Argumento de Eckmann-Hilton

En matemáticas, el argumento de Eckmann-Hilton (o principio de Eckmann-Hilton o teorema de Eckmann-Hilton) es un argumento sobre dos unidades estructuras de magma en un conjunto donde una es un homomorfismo para la otra. Teniendo esto en cuenta, las estructuras son las mismas y el magma resultante es un monoide conmutativo. Esto luego puede usarse para demostrar la conmutatividad de los grupos de homotopía superior. El principio lleva el nombre de Beno Eckmann y Peter Hilton, quienes lo utilizaron en un artículo de 1962.

El resultado de Eckmann-Hilton

Vamos ${displaystyle X}$ ser un conjunto equipado con dos operaciones binarias, que escribiremos ${displaystyle circ }$ y ${displaystyle otimes }$, y suponer:

1. ${displaystyle circ }$ y ${displaystyle otimes }$ son ambos unitarios, lo que significa que hay elementos de identidad ${displaystyle 1_{circ }}$ y ${displaystyle 1_{otimes}$ de ${displaystyle X}$ tales que ${displaystyle 1_{fnMicrosoft}.$ y ${displaystyle 1_{otimes }otimes a=a=aotimes 1_{otimes }$, para todos ${displaystyle ain X}$.
   
2. ${displaystyle (aotimes b)circ (cotimes d)=(acirc c)otimes (bcirc d)}$ para todos ${displaystyle a,b,c,din X}$.

Entonces... ${displaystyle circ }$ y ${displaystyle otimes }$ son los mismos y de hecho comunicativos y asociativos.

Observaciones

Las operaciones ${displaystyle otimes }$ y ${displaystyle circ }$ a menudo se denominan estructuras monoideas o multiplicaciones, pero esto sugiere que se supone que son asociativas, una propiedad que no es necesaria para la prueba. De hecho, la asociación sigue. Asimismo, no tenemos que exigir que las dos operaciones tengan el mismo elemento neutral; esto es una consecuencia.

Prueba

En primer lugar, observar que las unidades de las dos operaciones coinciden: ${displaystyle 1_{fnMicrosoft} #=1_{circ }circo 1_{circ }=(1_{otimes }otimes 1_{circ })circ (1_{circ }otimes 1_{otimes })=(1_{otimes }circo 1_{circ })otimes (1_{circ }circo 1_{otimes }=1_{otimes }otimes 1_{otimes }=1_{otimes }$.

Ahora, vamos. ${displaystyle a,bin X}$. Entonces... ${displaystyle acirc b=(1otimes a)circ (botimes 1)=(1circ b)otimes (acirc 1)=botimes a=(bcirc1)otimes (1circ a)=(botimes 1)circ (1otimes a)=bcirc a}$. Esto establece que las dos operaciones coinciden y son comunicativas.

Para la asociación, ${displaystyle (aotimes b)otimes c=(aotimes b)otimes (1otimes c)=(aotimes 1)otimes (botimes c)=aotimes (botimes c)}$.

Prueba bidimensional

La prueba anterior también tiene una presentación "dos dimensiones" que mejor ilustra la aplicación a grupos de homotopy superiores. Para esta versión de la prueba, escribimos las dos operaciones como yuxtaposición vertical y horizontal, es decir, ${displaystyle {begin{matrix}a[-60pt]bend{matrix}$ y ${displaystyle ab}$. Los bienes de intercambio pueden expresarse de la siguiente manera:

Para todos ${displaystyle a,b,c,din X}$, ${begin{begin{ b)[-60pt](c d)end{matrix}}={begin{pmatrix}a[-60pt]cend{pmatrix}{begin{pmatrix}b[-60pt]dend{pmatrix}}}}} {begin {begin}}}} {begin {begin}}}}}}}} {begin {begin}dbegin}}}}}dbegin}}}}}}}}}}}}}}}}}} {begin {begin {pm}}}}}}}}}}} {pm}}dpmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$Así podemos escribir ${displaystyle {begin{matrix}a b[-60pt]c dend{matrix}}$ sin ambigüedad.

Vamos ${displaystyle bullet }$ y ${displaystyle circ }$ ser las unidades de composición vertical y horizontal respectivamente. Entonces... ${displaystyle bullet ={begin{matrix}bullet \[-60pt]bullet end{matrix}}={begin{matrix}bullet circ \[-60pt]circ bullet end{matrix}=circ circ = circ }$Así que ambas unidades son iguales.

Ahora, para todos ${displaystyle a,bin X}$, ${fnMicrosoft] {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft]} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft ] {fnMicrosoft} {b} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft ]} {fnMicrosoft} {f} {f}f}f}f}f}fnMinMicrox}fnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinun}$, por lo que la composición horizontal es igual a la composición vertical y ambas operaciones son conmutativas.

Por último, para todos ${displaystyle a,b,cin X}$, ${begin{pmatrix}b[-60pt]cend{pmatrix}}={begin{matrix}abccccccccccccccccccccccH00}ccccccccccccccccccccc}ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccH00cccccccccccccccccccH$, así que la composición es asociativa.

Observaciones

Si las operaciones son asociativas, cada una define la estructura de un monoide en ${displaystyle X}$, y las condiciones anteriores son equivalentes a la condición más abstracta ${displaystyle otimes }$ es un homomorfismo monoide ${displaystyle (X,circ)times (X,circ)to (X,circ)}$ (o viceversa). Una forma aún más abstracta de declarar el teorema es: Si ${displaystyle X}$ es un objeto monoide en la categoría de monoides, entonces ${displaystyle X}$ es de hecho un monoide comunitario.

Es importante que un argumento similar NO dé un resultado tan trivial en el caso de objetos monoides en las categorías de categorías pequeñas o de grupoides. En cambio, la noción de objeto grupal en la categoría de grupoides resulta equivalente a la noción de módulo cruzado. Esto lleva a la idea de utilizar múltiples objetos grupoides en la teoría de la homotopía.

Más generalmente, el argumento Eckmann-Hilton es un caso especial del uso de la ley de intercambio en la teoría de (strict) dobles y múltiples categorías. Una categoría doble es un conjunto, o clase, equipado con dos estructuras de categoría, cada una de las cuales es un morfismo para la otra estructura. Si las composiciones en las dos estructuras de categoría están escritas ${displaystyle circotimes }$ entonces la ley de intercambio dice

${displaystyle (acirc b)otimes (ccirc d)=(aotimes c)circ (botimes d)}$

siempre que ambos lados estén definidos. Para ver un ejemplo de su uso y alguna discusión, consulte el artículo de Higgins al que se hace referencia a continuación. La ley de intercambio implica que una categoría doble contiene una familia de monoides abelianos.

La historia en relación con los grupos de homotopía es interesante. Los investigadores de topología de principios del siglo XX eran conscientes de que el grupo fundamental nobeliano era útil en geometría y análisis; que los grupos de homología abeliana podrían definirse en todas las dimensiones; y que para un espacio conexo, el primer grupo de homología era el grupo fundamental hecho abeliano. De modo que existía el deseo de generalizar el grupo fundamental nobeliano a todas las dimensiones.

En 1932, Eduard Čech presentó un documento sobre grupos de homotopia más altos al Congreso Internacional de Matemáticas de Zürich. Sin embargo, Pavel Alexandroff y Heinz Hopf demostraron rápidamente que estos grupos eran abelios para ${displaystyle n confía1}$, y por estos motivos persuadidos Čech para retirar su documento, de modo que sólo apareció un pequeño párrafo en el Procedimientos. Se dice que Witold Hurewicz asistió a esta conferencia, y su primer trabajo en grupos de homotopy superiores apareció en 1935. Así los sueños de los primeros topólogos han sido considerados desde hace mucho tiempo como un espejismo.

Los grupoides cúbicos de homotopía superior se construyen para espacios filtrados en el libro Topología algebraica nonabeliana citado a continuación, que desarrolla una topología algebraica básica, incluidos análogos superiores del teorema de Seifert-Van Kampen, sin utilizar homología singular o aproximación simplista.