométricas, al igual que los logaritmos (prostaféresis). Las expresiones aritméticas deben evaluarse de acuerdo con la secuencia prevista de operaciones. Hay varios métodos para especificar esto, ya sea, el más común, junto con la notación de infijos, usando explícitamente paréntesis y confiando en las reglas de precedencia, o usando una notación de prefijo o posfijo, que fijan de manera única el orden de ejecución por sí mismos. Cualquier conjunto de objetos sobre los que se puedan realizar las cuatro operaciones aritméticas (excepto la división por cero), y donde estas cuatro operaciones obedezcan las leyes habituales (incluida la distributividad), se denomina campo.

Adición

Adición, denotada por el símbolo +{displaystyle +}, es el funcionamiento más básico de la aritmética. En su forma simple, la adición combina dos números, los addends o términos, en un solo número, la suma de los números (como 2 + 2 = 4 o 3 + 5 = 8).

Sumar un número finito de números puede verse como una suma simple repetida; este procedimiento se conoce como suma, un término que también se usa para indicar la definición de "sumar números infinitos" en una serie infinita. La suma repetida del número 1 es la forma más básica de contar; el resultado de sumar 1 generalmente se denomina sucesor del número original.

La suma es conmutativa y asociativa, por lo que no importa el orden en que se agreguen un número finito de términos.

El número 0 tiene la propiedad de que, cuando se suma a cualquier número, da como resultado ese mismo número; entonces, es el elemento de identidad de la suma, o la identidad aditiva.

Por cada número x, hay un número denominado –x, llamado el opuesto de x, tal que x + (–x) = 0 y (–x) + x = 0. Entonces, lo opuesto a x es lo contrario de x con respecto a la suma, o el inverso aditivo de x. Por ejemplo, el opuesto de 7 es −7, ya que 7 + (−7) = 0.

La suma también se puede interpretar geométricamente, como en el siguiente ejemplo. Si tenemos dos palos de longitud 2 y 5, entonces, si los palos se alinean uno tras otro, la longitud del palo combinado se convierte en 7, ya que 2 + 5 = 7.

Sustracción

Sutracción, denotada por el símbolo − − {displaystyle -}, es la operación inversa a la adición. Sustracción encuentra las diferencia entre dos números, el minuend menos el subtrahend: D = M − S. Al recurrir a la adición previamente establecida, es decir que la diferencia es el número que, cuando se añade al subtrahend, resulta en el minuend: D + S = M.

Para argumentos positivos M y S tiene:

Si el minuend es más grande que el subtrahend, la diferencia D es positivo.

Si el minuend es más pequeño que el subtrahend, la diferencia D es negativo.

En cualquier caso, si el minuendo y el sustraendo son iguales, la diferencia D = 0.

La resta no es conmutativa ni asociativa. Por esa razón, la construcción de esta operación inversa en el álgebra moderna a menudo se descarta en favor de la introducción del concepto de elementos inversos (como se esboza en § Suma), donde la resta se considera como la suma del inverso aditivo del sustraendo al minuendo, que es, a − b = a + (−b). El precio inmediato de descartar la operación binaria de resta es la introducción de la operación unaria (trivial), entregando el inverso aditivo para cualquier número dado y perdiendo el acceso inmediato a la noción de diferencia, que es potencialmente engañosa cuando se trata de argumentos negativos..

Para cualquier representación de números, existen métodos para calcular resultados, algunos de los cuales son particularmente ventajosos en la explotación de procedimientos, existentes para una operación, por pequeñas alteraciones también para otras. Por ejemplo, las computadoras digitales pueden reutilizar los circuitos de suma existentes y guardar circuitos adicionales para implementar una resta, empleando el método del complemento a dos para representar los inversos aditivos, que es extremadamente fácil de implementar en hardware (negación). La compensación es la reducción a la mitad del rango de números para una longitud de palabra fija.

Un método muy extendido para lograr un monto de cambio correcto, conociendo los montos adeudados y dados, es el método de conteo, que no genera explícitamente el valor de la diferencia. Supongamos que se da una cantidad P para pagar la cantidad requerida Q, siendo P mayor que Q. En lugar de realizar explícitamente la resta P − Q = C y contar esa cantidad C en cambio, el dinero es contado comenzando con el sucesor de Q, y continuando en los pasos de la moneda, hasta llegar a P. Aunque la cantidad contada debe ser igual al resultado de la resta P − Q, la resta nunca se realizó realmente y el valor de P − Q.

Multiplicación

Multiplicación, denotada por los símbolos × × {displaystyle times } o ⋅ ⋅ {displaystyle cdot }, es la segunda operación básica de la aritmética. Multiplicación también combina dos números en un solo número, el producto. Los dos números originales se llaman multiplicador y el multiplicando, la mayoría ambos se llaman factores.

La multiplicación puede verse como una operación de escala. Si los números se imaginan como si estuvieran en una línea, la multiplicación por un número mayor que 1, digamos x, es lo mismo que estirar todo desde 0 uniformemente, de tal manera que el número 1 es estirado hasta donde estaba x. De manera similar, se puede imaginar que multiplicar por un número menor que 1 se aprieta hacia 0, de tal manera que 1 va al multiplicando.

Otra visión de la multiplicación de números enteros (extensible a racionales pero no muy accesible para números reales) es considerarla como una suma repetida. Por ejemplo. 3 × 4 corresponde a sumar 3 veces 4, o 4 por 3, dando el mismo resultado. Hay diferentes opiniones sobre la ventaja de estos paradigmas en la educación matemática.

La multiplicación es conmutativa y asociativa; además, es distributivo sobre la suma y la resta. La identidad multiplicativa es 1, ya que al multiplicar cualquier número por 1 se obtiene el mismo número. El inverso multiplicativo de cualquier número excepto 0 es el recíproco de este número, porque al multiplicar el recíproco de cualquier número por el número en sí se obtiene la identidad multiplicativa 1. 0 es el único número sin inverso multiplicativo, y el resultado de multiplicar cualquier número y 0 es nuevamente 0. Se dice que 0 no está contenido en el grupo multiplicativo de los números.

El producto de a y b se escribe como a × b o a·b. También se puede escribir por simple yuxtaposición: ab. En los lenguajes de programación de computadoras y paquetes de software (en los que solo se pueden usar caracteres que normalmente se encuentran en un teclado), a menudo se escribe con un asterisco: a * b.

Los algoritmos que implementan la operación de multiplicación para varias representaciones de números son mucho más costosos y laboriosos que los de suma. Los accesibles para el cálculo manual se basan en descomponer los factores en valores de un solo lugar y aplicar sumas repetidas, o en emplear tablas o reglas de cálculo, asignando así la multiplicación a la suma y viceversa. Estos métodos están desactualizados y son reemplazados gradualmente por dispositivos móviles. Las computadoras utilizan diversos algoritmos sofisticados y altamente optimizados para implementar la multiplicación y la división de los diversos formatos de números admitidos en su sistema.

División

División, denotada por los símbolos .. {displaystyle div } o /{displaystyle /}, es esencialmente la operación inversa a la multiplicación. Division finds the quotient de dos números, dividendos dividido por divisor. Bajo reglas comunes, el dividendo dividido por cero es indefinido. Para números positivos distintos, si el dividendo es mayor que el divisor, el cociente es mayor de 1, de lo contrario es menor o igual a 1 (una regla similar se aplica para números negativos). El cociente multiplicado por el divisor siempre produce el dividendo.

La división no es conmutativa ni asociativa. Entonces, como se explica en § Resta, la construcción de la división en el álgebra moderna se descarta a favor de construir los elementos inversos con respecto a la multiplicación, como se introdujo en § Multiplicación. Por tanto, la división es la multiplicación del dividendo con el recíproco del divisor como factores, es decir, a ÷ b = a × 1/b.

Dentro de los números naturales, también hay una noción diferente pero relacionada llamada división euclidiana, que genera dos números después de "dividir" una N (numerador) natural por una D (denominador): primero una Q natural (cociente), y luego una R (resto) tal que N = D× Q + R y 0 ≤ R < P.

En algunos contextos, incluida la programación informática y la aritmética avanzada, la división se extiende con otro producto para el resto. Esto se trata a menudo como una operación separada, la operación Modulo, denotada por el símbolo % % {displaystyle} o la palabra mod{displaystyle mod}, aunque a veces una segunda salida para una operación "divmod". En cualquier caso, la aritmética modular tiene una variedad de casos de uso. Diferentes implementaciones de división (florado, truncado, Euclidean, etc.) corresponden con diferentes implementaciones de módulo.

Teorema fundamental de la aritmética

El teorema fundamental de la aritmética establece que cualquier número entero mayor que 1 tiene una descomposición en factores primos única (una representación de un número como el producto de factores primos), excluyendo el orden de los factores. Por ejemplo, 252 solo tiene una descomposición en factores primos:

252 = 2² × 3² × 7¹

Los Elementos de Euclides introdujeron por primera vez este teorema y dieron una prueba parcial (que se llama el lema de Euclides). El teorema fundamental de la aritmética fue demostrado por primera vez por Carl Friedrich Gauss.

El teorema fundamental de la aritmética es una de las razones por las que el 1 no se considera un número primo. Otras razones incluyen el tamiz de Eratóstenes y la definición de un número primo en sí mismo (un número natural mayor que 1 que no se puede formar multiplicando dos números naturales más pequeños).

Aritmética decimal

Representación decimal se refiere exclusivamente, en el uso común, al sistema numérico escrito que emplea números arábigos como dígitos para una notación posicional de base 10 ("decimal"); sin embargo, cualquier sistema numérico basado en potencias de 10, por ejemplo, números griegos, cirílicos, romanos o chinos, puede describirse conceptualmente como "notación decimal" o "representación decimal".

Los métodos modernos para cuatro operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división) fueron ideados por primera vez por Brahmagupta de la India. Esto se conocía durante la Europa medieval como "Modus Indorum" o Método de los indios. La notación posicional (también conocida como "notación de valor posicional") se refiere a la representación o codificación de números usando el mismo símbolo para los diferentes órdenes de magnitud (por ejemplo, el "lugar de las unidades", "lugar de las decenas", "lugar de las centenas") y, con un punto de base, usar esos mismos símbolos para representar fracciones (por ejemplo, el "lugar de las décimas", &# 34;centésimas"). Por ejemplo, 507,36 denota 5 centenas (10²), más 0 decenas (10¹), más 7 unidades (10⁰), más 3 décimas (10⁻¹) más 6 centésimas (10⁻²).

El concepto de 0 como un número comparable a los otros dígitos básicos es esencial para esta notación, como lo es el uso del 0 como marcador de posición, y como lo es la definición de multiplicación y suma con 0. El El uso de 0 como marcador de posición y, por lo tanto, el uso de una notación posicional se atestigua por primera vez en el texto jainista de la India titulado Lokavibhâga, fechado en 458 AD y fue solo a principios del siglo XIII que estos conceptos, transmitidos a través de la erudición del mundo árabe, fueron introducidos en Europa por Fibonacci utilizando el sistema numérico hindú-árabe.

El algoritmo comprende todas las reglas para realizar cálculos aritméticos usando este tipo de número escrito. Por ejemplo, la suma produce la suma de dos números arbitrarios. El resultado se calcula mediante la suma repetida de dígitos individuales de cada número que ocupa la misma posición, procediendo de derecha a izquierda. Una tabla de suma con diez filas y diez columnas muestra todos los valores posibles para cada suma. Si una suma individual supera el valor 9, el resultado se representa con dos dígitos. El dígito más a la derecha es el valor de la posición actual, y el resultado de la suma posterior de los dígitos a la izquierda aumenta según el valor del segundo dígito (más a la izquierda), que siempre es uno (si no cero). Este ajuste se denomina carry del valor 1.

El proceso para multiplicar dos números arbitrarios es similar al proceso de suma. Una tabla de multiplicar con diez filas y diez columnas enumera los resultados de cada par de dígitos. Si el producto individual de un par de dígitos supera 9, el ajuste de carry aumenta el resultado de cualquier multiplicación posterior de los dígitos a la izquierda por un valor igual al segundo dígito (más a la izquierda), que es cualquier valor de 1 a 8 (9 × 9 = 81). Los pasos adicionales definen el resultado final.

Existen técnicas similares para la resta y la división.

La creación de un proceso correcto para la multiplicación se basa en la relación entre los valores de los dígitos adyacentes. El valor de cualquier dígito individual en un número depende de su posición. Además, cada posición a la izquierda representa un valor diez veces mayor que la posición a la derecha. En términos matemáticos, el exponente de la raíz (base) de 10 aumenta en 1 (a la izquierda) o disminuye en 1 (a la derecha). Por lo tanto, el valor de cualquier dígito arbitrario se multiplica por un valor de la forma 10ⁿ con el número entero n. La lista de valores correspondientes a todas las posiciones posibles para un solo dígito se escribe como {..., 10², 10, 1, 10⁻¹, 10⁻²,...}.

La multiplicación repetida de cualquier valor de esta lista por 10 produce otro valor en la lista. En terminología matemática, esta característica se define como cierre, y la lista anterior se describe como cerrada bajo la multiplicación. Es la base para encontrar correctamente los resultados de la multiplicación utilizando la técnica anterior. Este resultado es un ejemplo de los usos de la teoría de números.

Aritmética de unidades compuestas

La aritmética de unidades compuestas es la aplicación de operaciones aritméticas a cantidades de base mixta como pies y pulgadas; galones y pintas; libras, chelines y peniques; etcétera. Antes de los sistemas de dinero y unidades de medida basados en decimales, la aritmética de unidades compuestas se usaba ampliamente en el comercio y la industria.

Operaciones aritméticas básicas

Las técnicas utilizadas en la aritmética de unidades compuestas se desarrollaron durante muchos siglos y están bien documentadas en muchos libros de texto en muchos idiomas diferentes. Además de las funciones aritméticas básicas que se encuentran en la aritmética decimal, la aritmética de unidades compuestas emplea tres funciones más:

• Reducción, en la que una cantidad compuesta se reduce a una sola cantidad, por ejemplo, la conversión de una distancia expresada en yardas, pies y pulgadas a una expresada en pulgadas.
• Ampliación, la función inversa a la reducción, es la conversión de una cantidad que se expresa como una sola unidad de medida a una unidad compuesta, como la ampliación de 24 oz a 1 libras 8 oz.
• Normalización es la conversión de un conjunto de unidades compuestas a una forma estándar, por ejemplo, reescribir "1 ft 13 in"como"2 pies 1 en".

El conocimiento de la relación entre las distintas unidades de medida, sus múltiplos y sus submúltiplos forma una parte esencial de la aritmética de unidades compuestas.

Principios de la aritmética de unidades compuestas

Hay dos enfoques básicos para la aritmética de unidades compuestas:

• Método de reducción y expansión donde todas las variables de la unidad compuesta se reducen a variables únicas, el cálculo realizado y el resultado se expanden de nuevo a unidades compuestas. Este enfoque se adapta a los cálculos automatizados. Un ejemplo típico es el manejo del tiempo por Microsoft Excel donde todos los intervalos de tiempo se procesan internamente como días y fracciones decimales de un día.
• Método de normalización continuo en que cada unidad se trata por separado y el problema se normaliza continuamente a medida que se desarrolla la solución. Este enfoque, que se describe ampliamente en textos clásicos, es el mejor adecuado para los cálculos manuales. A continuación se muestra un ejemplo del método de normalización en curso aplicado a la adición.

La operación de suma se realiza de derecha a izquierda; en este caso, los peniques se procesan primero, luego los chelines y luego las libras. Los números debajo de la "línea de respuesta" son resultados intermedios.

El total en la columna de peniques es 25. Como hay 12 centavos en un chelín, 25 se divide entre 12 para dar 2 con un resto de 1. El valor "1" luego se escribe en la fila de respuesta y el valor "2" llevado adelante a la columna de los chelines. Esta operación se repite usando los valores en la columna de chelines, con el paso adicional de sumar el valor que se transfirió de la columna de centavos. El total intermedio se divide por 20 ya que hay 20 chelines en una libra. Luego se procesa la columna de libras, pero como las libras son la unidad más grande que se está considerando, no se trasladan valores de la columna de libras.

En aras de la simplicidad, el ejemplo elegido no tenía cuartos de céntimo.

Operaciones en la práctica

Una escala calibrada en unidades imperiales, con una pantalla de coste asociada

Durante los siglos XIX y XX se desarrollaron varias ayudas para facilitar la manipulación de unidades compuestas, especialmente en aplicaciones comerciales. Las ayudas más comunes fueron las cajas mecánicas que se adaptaron en países como el Reino Unido para acomodar libras, chelines, peniques y centavos, y los contadores listos, que son libros destinados a los comerciantes que catalogan los resultados de varios cálculos de rutina, como los porcentajes o múltiplos de varias sumas de dinero. Un folleto típico de 150 páginas tabulaba múltiplos "de uno a diez mil a los distintos precios, desde un centavo hasta una libra".

La naturaleza engorrosa de la aritmética de unidades compuestas ha sido reconocida durante muchos años: en 1586, el matemático flamenco Simon Stevin publicó un pequeño folleto llamado De Thiende ("el décimo") en el que declaró que la introducción universal de monedas, medidas y pesos decimales era simplemente una cuestión de tiempo. En la era moderna, muchos programas de conversión, como el que se incluye en la calculadora del sistema operativo Microsoft Windows 7, muestran las unidades compuestas en un formato decimal reducido en lugar de usar un formato expandido (por ejemplo, se muestra "2.5 ft" en lugar de "2 pies 6 pulgadas").

Teoría de números

Hasta el siglo XIX, teoría de números era sinónimo de "aritmética". Los problemas abordados estaban directamente relacionados con las operaciones básicas y se referían a la primalidad, la divisibilidad y la solución de ecuaciones en números enteros, como el último teorema de Fermat. Parecía que la mayoría de estos problemas, aunque muy elementales de enunciar, son muy difíciles y no pueden resolverse sin unas matemáticas muy profundas que involucren conceptos y métodos de muchas otras ramas de las matemáticas. Esto condujo a nuevas ramas de la teoría de números, como la teoría analítica de números, la teoría algebraica de números, la geometría diofántica y la geometría algebraica aritmética. Artimañas' La demostración del último teorema de Fermat es un ejemplo típico de la necesidad de métodos sofisticados, que van mucho más allá de los métodos aritméticos clásicos, para resolver problemas que se pueden plantear en la aritmética elemental.

Aritmética en educación

La educación primaria en matemáticas a menudo pone un gran énfasis en los algoritmos para la aritmética de números naturales, enteros, fracciones y decimales (usando el sistema de valor posicional decimal). Este estudio a veces se conoce como algorismo.

La dificultad y la apariencia desmotivada de estos algoritmos ha llevado a los educadores a cuestionar este currículo durante mucho tiempo, abogando por la enseñanza temprana de ideas matemáticas más centrales e intuitivas. Un movimiento notable en esta dirección fue New Math de las décadas de 1960 y 1970, que intentó enseñar aritmética con el espíritu del desarrollo axiomático de la teoría de conjuntos, un eco de la tendencia predominante en las matemáticas superiores.

Además, los eruditos islámicos usaban la aritmética para enseñar la aplicación de las normas relacionadas con el Zakat y el Irth. Esto se hizo en un libro titulado Lo mejor de la aritmética de Abd-al-Fattah-al-Dumyati. El libro comienza con los fundamentos de las matemáticas y continúa con su aplicación en los capítulos posteriores.