Aproximación de Boussinesq (flotabilidad)

En dinámica de fluidos, la aproximación de Boussinesq (pronunciada [businɛsk], llamado así por Joseph Valentin Boussinesq) se utiliza en el campo del flujo impulsado por flotabilidad (también conocido como convección natural). Ignora las diferencias de densidad excepto cuando aparecen en términos multiplicados por g, la aceleración debida a la gravedad. La esencia de la aproximación de Boussinesq es que la diferencia de inercia es insignificante pero la gravedad es lo suficientemente fuerte como para hacer que el peso específico sea apreciablemente diferente entre los dos fluidos. Las ondas sonoras son imposibles/descuidadas cuando se utiliza la aproximación de Boussinesq, ya que las ondas sonoras se mueven a través de variaciones de densidad.

Los flujos de Boussinesq son comunes en la naturaleza (como frentes atmosféricos, circulación oceánica, vientos catabáticos), en la industria (dispersión densa de gases, ventilación por vitrinas de gases) y en el entorno construido (ventilación natural, calefacción central). La aproximación es extremadamente precisa para muchos de estos flujos y simplifica las matemáticas y la física.

La aproximación

La aproximación de Boussinesq se aplica a problemas en los que la temperatura del fluido varía de un lugar a otro, impulsando un flujo de fluido y una transferencia de calor. El fluido satisface la conservación de masa, la conservación del momento y la conservación de la energía. En la aproximación de Boussinesq, las variaciones en las propiedades del fluido distintas de la densidad ρ se ignoran y la densidad solo aparece cuando se multiplica por g, la aceleración gravitacional. Si u es la velocidad local de una porción de fluido, la ecuación de continuidad para la conservación de la masa es

∂ ∂ *** *** ∂ ∂ t+Silencio Silencio ⋅ ⋅ ()*** *** u)=0.{displaystyle {frac {partial rho }{partial t}}+nabla cdot left(rho mathbf {u}right)=0.}

Si se ignoran las variaciones de densidad, esto se reduce a

Silencio Silencio ⋅ ⋅ u=0.{displaystyle nabla cdot mathbf {u} =0.}

()1)

La expresión general para la conservación del momento de un fluido newtoniano incompresible (las ecuaciones de Navier-Stokes) es

∂ ∂ u∂ ∂ t+()u⋅ ⋅ Silencio Silencio )u=− − 1*** *** Silencio Silencio p+.. Silencio Silencio 2u+1*** *** F,{displaystyle {frac {partial mathbf {u}{partial t}+left(mathbf {u} cdot nabla right)mathbf {u} =-{frac {1}{rho }}nabla p+nu nabla ^{2}mathbfu {}} Mathbf.

donde ν (nu) es la viscosidad cinemática y F es la suma de las fuerzas de cualquier cuerpo, como la gravedad. En esta ecuación, se supone que las variaciones de densidad tienen una parte fija y otra parte que tiene una dependencia lineal de la temperatura:

*** *** =*** *** 0− − α α *** *** 0()T− − T0),{displaystyle rho =rho _{0}-alpha rho _{0}(T-T_{0}),}

donde α es el coeficiente de expansión térmica. La aproximación de Boussinesq establece que la variación de la densidad sólo es importante en el término de flotabilidad.

Si F=*** *** g{displaystyle F=rho mathbf {g} es la fuerza corporal gravitacional, la ecuación de conservación resultante es

∂ ∂ u∂ ∂ t+()u⋅ ⋅ Silencio Silencio )u=− − 1*** *** 0Silencio Silencio ()p− − *** *** 0g⋅ ⋅ z)+.. Silencio Silencio 2u− − gα α ()T− − T0).{displaystyle {frac {partial mathbf {u}{partial t}+left(mathbf {u} cdot nabla right)mathbf {u} {fnMicroc {1}}nbla (p-rho _{0}mathbf {g} cdot mathbf {z})+nu nabla ^{2}mathbf {u} -mathbf {g} alpha (T-T_{0}). }

()2)

En la ecuación para el flujo de calor en un gradiente de temperatura, la capacidad de calor por volumen de unidad, *** *** Cp{displaystyle rho C_{p}, se asume constante y el término de disipación es ignorado. La ecuación resultante es

∂ ∂ T∂ ∂ t+u⋅ ⋅ Silencio Silencio T=k*** *** CpSilencio Silencio 2T+J*** *** Cp,{fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} T}{partial }+ mathbf {u} cdot nabla T={frac {k}{rho C_{p}nabla ^{2}T+{frac {}{rho ¿Qué?

()3)

Donde J es la tasa por volumen de unidad de producción de calor interno y k{displaystyle k} es la conductividad térmica.

Las tres ecuaciones numeradas son las ecuaciones de convección básicas en la aproximación de Boussinesq.

Ventajas

La ventaja de la aproximación surge porque al considerar un flujo de, digamos, agua fría y caliente de densidad ρ₁ y ρ₂ sólo es necesario considerar una densidad única ρ: la diferencia Δρ = ρ₁ − ρ₂ es insignificante. El análisis dimensional muestra que, bajo estas circunstancias, la única forma sensata en que la aceleración debida a la gravedad g debería entrar en las ecuaciones de movimiento es en la gravedad reducida g′ donde

g.=g*** *** 1− − *** *** 2*** *** .{displaystyle G'=g{frac {rho _{1}-rho - Sí.

(Nota que el denominador puede ser de densidad sin afectar el resultado porque el cambio sería de orden g()Δ Δ *** *** *** *** )2{displaystyle gleft({tfrac {Delta rho }derecha)} {2}}}.) El número dimensional más utilizado generalmente sería el número Richardson y el número Rayleigh.

Las matemáticas del flujo son, por lo tanto, más simples porque la relación de densidad ρ₁/ρ₂ , un número adimensional, no afecta el flujo; la aproximación de Boussinesq establece que se puede suponer que es exactamente uno.

Inversiones

Una característica de los flujos de Boussinesq es que se ven iguales cuando se ven al revés, siempre que las identidades de los fluidos estén invertidas. La aproximación de Boussinesq es inexacta cuando la diferencia de densidad adimensional Δρ/ρ es aproximadamente 1.

Por ejemplo, considere una ventana abierta en una habitación cálida. El aire caliente del interior es menos denso que el aire frío del exterior, que fluye hacia la habitación y desciende hacia el suelo. Ahora imagine lo contrario: una habitación fría expuesta al aire cálido del exterior. Aquí el aire que entra sube hacia el techo. Si el flujo es Boussinesq (y la habitación es simétrica), entonces ver la habitación fría al revés es exactamente lo mismo que ver la habitación cálida al revés. Esto se debe a que la única forma en que la densidad entra en el problema es a través de la gravedad reducida g′, que sólo sufre un cambio de signo cuando se cambia de la flujo de la habitación cálida al flujo de la habitación fría.

Un ejemplo de un flujo no boussinesq son las burbujas que se elevan en el agua. El comportamiento de las burbujas de aire que suben en el agua es muy diferente del comportamiento del agua que cae en el aire: en el primer caso, las burbujas ascendentes tienden a formar capas hemisféricas, mientras que el agua que cae en el aire se divide en gotas de lluvia (en escalas de longitud pequeñas, la tensión superficial entra en el problema). y confunde el asunto).