Área de superficie

Una esfera de radio r tiene superficie 4πr².

El área de superficie de un objeto sólido es una medida del área total que ocupa la superficie del objeto. La definición matemática del área superficial en presencia de superficies curvas es considerablemente más complicada que la definición de la longitud del arco de las curvas unidimensionales, o del área superficial de poliedros (es decir, objetos con caras poligonales planas), para los cuales el área superficial es la suma de las áreas de sus caras. A las superficies lisas, como una esfera, se les asigna un área de superficie utilizando su representación como superficies paramétricas. Esta definición de área de superficie se basa en métodos de cálculo infinitesimal e involucra derivadas parciales y doble integración.

Henri Lebesgue y Hermann Minkowski buscaron una definición general de área de superficie a principios del siglo XX. Su trabajo condujo al desarrollo de la teoría de la medida geométrica, que estudia varias nociones de área de superficie para objetos irregulares de cualquier dimensión. Un ejemplo importante es el contenido de Minkowski de una superficie.

Definición

Si bien las áreas de muchas superficies simples se conocen desde la antigüedad, una definición matemática rigurosa de área requiere mucho cuidado. Esto debería proporcionar una función

S↦ ↦ A()S){displaystyle Smapsto A(S)}

que asigna un número real positivo a una cierta clase de superficies que satisface varios requisitos naturales. La propiedad más fundamental del área superficial es su aditividad: el área del todo es la suma de las áreas de las partes. Más rigurosamente, si una superficie S es una unión de un número finito de piezas S₁, …, S_r que no se superponen excepto en sus límites, entonces

A()S)=A()S1)+⋯ ⋯ +A()Sr).{displaystyle A(S)=A(S_{1})+cdots +A(S_{r}).}

Las áreas de superficie de formas poligonales planas deben coincidir con su área definida geométricamente. Dado que el área de superficie es una noción geométrica, las áreas de superficies congruentes deben ser las mismas y el área debe depender solo de la forma de la superficie, pero no de su posición y orientación en el espacio. Esto significa que el área de superficie es invariante bajo el grupo de movimientos euclidianos. Estas propiedades caracterizan de manera única el área de superficie para una amplia clase de superficies geométricas denominadas suaves por partes. Tales superficies consisten en un número finito de piezas que se pueden representar en la forma paramétrica

SD:r→ → =r→ → ()u,v),()u,v)▪ ▪ D{displaystyle S_{D}:{vec {r}={vec {r}(u,v),quad (u,v)in D}

con una función continuamente diferenciable r→ → .{displaystyle {vec {}}} El área de una pieza individual se define por la fórmula

A()SD)=∫ ∫ DSilencior→ → u× × r→ → vSilenciodudv.{displaystyle A(S_{D}=iint ¿Por qué? {fnMicrosoft Sans Serif}

Así el área de S_D se obtiene integrando la longitud del vector normal r→ → u× × r→ → v{displaystyle {vec {}_{u}times {fnK} {fnMicrosoft} {fnK}} {fnMicrosoft}}}} {fnK}} {fn}}} {f}} {fnK}}} {fn}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} a la superficie sobre la región apropiada D en el paramétrico uv avión. El área de toda la superficie se obtiene añadiendo las áreas de las piezas, utilizando la aditividad de la superficie. La fórmula principal puede ser especializada en diferentes clases de superficies, dando, en particular, fórmulas para áreas de gráficos z = f()x,Sí.) y superficies de la revolución.

Linterna Schwarz con M{displaystyle M} rebanadas axiales y N{displaystyle N} vértices radiales. El límite de la zona como M{displaystyle M} y N{displaystyle N} tiende a la infinidad no converge. En particular, no converge a la zona del cilindro.

Una de las sutilezas del área de la superficie, en comparación con la longitud del arco de las curvas, es que el área de la superficie no se puede definir simplemente como el límite de áreas de formas poliédricas que se aproximan a una superficie lisa determinada. Hermann Schwarz demostró que ya para el cilindro, diferentes opciones de aproximación de superficies planas pueden conducir a diferentes valores límite del área; este ejemplo se conoce como la linterna de Schwarz.

Henri Lebesgue y Hermann Minkowski desarrollaron varios enfoques para una definición general de área de superficie a finales del siglo XIX y principios del XX. Mientras que para las superficies lisas por partes existe una noción natural única de área de superficie, si una superficie es muy irregular o rugosa, es posible que no sea posible asignarle un área en absoluto. Un ejemplo típico lo da una superficie con púas repartidas de forma densa. Muchas superficies de este tipo ocurren en el estudio de los fractales. En la teoría geométrica de la medida se estudian extensiones de la noción de área que cumplen parcialmente su función y pueden definirse incluso para superficies muy irregulares. Un ejemplo específico de tal extensión es el contenido de Minkowski de la superficie.

Fórmulas comunes

Áreas superficiales de sólidos comunes

Forma	Ecuación	Variables
Cube	6a2{displaystyle 6a^{2}	a = longitud lateral
Cuboid	2()lb+lh+bh){displaystyle 2left(lb+lh+bhright)}	l = longitud, b = ancho, h = altura
Triangular prism	bh+l()p+q+r){displaystyle bh+lleft(p+q+rright)}	b = longitud base del triángulo, h = altura del triángulo, l = distancia entre bases triangulares, p, q, r = lados del triángulo
Todos los prismas	2B+Ph{displaystyle 2B+Ph}	B = el área de una base, P = el perímetro de una base, h = altura
Sphere	4π π r2=π π d2{displaystyle 4pi r^{2}=pi d^{2}	r = radio de esfera, d = diámetro
Hemisferio	3π π r2{displaystyle 3pi r^{2}	r = radio del hemisferio
Carcasa hemisférica	π π ()3R2+r2){displaystyle pi left(3R^{2}+r^{2}right)}	R = radio externo del hemisferio, r = radio interno del hemisferio
Lúmina esférica	2r2Silencio Silencio {displaystyle 2r^{2}theta}	r = radio de esfera, Silencio = ángulo dihedral
Torus	()2π π r)()2π π R)=4π π 2Rr{displaystyle left(2pi rright)left(2pi Rright)=4pi ^{2}Rr}	r = radio menor (radius del tubo), R = radio principal (distancia del centro del tubo al centro del toro)
Cilindro cerrado	2π π r2+2π π rh=2π π r()r+h){displaystyle 2pi r^{2}+2pi rh=2pi rleft(r+hright)}	r = radio de la base circular, h = altura del cilindro
Anulo cilíndrico	2π π Rh+2π π rh+2()π π R2− − π π r2)=2π π ()R+r)()R− − r+h){displaystyle 2pi Rh+2pi rh+2(pi) R^{2}-pi r^{2})=2pi (R+r)(R-r+h)}	R = radio externo r = radio interno, h = altura
Cápsula	2π π r()2r+h){displaystyle 2pi r(2r+h)}	r = radio de los hemisferios y cilindros, h = altura del cilindro
Superficie curvada de un cono	π π rr2+h2=π π rs{displaystyle pi r{sqrt {fnMicrosoft}}=pi} Rs.	s=r2+h2{displaystyle s={sqrt {2}}}} s = altura inclinada del cono, r = radio de la base circular, h = altura del cono
Superficie total de un cono	π π r()r+r2+h2)=π π r()r+s){displaystyle pi rleft(r+{sqrt {r^{2}+h^{2}}right)=pi rleft(r+sright)}	s = altura inclinada del cono, r = radio de la base circular, h = altura del cono
Pirámide regular	B+Ps2{displaystyle B+{frac {}{2}}}	B = área de base, P = perímetro de base, s = altura inclinada
pirámide cuadrada	b2+2bs=b2+2b()b2)2+h2{displaystyle b^{2}+2bs=b^{2}+2b{sqrt {left({frac {b} {2}derecha)} {2}}}	b = longitud base, s = altura inclinada, h = altura vertical
pirámide rectangular	lb+l()b2)2+h2+b()l2)2+h2{displaystyle lb+l{sqrt {left({frac {b}{2}derecha)} {2}+h}}}+b{sqrt {left({frac} {fnMicrosoft Sans Serif}	l = longitud, b = ancho, h = altura
Tetraedro	3a2{displaystyle {sqrt {3}a}{2}	a = longitud lateral
Superficie de la revolución	2π π ∫ ∫ abf()x)1+()f.()x))2dx{displaystyle 2pi int _{a}{b}{f(x){1+(f'(x)^{2}dx}}
Superficie paramétrica	∫ ∫ DSilencior→ → u× × r→ → vSilenciodA{displaystyle iint _{D}leftvert {vec}_{u}times {vec {}_{v}rightvert ♪	r→ → {displaystyle {vec}} = ecuación vectorial paramétrica de superficie, r→ → u{displaystyle {vec}_{u}} = derivado parcial de r→ → {displaystyle {vec}} con respecto a u{displaystyle u}, r→ → v{displaystyle {vec}_{v}} = derivado parcial de r→ → {displaystyle {vec}} con respecto a v{displaystyle v}, D{displaystyle D} = región de sombras

Razón de áreas de superficie de una esfera y un cilindro del mismo radio y altura

Un cono, esfera y cilindro de radio r y altura h.

Las fórmulas dadas a continuación se pueden usar para mostrar que el área de la superficie de una esfera y un cilindro del mismo radio y altura están en la proporción 2: 3, de la siguiente manera.

Sea el radio r y la altura h (que es 2r para la esfera).

Superficie de la superficie=4π π r2=()2π π r2)× × 2Superficie del cilindro=2π π r()h+r)=2π π r()2r+r)=()2π π r2)× × 3{displaystyle {begin{rlll}{text{Sphere surface area} {=4pi r^{2} limit=(2pi r^{2})times 2\{text{fncipiente surface area} {=2pi r(h+r) limit=2pi r(2rend+r)

El descubrimiento de esta proporción se atribuye a Arquímedes.

En química

Superficie de partículas de diferentes tamaños.

El área de superficie es importante en la cinética química. El aumento del área superficial de una sustancia generalmente aumenta la velocidad de una reacción química. Por ejemplo, el hierro en polvo fino entrará en combustión, mientras que en bloques sólidos es lo suficientemente estable para usarse en estructuras. Para diferentes aplicaciones, se puede desear un área de superficie mínima o máxima.

En biología

La membrana interna del mitocondrión tiene una superficie grande debido a las incarpetas, permitiendo mayores tasas de respiración celular (micrógrafo electrónico).

El área de superficie de un organismo es importante en varias consideraciones, como la regulación de la temperatura corporal y la digestión. Los animales usan sus dientes para triturar los alimentos en partículas más pequeñas, lo que aumenta el área de superficie disponible para la digestión. El tejido epitelial que recubre el tracto digestivo contiene microvellosidades, lo que aumenta en gran medida el área disponible para la absorción. Los elefantes tienen orejas grandes, lo que les permite regular su propia temperatura corporal. En otros casos, los animales deberán minimizar el área de superficie; por ejemplo, las personas cruzarán los brazos sobre el pecho cuando tengan frío para minimizar la pérdida de calor.

La relación entre el área superficial y el volumen (SA:V) de una célula impone límites superiores al tamaño, ya que el volumen aumenta mucho más rápido que el área superficial, lo que limita la velocidad a la que las sustancias se difunden desde el interior a través de la membrana celular. a los espacios intersticiales o a otras células. De hecho, representando una celda como una esfera idealizada de radio r, el volumen y el área de superficie son, respectivamente, V = (4/3)πr³ y SA = 4πr². La relación entre el área superficial y el volumen resultante es, por lo tanto, 3/r. Así, si una celda tiene un radio de 1 μm, la relación SA:V es 3; mientras que si el radio de la celda es de 10 μm, entonces la relación SA:V se convierte en 0,3. Con un radio de celda de 100, la relación SA:V es 0,03. Por lo tanto, el área de la superficie cae abruptamente al aumentar el volumen.