Aproximación de onda giratoria

El aproximación de onda giratoria es una aproximación utilizada en la óptica del átomo y la resonancia magnética. En esta aproximación, los términos en un Hamiltonian que oscilan rápidamente se descuidan. Esta es una aproximación válida cuando la radiación electromagnética aplicada está cerca de la resonancia con una transición atómica, y la intensidad es baja. Explícitamente, términos en los Hamiltonianos que oscilan con frecuencias ⋅ ⋅ L+⋅ ⋅ 0{displaystyle omega _{L}+omega ¿Qué? son descuidados, mientras que los términos que oscilan con frecuencias ⋅ ⋅ L− − ⋅ ⋅ 0{displaystyle omega ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? se guardan, donde ⋅ ⋅ L{displaystyle omega ¿Qué? es la frecuencia de luz, y ⋅ ⋅ 0{displaystyle omega ¿Qué? es una frecuencia de transición.

El nombre de la aproximación surge de la forma del hamiltoniano en la imagen de interacción, como se muestra a continuación. Al cambiar a esta imagen, la evolución de un átomo debido al hamiltoniano atómico correspondiente se absorbe en el sistema ket, dejando a considerar sólo la evolución debida a la interacción del átomo con el campo de luz. Es en este cuadro donde pueden despreciarse los términos de rápida oscilación mencionados anteriormente. Dado que en cierto sentido se puede considerar que la imagen de interacción gira con el sistema ket, sólo se mantiene la parte de la onda electromagnética que aproximadamente co-gira; el componente contrarrotativo se descarta.

La aproximación de onda giratoria está estrechamente relacionada con la aproximación secular, pero es diferente de ella.

Formulación matemática

Para la simplicidad considere un sistema atómico de dos niveles con estados molidos y excitados Silenciog. . {displaystyle Silencio{text{g}rangle } y Silencioe. . {displaystyle Silencio{text{e}rangle }, respectivamente (utilizando la notación del soporte Dirac). Que la diferencia energética entre los estados ▪ ▪ ⋅ ⋅ 0{displaystyle hbar omega ¿Qué? así ⋅ ⋅ 0{displaystyle omega ¿Qué? es la frecuencia de transición del sistema. Entonces el Hamiltoniano no perturbado del átomo puede ser escrito como

H0=▪ ▪ ⋅ ⋅ 02Silencioe. . . . eSilencio− − ▪ ▪ ⋅ ⋅ 02Silenciog. . . . gSilencio{displaystyle H_{0}={frac {hbar omega ¿Qué? {hbar omega ¿Por qué?.

Supongamos que el átomo experimenta un campo eléctrico clásico externo de frecuencia ⋅ ⋅ L{displaystyle omega ¿Qué?, dado por E→ → ()t)=E→ → 0e− − i⋅ ⋅ Lt+E→ → 0Alternativa Alternativa ei⋅ ⋅ Lt{displaystyle {vec}(t)={vec {E}_{0}e^{-iomega - ¿Qué? {fnK} {fnK} {fnK}} {fnK}}} {fn}}}}}} {f}}}}fn} {fn}}}} {fn}}}}} {fn}} {f}}f}}}}}fn}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} ¿Qué?; por ejemplo, una ola de avión que se propaga en el espacio. Luego bajo la dipole aproximación la interacción Hamiltonian entre el átomo y el campo eléctrico se puede expresar como

H1=− − d→ → ⋅ ⋅ E→ → {displaystyle H_{1}=-{vec {d}cdot {vec} {E}},

Donde d→ → {displaystyle {vec}} es el operador del momento dipole del átomo. Por lo tanto, el Hamiltonian total para el sistema atom-light H=H0+H1.{displaystyle H=H_{0}+H_{1} El átomo no tiene un momento dipole cuando está en un eigenstat de energía, por lo que .eSilenciod→ → Silencioe.=.gSilenciod→ → Silenciog.=0.{displaystyle leftlangle {text{e}left forever{vec} {fnK}fnK}fnK}fnK}fnK}fnK}fnK}fn}fnK} {fn}fnK}fnK}fnK}}fn}f}fnK}f}fnK}fnKf}f}f}f}f}}f}}}f}f}f}f}f}p}f}}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p} {d} 'justo para la vida {text{g}derecharangle =0.} Esto significa que definir d→ → eg:=.eSilenciod→ → Silenciog.{displaystyle {vec {fnK}fnh}fnMitrel {:=}leftlangle {text{e}}}left durable{vec} {d} 'justo en la vida {text{g} 'derecha 'rangle' permite que el operador de dipole sea escrito como

d→ → =d→ → egSilencioe. . . . gSilencio+d→ → egAlternativa Alternativa Silenciog. . . . eSilencio{displaystyle {vec {d}={vec} {fnK} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}rangle} {f}} {fnK}} {f}}}} {f}}}}}} {f} {f}} {f}} {f}}f}}}f}f}f}f}f}f}}}f}f}}}}}}\f}}}}\f}}\f}}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}\f}f}f}\\f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}}f}} langle {text{g} {fnK} {f} {f}f}}rangle langle {text{e}tuvo}}

(con Alternativa Alternativa {displaystyle ^{*} denotar el complejo conjugado). La interacción Hamiltonian se puede mostrar

H1=− − ▪ ▪ ()Ω Ω e− − i⋅ ⋅ Lt+Ω Ω ~ ~ ei⋅ ⋅ Lt)Silencioe. . . . gSilencio− − ▪ ▪ ()Ω Ω ~ ~ Alternativa Alternativa e− − i⋅ ⋅ Lt+Ω Ω Alternativa Alternativa ei⋅ ⋅ Lt)Silenciog. . . . eSilencio{displaystyle H_{1}=-hbar left(Omega e^{-iomega - No. {fnK}e^{iomega _{L}t}right) Todd{text{e}rangle {text{g} forever-hbar left({tilde Oh, Dios mío. ¿Qué? _{L}t} 'justo)

Donde Ω Ω =▪ ▪ − − 1d→ → eg⋅ ⋅ E→ → 0{displaystyle Omega =hbar ^{-1}{vec {d}_{text{eg}cdot {fnK} {fnK}} {fnK}}} {fnMicrosoft}}}} {fn}}} {fn}}}}}} {fn}}} {fn}} {fn}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { es la frecuencia de Rabi y Ω Ω ~ ~ :=▪ ▪ − − 1d→ → eg⋅ ⋅ E→ → 0Alternativa Alternativa {displaystyle {tilde {fnMiga}fnMitrel {:=} hbar ^{-1}{vec {d}_{text{eg}cdot {fnK} {fnK}} {fnK}} {fnK}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}} {fnK}}}}} {fn}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} es la frecuencia contra-rotante. Para ver por qué Ω Ω ~ ~ {displaystyle {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ } términos se llaman contra la rotación considerar una transformación unitaria a la interacción o imagen Dirac donde el Hamiltoniano transformado H1,I{displaystyle H_{1,I} es dado por

H1,I=− − ▪ ▪ ()Ω Ω e− − iΔ Δ ⋅ ⋅ t+Ω Ω ~ ~ ei()⋅ ⋅ L+⋅ ⋅ 0)t)Silencioe. . . . gSilencio− − ▪ ▪ ()Ω Ω ~ ~ Alternativa Alternativa e− − i()⋅ ⋅ L+⋅ ⋅ 0)t+Ω Ω Alternativa Alternativa eiΔ Δ ⋅ ⋅ t)Silenciog. . . . eSilencio,{displaystyle H_{1,I}=-hbar left(Omega e^{-i Delta omega ## {fnMiga}e^{i(omega) _{L}+omega _{0})t}right) {fnMiga} {fnMiga} {fnMiga*} {fnMiga*} {fnMiga*}*}* ¿Por qué? Omega ^{*}e^{iDelta omega t}derecha)

Donde Δ Δ ⋅ ⋅ :=⋅ ⋅ L− − ⋅ ⋅ 0{displaystyle Delta omega mathrel {:=} omega ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? es el engaño entre el campo de luz y el átomo.

Haciendo la aproximación

Este es el punto en el que se realiza la aproximación de onda giratoria. Se ha asumido la aproximación dipole, y para que esto siga siendo válido el campo eléctrico debe estar cerca de la resonancia con la transición atómica. Esto significa que Δ Δ ⋅ ⋅ ≪ ≪ ⋅ ⋅ L+⋅ ⋅ 0{displaystyle Delta omega ll omega _{L}+omega ¿Qué? y los complejos exponenciales multiplicando Ω Ω ~ ~ {displaystyle {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ } y Ω Ω ~ ~ Alternativa Alternativa {displaystyle {tilde {fnK}} {fnK}}} {fnK}}} {fnK}} {fnK}}}}} {fnK}}}}}} {fnK}}}}} puede considerarse que está oscilando rápidamente. Por lo tanto, en cualquier escala de tiempo apreciable, las oscilaciones promediarán rápidamente a 0. La aproximación de onda giratoria es así la afirmación de que estos términos pueden ser descuidados y por lo tanto el Hamiltoniano puede ser escrito en el cuadro de interacción como

H1,IRWA=− − ▪ ▪ Ω Ω e− − iΔ Δ ⋅ ⋅ tSilencioe. . . . gSilencio− − ▪ ▪ Ω Ω Alternativa Alternativa eiΔ Δ ⋅ ⋅ tSilenciog. . . . eSilencio.{displaystyle H_{1,I} {text{RWA}=-hbar ################################################################################################################################################################################################################################################################ Delta omega t} sobrevivir {text{g}rangle langle {text{e} sobre la vida.}

Finalmente, volviendo a la imagen de Schrödinger, el hamiltoniano está dado por

HRWA=▪ ▪ ⋅ ⋅ 02Silencioe. . . . eSilencio− − ▪ ▪ ⋅ ⋅ 02Silenciog. . . . gSilencio− − ▪ ▪ Ω Ω e− − i⋅ ⋅ LtSilencioe. . . . gSilencio− − ▪ ▪ Ω Ω Alternativa Alternativa ei⋅ ⋅ LtSilenciog. . . . eSilencio.{displaystyle H^{text{}={hbar omega ¿Qué? {hbar omega ¿Qué? Omega e^{-iomega ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{L}t}tuvo {text{g}rangle langle {text{e}tuvo.}

Otro criterio para la aproximación de la onda giratoria es la condición de acoplamiento débil, es decir, la frecuencia de Rabi debe ser mucho menor que la frecuencia de transición.

En este punto se completa la aproximación de la onda giratoria. Un primer paso común más allá de esto es eliminar la dependencia temporal restante en el hamiltoniano mediante otra transformación unitaria.

Derivación

Dadas las definiciones anteriores, la interacción hamiltoniana es

H1=− − d→ → ⋅ ⋅ E→ → =− − ()d→ → egSilencioe. . . . gSilencio+d→ → egAlternativa Alternativa Silenciog. . . . eSilencio)⋅ ⋅ ()E→ → 0e− − i⋅ ⋅ Lt+E→ → 0Alternativa Alternativa ei⋅ ⋅ Lt)=− − ()d→ → eg⋅ ⋅ E→ → 0e− − i⋅ ⋅ Lt+d→ → eg⋅ ⋅ E→ → 0Alternativa Alternativa ei⋅ ⋅ Lt)Silencioe. . . . gSilencio− − ()d→ → egAlternativa Alternativa ⋅ ⋅ E→ → 0e− − i⋅ ⋅ Lt+d→ → egAlternativa Alternativa ⋅ ⋅ E→ → 0Alternativa Alternativa ei⋅ ⋅ Lt)Silenciog. . . . eSilencio=− − ▪ ▪ ()Ω Ω e− − i⋅ ⋅ Lt+Ω Ω ~ ~ ei⋅ ⋅ Lt)Silencioe. . . . gSilencio− − ▪ ▪ ()Ω Ω ~ ~ Alternativa Alternativa e− − i⋅ ⋅ Lt+Ω Ω Alternativa Alternativa ei⋅ ⋅ Lt)Silenciog. . . . eSilencio,{displaystyle {begin{aligned} H_{1}=-{vec {d}cdot {vec} {E}} {text{e} {f}f}f}f}mf}}rangle {f}}rangle {f}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}rangle {f} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}} {\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}} langle {text{g} {d}_{text{}} {f}f}g}rangle langle {text{e}tuvoright)cdot left({vec} {E}_{0}e^{-iomega - ¿Qué? {fnK} {fnK} {fnK}} {fnK}} {f}}} {fnK}}}}}}} {fn}}}fn}}} {fn}}}} {fn}} {f}f}}}}}}fn}}}}}}}}}}}}} {f} {f}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {fnMicrosoft Sans Serif}cdot {fnMicrosoft Sans Serif}cdot {vec} {E}_{0}e^{-iomega - ¿Por qué? _{L}t}right) Todd{text{e}rangle langle {text{g}tuvo-left({vec} {fnK}cdot {fnMicrosoft}cdot {fnMicrosoft}} {cdot} {cdot {fn}} {cdot} {fn}} {cdot}} {cdot} {cdot} {cdot} {cdot}} {f}}}} {cdot} {cdot}cdot {cdot} {cdot {f} {cdot} {cdot} {cdot {f} {cdot {f}f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {cdot {cdot {cdot {f} {f}f} {f} {f}f}f}}f}f}}}f}f}f}f}f}}}f} {E}_{0}e^{-iomega - ¿Qué? {fnK} {fnK}cdot {fnK} {f} {f}} {f} {f}}f} {fn}}fn}}}} {fnK}}}} {fn}}}}}}cdot {cdot}cdot {cdot} {cdot {cdot} {cdot {cdot {cdot {cdot {cdot {cdot {f}}}} {cdot {cdot {cdot {f}}}}}} {f}}}}}}} {cdot {cdot {cdot {cdot {cdot {cdot {cdot {cdot {cdot {f} {cdot {cdot {f} {f}f}}}}} {f}} _{L}t}right) Todd{text{g}rangle {text{e} resist\\=-hbar left( Omega e^{-iomega - No. {fnK}e^{iomega _{L}t}right) Todd{text{e}rangle {text{g} forever-hbar left({tilde Oh, Dios mío. ¿Qué? _{L}t} 'justo) sobre la muerte {text{g}}}

como se dijo. El siguiente paso es encontrar al Hamiltonian en el cuadro de interacción, H1,I{displaystyle H_{1,I}. La transformación unitaria necesaria es

U=eiH0t/▪ ▪ =ei⋅ ⋅ 0t/2()Silencioe. . . . eSilencio− − Silenciog. . . . gSilencio)=#⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ 0t2)()Silencioe. . . . eSilencio+Silenciog. . . . gSilencio)+ipecado⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ 0t2)()Silencioe. . . . eSilencio− − Silenciog. . . . gSilencio)=e− − i⋅ ⋅ 0t/2Silenciog. . . . gSilencio+ei⋅ ⋅ 0t/2Silencioe. . . . eSilencio=e− − i⋅ ⋅ 0t/2()Silenciog. . . . gSilencio+ei⋅ ⋅ 0tSilencioe. . . . eSilencio){displaystyle {begin{aligned}U ventaja=e^{iH_{0}t/hbar }\\\e^{iomega ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif} {}} {f}fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft ] {fnMicrosoft} {f}f} {f}f} {fnMicrosoft}f}f}f}f}fnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinun}fnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMientras se lo sé lo sé lo sé! ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué?,

donde el tercer paso puede ser probado utilizando una expansión de la serie Taylor, y utilizando la ortogonalidad de los estados Silenciog. . {displaystyle Silencio{text{g}rangle } y Silencioe. . {displaystyle Silencio{text{e}rangle }. Observe que una multiplicación por una fase general ei⋅ ⋅ 0t/2{displaystyle e^{iomega ¿Qué? en un operador unitario no afecta a la física subyacente, así que en los usos adicionales de U{displaystyle U} lo descuidaremos. Aplicar U{displaystyle U} da:

H1,I↑ ↑ UH1U† † =− − ▪ ▪ ()Ω Ω e− − i⋅ ⋅ Lt+Ω Ω ~ ~ ei⋅ ⋅ Lt)ei⋅ ⋅ 0tSilencioe. . . . gSilencio− − ▪ ▪ ()Ω Ω ~ ~ Alternativa Alternativa e− − i⋅ ⋅ Lt+Ω Ω Alternativa Alternativa ei⋅ ⋅ Lt)Silenciog. . . . eSilencioe− − i⋅ ⋅ 0t=− − ▪ ▪ ()Ω Ω e− − iΔ Δ ⋅ ⋅ t+Ω Ω ~ ~ ei()⋅ ⋅ L+⋅ ⋅ 0)t)Silencioe. . . . gSilencio− − ▪ ▪ ()Ω Ω ~ ~ Alternativa Alternativa e− − i()⋅ ⋅ L+⋅ ⋅ 0)t+Ω Ω Alternativa Alternativa eiΔ Δ ⋅ ⋅ t)Silenciog. . . . eSilencio .{displaystyle {begin{aligned}H_{1,I} UH_{1}U^{dagger }\ \hbar left(Omega e^{-iomega - No. {fnK}e^{iomega ¿Por qué? _{0}t {text{e}rangle langle {text{g} arrest-hbar left({tilde) Oh, Dios mío. ¿Qué? _{L}t} 'justo) ## {0}t}\\\cHbar left(Omega e^{-i Delta omega ## {fnMiga}e^{i(omega) _{L}+omega _{0})t}right) {fnMiga} {fnMiga} {fnMiga*} {fnMiga*} {fnMiga*}*}* ¿Por qué? Omega ^{*}e^{iDelta omega t}derecha)

Ahora aplicamos el RWA eliminando los términos contrarrotativos como se explica en el apartado anterior:

H1,IRWA=− − ▪ ▪ Ω Ω e− − iΔ Δ ⋅ ⋅ tSilencioe. . . . gSilencio+− − ▪ ▪ Ω Ω Alternativa Alternativa eiΔ Δ ⋅ ⋅ tSilenciog. . . . eSilencio{displaystyle H_{1,I} {text{RWA}=-hbar ################################################################################################################################################################################################################################################################ Omega ^{*}e^{i Delta omega t} resist{text{g}rangle langle {text{e}tuvo}

Finalmente, transformamos el aproximadamente Hamiltonian H1,IRWA{displaystyle H_{1,I} {text{RWA}} volver a la imagen de Schrödinger:

H1RWA=U† † H1,IRWAU=− − ▪ ▪ Ω Ω e− − iΔ Δ ⋅ ⋅ te− − i⋅ ⋅ 0tSilencioe. . . . gSilencio− − ▪ ▪ Ω Ω Alternativa Alternativa eiΔ Δ ⋅ ⋅ tSilenciog. . . . eSilencioei⋅ ⋅ 0t=− − ▪ ▪ Ω Ω e− − i⋅ ⋅ LtSilencioe. . . . gSilencio− − ▪ ▪ Ω Ω Alternativa Alternativa ei⋅ ⋅ LtSilenciog. . . . eSilencio.{displaystyle {begin{aligned}H_{1}{text{RWA} {begin{begin{aligned}H_{1} {]}{text{}} {f}} {f}} {f}}}}}} {begin{begin{begin{f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {begin{begin{begin{begin{begin{begin{begin{begin{begin{begin{begin{f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} }H_{1,I} {text{RWA}U\ Omega e^{-iDelta omega t}e^{-iomega ################################################################################################################################################################################################################################################################ - No. Omega e^{-iomega ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{L}t}tuvo {text{g}rangle langle {text{e}tuvo.end{aligned}}

El hamiltoniano atómico no se vio afectado por la aproximación, por lo que el hamiltoniano total en la imagen de Schrödinger bajo la aproximación de onda giratoria es

HRWA=H0+H1RWA=▪ ▪ ⋅ ⋅ 02Silencioe. . . . eSilencio− − ▪ ▪ ⋅ ⋅ 02Silenciog. . . . gSilencio− − ▪ ▪ Ω Ω e− − i⋅ ⋅ LtSilencioe. . . . gSilencio− − ▪ ▪ Ω Ω Alternativa Alternativa ei⋅ ⋅ LtSilenciog. . . . eSilencio.{displaystyle H^{text{RWA}}=H_{0} {f}{text{f}}={frac}}={f}} {f}} {f}} {f}} {f}}}}}}}= {f}}}}}}}f} {hbar omega ¿Qué? {hbar omega ¿Qué? Omega e^{-iomega ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{L}t}tuvo {text{g}rangle langle {text{e}tuvo.}