Arco maximo

Un arco máximo en un plano proyectivo finito es el arco más grande posible (k,d) en ese plano proyectivo. Si el plano proyectivo finito tiene orden q (hay q+1 puntos en cualquier línea), entonces para un arco máximo, k, el número de puntos del arco, es el máximo posible (= qd + d - q) con la propiedad de que ningún d+1 punto del arco se encuentra en la misma línea.

Vamos. ${\displaystyle \pi}$ ser un plano proyector finito de orden q (no necesariamente querido). Arcos máximos de grado d (2 ≤ d ≤ q- 1) son (k,d)-arcos en ${\displaystyle \pi}$, donde k es maximal con respecto al parámetro dEn otras palabras, k = qd + d - q.

Equivalentemente, se puede definir máximos arcos de grado d dentro ${\displaystyle \pi}$ como conjuntos no vacíos de puntos K tal que cada línea interseccione el conjunto ya sea en 0 o d puntos.

Algunos autores permiten que el grado de un arco máximo sea 1, q o incluso q+ 1. Sea K un arco (k, d) máximo en un plano proyectivo de orden q, si

• d = 1, K es un punto del avión,
• d = q, K es el complemento de una línea (un avión de orden afine q), y
• d = q + 1, K es todo el plano proyectivo.

Todos estos casos se consideran ejemplos triviales de arcos máximos, que existen en cualquier tipo de plano proyectivo para cualquier valor de q. Cuando 2 ≤ d ≤ q- 1, el arco máximo se denomina no trivial, y la definición dada anteriormente y las propiedades enumeradas a continuación se refieren a arcos máximos no triviales.

• El número de líneas a través de un punto fijo p, no en un arco maximal K, intersección K dentro d puntos, iguales ${\displaystyle (q+1)-{\frac {q} {d}}$. Así, d divideciones q.
• En el caso especial d = 2, arcos máximos se conocen como hiperovalos que sólo pueden existir si q es incluso.
• Un arco K tener un punto menos que un arco maximal siempre se puede extender de forma única a un arco maximal agregando a K el punto en que todas las líneas se reúnen K dentro d - 1 puntos.
• En PG(2,qCon q raro, no existen arcos máximos no-triviales.
• En PG(2,2^h), arcos máximos para cada grado 2^t, 1 ≤ t ≤ h existen.

Se pueden construir geometrías parciales, derivadas de arcos máximos:

• Vamos. K ser un arco maximal con grado d. Considerar la estructura de incidencia ${\displaystyle S(K)=(P,B,I)}$, donde P contiene todos los puntos del plano proyectivo no en K, B contiene toda la línea del plano proyectivo intersección K dentro d puntos y la incidencia I es la inclusión natural. Esta es una geometría parcial: ${\displaystyle pg(q-d,q-{\frac {q}{d},q-{\frac {}}-d+1)}$.
• Considerar el espacio ${\displaystyle PG(3,2^{h})(h\geq 1)}$ y dejar K un arco máximo de grado ${\displaystyle d=2^{s}(1\leq s\leq m)}$ en un subespacio bidimensional ${\displaystyle \pi}$. Considerar una estructura de incidencia ${\displaystyle T_{2}{*}(K)=(P,B,I)}$ Donde P contiene todos los puntos no ${\displaystyle \pi}$, B contiene todas las líneas no en ${\displaystyle \pi}$ e intersección ${\displaystyle \pi}$ en un punto en K, y I es otra vez la inclusión natural. ${\displaystyle T_{2}{*}(K)}$ es otra vez una geometría parcial: ${\displaystyle pg(2^{h}-1,(2^{h}+1)(2^{m}-1),2^{m}-1)\,}$.

• Ball, S.; Blokhuis, A.; Mazzocca, F. (1997), "Maximal arcs in Desarguesian planes of odd order do not exist", Combinatorica, 17: 31–41, doi:10.1007/bf01196129, MR 1466573, Zbl 0880.51003
• Denniston, R. H. F. (abril de 1969), "Algunos arcos maximales en planos proyectivos finitos", Journal of Combinatorial Teoría, 6 (3): 317–319, doi:10.1016/s0021-9800(69)80095-5, MR 0239991, Zbl 0167.49106
• Hirschfeld, J. W. P. (1979), Geometrías proyectivas sobre campos finitos, Nueva York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853526-3
• Mathon, Rudolf (2002), "New maximal arcs in Desarguesian planes", Journal of Combinatorial Teoría, Serie A, 97 (2): 353-368, doi:10.1006/jcta.2001.3218, MR 1883870, Zbl 1010.51009
• Thas, J. A. (1974), "Construcción de arcos maximales y geometrías parciales", Geometriae Dedicata, 3: 61–64, doi:10.1007/bf00181361, MR 0349437, Zbl 0285.50018