Árbol de Pitágoras (fractal)
El árbol de Pitágoras es un fractal plano construido a partir de cuadrados. Inventado por el profesor de matemáticas holandés Albert E. Bosman en 1942, lleva el nombre del antiguo matemático griego Pitágoras porque cada tripleta de cuadrados en contacto encierra un triángulo rectángulo, en una configuración tradicionalmente utilizada para representar el teorema de Pitágoras. Si el cuadrado más grande tiene un tamaño de L × L, todo el árbol de Pitágoras cabe perfectamente dentro de una caja de tamaño 6L × 4L. Los detalles más finos del árbol se asemejan a la curva C de Lévy.
Construcción
La construcción del árbol de Pitágoras comienza con un cuadrado. Sobre este cuadrado se construyen dos cuadrados, cada uno reducido por un factor lineal de √2 /2, de modo que las esquinas de los cuadrados coincidan por pares. Luego se aplica el mismo procedimiento de forma recursiva a los dos cuadrados más pequeños, ad infinitum. La siguiente ilustración muestra las primeras iteraciones del proceso de construcción.
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| Orden 0 | Orden 1 | Orden 2 | Orden 3 |
Este es el triángulo simétrico más simple. Alternativamente, los lados del triángulo son proporciones recursivamente iguales, lo que lleva a que los lados sean proporcionales a la raíz cuadrada de la proporción áurea inversa y que las áreas de los cuadrados estén en proporción áurea.
Área
Iteración n en la construcción añade 2n cuadrados de superficie 12n{displaystyle {tfrac {1}{2} {}}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}}}}}}} {fn}}}}}}}}}} {f}}}, para un área total de 1. Así el área del árbol podría parecer crecer sin límites en el límite como n → ∞. Sin embargo, algunos de los cuadrados se superponen a partir de la orden 5 iteración, y el árbol realmente tiene un área finita porque encaja dentro de una caja 6×4.
Se puede demostrar fácilmente que el área A del árbol de Pitágoras debe estar en el rango 5 < A < 18, que se puede reducir aún más con un esfuerzo adicional. Parece que se sabe poco sobre el valor real de A.
Variando el ángulo
Se puede construir un conjunto interesante de variaciones manteniendo un triángulo isósceles pero cambiando el ángulo de la base (90 grados para el árbol estándar de Pitágoras). En particular, cuando el semiángulo base se establece en (30°) = arcsin(0,5), se ve fácilmente que el tamaño de los cuadrados permanece constante. La primera superposición ocurre en la cuarta iteración. El patrón general producido es el mosaico rombitrihexagonal, una serie de hexágonos bordeados por los cuadrados de construcción.
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| Orden No 4 | Orden 10 |
En el límite donde el medio-ángulo es de 90 grados, obviamente no hay superposición, y el área total es dos veces el área de la plaza base.
Historia
El árbol de Pitágoras fue construido por primera vez por Albert E. Bosman (1891-1961), un profesor de matemáticas holandés, en 1942.