Apolonio de Perge

Depiction of Apollonius from a 1537 edition of his works

Apolonio de Perge (griego: Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος, translit. Apollṓnios ho Pergaîos; latín: Apollonius Pergaeus; c. 240 BCE/BC – c. 190 BCE/BC) fue un geómetra y astrónomo de la Antigua Grecia conocido por su trabajo en secciones cónicas. Partiendo de las contribuciones de Euclides y Arquímedes sobre el tema, las llevó al estado anterior a la invención de la geometría analítica. Sus definiciones de los términos elipse, parábola e hipérbola son las que se usan en la actualidad. Gottfried Wilhelm Leibniz dijo: “Quien entiende a Arquímedes y Apolonio admirará menos los logros de los hombres más destacados de los últimos tiempos”.

Apolonio trabajó en muchos otros temas, incluida la astronomía. La mayor parte de este trabajo no ha sobrevivido, donde las excepciones suelen ser fragmentos a los que hacen referencia otros autores como Pappus of Alexandria. Su hipótesis de órbitas excéntricas para explicar el movimiento aparentemente aberrante de los planetas, comúnmente creída hasta la Edad Media, fue superada durante el Renacimiento. El cráter Apolonio en la Luna lleva su nombre en su honor.

Vida

Para un contribuyente tan importante en el campo de las matemáticas, queda poca información biográfica. El comentarista griego del siglo VI, Eutocio de Ascalón, sobre la obra principal de Apolonio, Cónicas, afirma:

Apollonius, el geométrico,... vino de Perga en Pamphylia en los tiempos de Ptolemy III Euergetes, así que registra Herakleios el biógrafo de Arquímedes....

Perga en ese momento era una ciudad helenizada de Panfilia en Anatolia. Las ruinas de la ciudad siguen en pie. Fue un centro de la cultura helenística. Euergetes, "benefactor", identifica a Ptolomeo III Euergetes, tercera dinastía griega de Egipto en la sucesión de los diadocos. Presumiblemente, sus "tiempos" son su regnum, 246-222/221 a. Los tiempos siempre son registrados por el gobernante o el magistrado oficiante, por lo que si Apolonio nació antes de 246, habría sido el "tiempo" del padre de Euergetes. La identidad de Herakleios es incierta. Los tiempos aproximados de Apolonio son, por lo tanto, ciertos, pero no se pueden dar fechas exactas. Los años específicos de nacimiento y muerte declarados por varios eruditos son solo especulativos.

Eutocio parece asociar a Perge con la dinastía ptolemaica de Egipto. Nunca bajo Egipto, Perge en el 246 a. C. perteneció al Imperio Seléucida, un estado diádoco independiente gobernado por la dinastía Seléucida. Durante la última mitad del siglo III a. C., Perge cambió de manos varias veces, estando alternativamente bajo los seléucidas y bajo los atálidas de Pérgamo al norte. Se podría esperar que alguien designado como "de Perge" viviera y trabajara allí. Por el contrario, si más tarde se identificó a Apolonio con Perge, no fue por su residencia. El material autobiográfico restante implica que vivió, estudió y escribió en Alejandría.

Una carta del matemático y astrónomo griego Hypsicles fue originalmente parte del suplemento tomado del Libro XIV de Euclides, parte de los trece libros de los Elementos de Euclides.

Basilides de Tiro, O Protarchus, cuando llegó a Alejandría y conoció a mi padre, pasó la mayor parte de su estancia con él debido al vínculo entre ellos debido a su interés común en las matemáticas. Y en una ocasión, al mirar en el tracto escrito por Apolonio acerca de la comparación del dodecaedro y icosahedro inscrito en una y la misma esfera, es decir, en la pregunta qué proporción tienen entre sí, llegaron a la conclusión de que el tratamiento de Apolonio de él en este libro no era correcto; en consecuencia, como entendí de mi padre, procedieron a enmendarlo y reescribirlo. Pero después me encontré con otro libro publicado por Apollonius, que contenía una demostración del asunto en cuestión, y me atraía mucho su investigación del problema. Ahora el libro publicado por Apolonio es accesible para todos; porque tiene una gran circulación en una forma que parece haber sido el resultado de una cuidadosa elaboración posterior. Por mi parte, decidí dedicar a usted lo que considero necesario a través del comentario, en parte porque usted será capaz, por razón de su competencia en todas las matemáticas y particularmente en la geometría, de pasar un juicio experto sobre lo que estoy a punto de escribir, y en parte porque, a causa de su intimidad con mi padre y su sentimiento amistoso hacia mí mismo, usted prestará un oído amable a mi desquisición. Pero es tiempo de haber hecho con el preámbulo y comenzar mi tratado mismo.

Los tiempos de Apolonio

Apolonio vivió hacia el final de un período histórico que ahora se denomina Período helenístico, caracterizado por la superposición de la cultura helénica sobre extensas regiones no helénicas en diversas profundidades, radical en algunos lugares, casi nada en otros. El cambio fue iniciado por Filipo II de Macedonia y su hijo, Alejandro Magno, quien, sometiendo a toda Grecia en una serie de impresionantes victorias, pasó a conquistar el Imperio Persa, que gobernó territorios desde Egipto hasta Pakistán. Felipe fue asesinado en el 336 a. Alejandro pasó a cumplir su plan al conquistar el vasto imperio persa.

La breve autobiografía de Apolonio

El material se encuentra en los "Prefacios" falsos sobrevivientes de los libros de sus Cónicas. Estas son cartas enviadas a amigos influyentes de Apolonio pidiéndoles que revisen el libro adjunto a la carta. El prefacio del Libro I, dirigido a un tal Eudemo, le recuerda que las cónicas fueron solicitadas inicialmente por un huésped de una casa en Alejandría, el geómetra Naucrates, por lo demás desconocido para la historia. Naucrates tenía el primer borrador de los ocho libros en sus manos al final de la visita. Apolonio se refiere a ellos como “sin una completa purgación” (ou diakatharantes en griego, ea non perpurgaremus en latín). Tenía la intención de verificar y enmendar los libros, publicando cada uno a medida que se completaba.

Al enterarse de este plan por el propio Apolonio en una visita posterior de este último a Pérgamo, Eudemo había insistido en que Apolonio le enviara cada libro antes de su publicación. Las circunstancias implican que en esta etapa Apolonio era un joven geómetra que buscaba la compañía y el consejo de profesionales consagrados. Pappus afirma que estuvo con los estudiantes de Euclides en Alejandría. Euclides se había ido hacía mucho tiempo. Esta estancia había sido, quizás, la etapa final de la educación de Apolonio. Eudemus fue quizás una figura importante en su educación anterior en Pérgamo; en todo caso, hay razones para creer que fue o llegó a ser el director de la Biblioteca y Centro de Investigación (Museo) de Pérgamo. Apolonio continúa afirmando que los primeros cuatro libros se ocuparon del desarrollo de elementos, mientras que los últimos cuatro se ocuparon de temas especiales.

Hay algo así como una brecha entre los Prefacios I y II. Apolonio ha enviado a su hijo, también Apolonio, a entregar II. Habla con más confianza, sugiriendo que Eudemus use el libro en grupos de estudio especiales, lo que implica que Eudemus era una figura importante, si no el director, en el centro de investigación. La investigación en dichas instituciones, que seguían el modelo del Liceo de Aristóteles en Atenas, debido a la residencia de Alejandro Magno y sus compañeros en su rama norte, formaba parte del esfuerzo educativo, al que se sumaban la biblioteca y el museo. Solo había una escuela de este tipo en el estado. Propiedad del rey, estaba bajo el patrocinio real, que era típicamente celoso, entusiasta y participativo. Los reyes compraron, pidieron, tomaron prestados y robaron los preciosos libros cuando y donde pudieron. Los libros eran del más alto valor, asequibles solo para clientes adinerados. Recolectarlos era una obligación real. Pergamon era conocida por su industria del pergamino, de donde "pergamino" se deriva de "Pergamon".

Apolonio recuerda a Filónides de Laodicea, un geómetra a quien presentó a Eudemo en Éfeso. Philonides se convirtió en Eudemus' alumno. Vivió principalmente en Siria durante la primera mitad del siglo II a. No se ha resuelto si la reunión indica que Apolonio ahora vivía en Éfeso. La comunidad intelectual del Mediterráneo era internacional en cultura. Los eruditos eran móviles en la búsqueda de empleo. Todos se comunicaban a través de algún tipo de servicio postal, público o privado. Las cartas sobrevivientes son abundantes. Se visitaron, leyeron los trabajos de los demás, se hicieron sugerencias, recomendaron estudiantes y acumularon una tradición denominada por algunos "la edad de oro de las matemáticas".

Falta el Prefacio III. Durante el intervalo, Eudemo murió, dice Apolonio en IV, apoyando nuevamente la opinión de que Eudemo era superior a Apolonio. Los prefacios IV–VII son más formales, omiten información personal y se concentran en resumir los libros. Todos están dirigidos a un misterioso Attalus, una elección hecha "porque", como Apolonio le escribe a Attalus, "de su sincero deseo de poseer mis obras". En ese momento, muchas personas en Pérgamo tenían ese deseo. Presumiblemente, este Attalus era alguien especial, ya que recibió copias de la obra maestra de Apolonio frescas de la mano del autor. Una teoría sólida es que Atalo es Atalo II Filadelfo, 220-138 a. C., general y defensor del reino de su hermano (Eumenes II), corregente en la enfermedad de este último en 160 a. C. y heredero de su trono y su viuda en el 158 a. Él y su hermano fueron grandes mecenas de las artes, expandiendo la biblioteca a la magnificencia internacional. Las fechas están en consonancia con las de Philonides, mientras que el motivo de Apolonio está en consonancia con Attalus' iniciativa de coleccionismo de libros.

Apolonio envió a Atalo los Prefacios V–VII. En el Prefacio VII describe el Libro VIII como “un apéndice”... “que me encargaré de remitirles lo antes posible”. No hay registro de que alguna vez se haya enviado o completado. Puede que falte en la historia porque nunca estuvo en la historia, ya que Apolonio murió antes de su finalización. Pappus de Alejandría, sin embargo, proporcionó lemas para él, por lo que al menos alguna edición debe haber estado alguna vez en circulación.

Obras documentadas de Apolonio

Apolonio fue un geómetra prolífico y produjo una gran cantidad de obras. Solo uno sobrevive, Conics. De sus ocho libros, solo los primeros cuatro tienen un reclamo creíble de descender de los textos originales de Apolonio. Los libros 5-7 solo están disponibles en una traducción árabe de Thābit ibn Qurra encargada por Banū Mūsā. El griego original se ha perdido. Se desconoce el estado del Libro VIII. Existía un primer borrador. No se sabe si el borrador final se produjo alguna vez. Una "reconstrucción" de él por Edmond Halley existe en latín. No hay forma de saber cuánto de él, si es que hay alguno, es verosímil a Apolonio. Halley también reconstruyó De Rationis Sectione y De Spatii Sectione. Más allá de estas obras, salvo un puñado de fragmentos, termina documentación que de alguna manera podría interpretarse como descendiente de Apolonio.

Los comentaristas describen o mencionan muchas de las obras perdidas. Además se encuentran ideas atribuidas a Apolonio por otros autores sin documentación. Creíbles o no, son rumores. Algunos autores identifican a Apolonio como el autor de ciertas ideas, por lo que llevan su nombre. Otros intentan expresar a Apolonio en notación o fraseología moderna con grados indeterminados de fidelidad.

Cónicas

El texto griego de Cónicas utiliza la disposición euclidiana de definiciones, figuras y sus partes; es decir, los "datos", seguidos de las proposiciones "a probar". Los libros I-VII presentan 387 proposiciones. Este tipo de disposición se puede ver en cualquier libro de texto de geometría moderno de la materia tradicional. Como en cualquier curso de matemáticas, el material es muy denso y su consideración, necesariamente lenta. Apolonio tenía un plan para cada libro, que se describe en parte en los Prefacios. Los encabezados, o indicadores del plan, son algo deficitarios, ya que Apolonio se basó más en el flujo lógico de los temas.

Se crea así un nicho intelectual para los comentaristas de todos los tiempos. Cada uno debe presentar a Apolonio de la manera más lúcida y relevante para su propio tiempo. Utilizan una variedad de métodos: anotación, extenso material preliminar, diferentes formatos, dibujos adicionales, reorganización superficial mediante la adición de capita, etc. Hay variaciones sutiles en la interpretación. El hablante de inglés moderno encuentra una falta de material en inglés debido a la preferencia por el neolatín por parte de los académicos ingleses. Gigantes intelectuales ingleses como Edmund Halley e Isaac Newton, los verdaderos descendientes de la tradición helenística de las matemáticas y la astronomía, solo pueden ser leídos e interpretados traducidos por poblaciones de habla inglesa que no están familiarizadas con las lenguas clásicas; es decir, la mayoría de ellos.

Las presentaciones escritas completamente en inglés nativo comienzan a fines del siglo XIX. De especial interés es el Tratado sobre secciones cónicas de Heath. Su extenso comentario preliminar incluye elementos como un léxico de términos geométricos apolíneos que dan el griego, los significados y el uso. Al comentar que “el volumen aparentemente portentoso del tratado ha disuadido a muchos de intentar conocerlo”, promete agregar encabezados, cambiar la organización superficialmente y aclarar el texto con notación moderna. Su obra, por lo tanto, hace referencia a dos sistemas de organización, el suyo propio y el de Apolonio, cuyas concordancias se dan entre paréntesis.

El trabajo de Heath es indispensable. Enseñó a principios del siglo XX, falleciendo en 1940, pero mientras tanto se desarrollaba otro punto de vista. St. John's College (Annapolis/Santa Fe), que había sido una escuela militar desde la época colonial, anterior a la Academia Naval de los Estados Unidos en Annapolis, Maryland, a la que está adyacente, en 1936 perdió su acreditación y estaba en al borde de la quiebra. Desesperada, la junta convocó a Stringfellow Barr y Scott Buchanan de la Universidad de Chicago, donde habían estado desarrollando un nuevo programa teórico para la enseñanza de las Clásicas. Aprovechando la oportunidad, en 1937 instituyeron el "nuevo programa" en St. John's, más tarde denominado el programa Great Books, un plan de estudios fijo que enseñaría las obras de colaboradores clave selectos de la cultura de la civilización occidental. En St. John's, se enseñó a Apolonio como él mismo, no como un complemento de la geometría analítica.

El "tutor" de Apolonio fue R. Catesby Taliaferro, un nuevo doctorado en 1937 de la Universidad de Virginia. Fue tutor hasta 1942 y luego durante un año en 1948, proporcionando las traducciones al inglés por sí mismo, traduciendo el Almagesto de Ptolomeo y las Cónicas de Apolonio. Estas traducciones se convirtieron en parte de la serie Great Books of the Western World de la Encyclopædia Britannica. Solo se incluyen los Libros I-III, con un apéndice para temas especiales. A diferencia de Heath, Taliaferro no intentó reorganizar a Apolonio, ni siquiera superficialmente, ni reescribirlo. Su traducción al inglés moderno sigue bastante de cerca al griego. Él usa la notación geométrica moderna hasta cierto punto.

Al mismo tiempo que el trabajo de Taliaferro, Ivor Thomas, catedrático de Oxford de la era de la Segunda Guerra Mundial, estaba mostrando un gran interés por las matemáticas griegas. Planeó un compendio de selecciones, que se materializó durante su servicio militar como oficial en el Royal Norfolk Regiment. Después de la guerra encontró un hogar en la Biblioteca Clásica Loeb, donde ocupa dos volúmenes, todos traducidos por Thomas, con el griego en un lado de la página y el inglés en el otro, como es habitual en la serie Loeb. Tomás' El trabajo ha servido como manual para la edad de oro de las matemáticas griegas. Para Apolonio solo incluye principalmente aquellas porciones del Libro I que definen las secciones.

Heath, Taliaferro y Thomas satisficieron la demanda pública de Apolonio traducido durante la mayor parte del siglo XX. El tema avanza. Las traducciones y los estudios más recientes incorporan información y puntos de vista nuevos y examinan los antiguos.

Libro I

Las secciones cónicas, o figuras bidimensionales formadas por la intersección de un plano con un cono en ángulos diferentes. La teoría de estas figuras fue desarrollada extensamente por los antiguos matemáticos griegos, sobreviviendo especialmente en obras como las de Apolonio de Perga. Las secciones cónicas impregnan las matemáticas modernas.

El Libro I presenta 58 proposiciones. Su contenido más destacado son todas las definiciones básicas relativas a conos y secciones cónicas. Estas definiciones no son exactamente iguales a las modernas de las mismas palabras. Etimológicamente, las palabras modernas derivan de las antiguas, pero el étimo a menudo difiere en significado de su reflejo.

Una superficie cónica se genera mediante un segmento de línea rotado alrededor de un punto de bisectriz de manera que los puntos finales trazan círculos, cada uno en su propio plano. Un cono, una rama de la doble superficie cónica, es la superficie con el punto (vértice o vértice), el círculo (base) y el eje, una línea que une el vértice y el centro de la base.

Una "sección" (latín sectio, tomo griego) es un "corte" imaginario de un cono por un plano.

• Proposición I.3: “Si un cono es cortado por un plano a través del vértice, la sección es un triángulo.” En el caso de un cono doble, la sección es dos triángulos tal que los ángulos en el vértice son ángulos verticales.
• La Proposición I.4 afirma que secciones de un cono paralelo a la base son círculos con centros en el eje.
• Proposición I.13 define el elipse, que se concibe como el corte de un cono único por un plano inclinado al plano de la base e intersectiendo el último en una línea perpendicular al diámetro extendido de la base fuera del cono (no se muestra). El ángulo del plano inclinado debe ser mayor que cero, o la sección sería un círculo. Debe ser inferior al ángulo base correspondiente del triángulo axial, en el que la figura se convierte en parabola.
• La propuesta I.11 define una parabola. Su plano es paralelo a un lado en la superficie cónica del triángulo axial.
• Proposición I.12 define una hiperbola. Su plano es paralelo al eje. Cortó ambos conos del par, adquiriendo así dos ramas distintas (sólo se muestra uno).

Los geómetras griegos estaban interesados en diseñar figuras seleccionadas de su inventario en diversas aplicaciones de la ingeniería y la arquitectura, como estaban acostumbrados a hacer los grandes inventores, como Arquímedes. Existía entonces y existe ahora una demanda de secciones cónicas. El desarrollo de la caracterización matemática había movido la geometría en la dirección del álgebra geométrica griega, que presenta visualmente fundamentos algebraicos como la asignación de valores a segmentos de línea como variables. Utilizaron un sistema de coordenadas intermedio entre una cuadrícula de medidas y el sistema de coordenadas cartesianas. Las teorías de proporción y aplicación de áreas permitieron el desarrollo de ecuaciones visuales. (Ver más abajo en Métodos de Apolonio).

La figura animada representa el método de "aplicación de áreas" para expresar la relación matemática que caracteriza una parabola. La esquina superior izquierda del rectángulo cambiante en el lado izquierdo y la esquina superior derecha en el lado derecho es "cualquier punto en la sección". La animación lo tiene siguiendo la sección. La plaza naranja en la parte superior es "la plaza en la distancia desde el punto al diámetro; es decir, una plaza del ordenado. En Apolonio, la orientación es horizontal en lugar de la vertical mostrada aquí. Aquí está el cuadrado del abscissa. Independientemente de la orientación, la ecuación es la misma, los nombres cambiaron. El rectángulo azul en el exterior es el rectángulo en la otra coordenadas y la distancia p. En álgebra, x² = py, una forma de la ecuación para una parabola. Si el rectángulo exterior excede el py en la zona, la sección debe ser una hiperbola; si es menos, una elipse.

La “aplicación de áreas” pregunta implícitamente, dada una zona y un segmento de línea, ¿aplica esta área; es decir, es igual a la plaza en el segmento? Si es así, se ha establecido una aplicabilidad (parabola). Apolonio siguió a Euclid preguntando si un rectángulo en el abscissa de cualquier punto en la sección se aplica a la plaza del ordenado. Si lo hace, su palabra ecuación es el equivalente de Sí.2=kx{textstyle y^{2}{=}kx} que es una forma moderna de la ecuación para una parabola. El rectángulo tiene lados k{displaystyle k} y x{displaystyle x}. Fue él quien en consecuencia nombró la figura, parabola, “aplicación. ”

El caso “sin aplicabilidad” se divide aún más en dos posibilidades. Dada una función, f()x){textstyle f(x)}, tal que, en el caso de aplicabilidad, Sí.2=g()x){textstyle y^{2}{=}g(x)}, en el caso de no aplicabilidad, tampoco g(x)}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Sí.2■g()x){textstyle y^{2} título(x)}g(x)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268ebe4c1526c0488847516a44823a907fb654f9" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.568ex; height:3.009ex;"/> o <math alttext="{textstyle y^{2}Sí.2.g()x){textstyle y^{2}cantado(x)}<img alt="{textstyle y^{2}. En la primera, g()x){textstyle g(x)} caídas cortas Sí.2{textstyle y^{2} por una cantidad llamada la elipsis, "deficit". En este último, g()x){textstyle g(x)} superpuestas por una cantidad llamada el hiperbole, "superficie".

La aplicabilidad podría lograrse añadiendo el déficit, Sí.2=f()x)=g()x)+d{textstyle y^{2}{=}f(x){=}g(x)+d}, o restar el surfeit, g()x)− − s{textstyle g(x)-s}. La cifra compensatoria por un déficit fue nombrada un elipse; para un surfeit, una hiperbola. Los términos de la ecuación moderna dependen de la traducción y rotación de la figura del origen, pero la ecuación general para una elipse,

Ax² +² C

se puede colocar en el formulario

Sí.2=SilencioABx2Silencio+CB{displaystyle - ¿Qué? [A}{B}x^{2}derecho a la muerte {C} {B}}

donde C/B es la d, mientras que una ecuación para la hipérbola,

Ax² - Por² C

se convierte

Sí.2=SilencioABx2Silencio− − CB{displaystyle - ¿Qué? [A}{B}x^{2}derecho a la vida-{frac {C} {B}}

donde C/B es la s.

Libro II

El Libro II contiene 53 proposiciones. Apolonio dice que pretendía cubrir "las propiedades que tienen que ver con los diámetros y ejes y también las asíntotas y otras cosas... para los límites de posibilidad." Su definición de "diámetro" es diferente del tradicional, ya que considera necesario remitir al destinatario de la carta a su obra para obtener una definición. Los elementos mencionados son los que especifican la forma y generación de las figuras. Las tangentes se tratan al final del libro.

Libro III

El Libro III contiene 56 proposiciones. Apolonio reclama el descubrimiento original de los teoremas "de uso para la construcción de lugares geométricos sólidos... el lugar geométrico de tres y cuatro líneas..." El lugar geométrico de una sección cónica es la sección. El problema del lugar geométrico de tres líneas (como se establece en el apéndice del Libro III de Taliafero) encuentra "el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a tres líneas rectas fijas dadas... son tales que el cuadrado de una de las distancias está siempre en una proporción constante al rectángulo contenido por las otras dos distancias." Esta es la prueba de la aplicación de áreas que dan como resultado la parábola. El problema de las cuatro líneas da como resultado la elipse y la hipérbola. La geometría analítica deriva los mismos lugares geométricos de criterios más simples respaldados por el álgebra, en lugar de la geometría, por lo que Descartes fue muy elogiado. Reemplaza a Apolonio en sus métodos.

Libro IV

El Libro IV contiene 57 proposiciones. El primero enviado a Atalo, en lugar de a Eudemo, representa así su pensamiento geométrico más maduro. El tema es bastante especializado: "el mayor número de puntos en los que las secciones de un cono pueden encontrarse entre sí, o encontrarse con la circunferencia de un círculo,..." Sin embargo, habla con entusiasmo, calificándolos de "de gran utilidad" en la resolución de problemas (Prefacio 4).

Libro V

El Libro V, conocido solo a través de la traducción del árabe, contiene 77 proposiciones, la mayor cantidad de cualquier libro. Cubren la elipse (50 proposiciones), la parábola (22) y la hipérbola (28). Estos no son explícitamente el tema, que en los Prefacios I y V Apolonio establece que son líneas máximas y mínimas. Estos términos no se explican. A diferencia del Libro I, el Libro V no contiene definiciones ni explicaciones.

La ambigüedad ha servido como imán para los exegetas de Apolonio, quienes deben interpretar sin un conocimiento seguro del significado de los términos principales del libro. Hasta hace poco prevalecía la opinión de Heath: las líneas deben tratarse como normales a las secciones. Una normal en este caso es la perpendicular a una curva en un punto tangente a veces llamado pie. Si se traza una sección de acuerdo con el sistema de coordenadas de Apolonio (ver más abajo en Métodos de Apolonio), con el diámetro (traducido por Heath como el eje) en el eje x y el vértice en el origen a la izquierda, la fraseología de la proposiciones indica que los mínimos/máximos se encuentran entre la sección y el eje. Heath llega a su punto de vista por la consideración de un punto fijo p en la sección que sirve tanto como punto tangente como un extremo de la línea. La distancia mínima entre p y algún punto g del eje debe ser entonces la normal desde p.

En las matemáticas modernas, las normales a las curvas son conocidas por ser la ubicación del centro de curvatura de esa pequeña parte de la curva ubicada alrededor del pie. La distancia del pie al centro es el radio de curvatura. Este último es el radio de un círculo, pero para otras curvas que no sean circulares, el arco pequeño se puede aproximar mediante un arco circular. La curvatura de las curvas no circulares; por ejemplo, las secciones cónicas, deben cambiar de sección. Un mapa del centro de curvatura; es decir, su lugar, a medida que el pie se mueve sobre la sección, se denomina evoluta de la sección. Tal figura, el borde de las posiciones sucesivas de una línea, se denomina hoy envolvente. Heath creía que en el Libro V estamos viendo a Apolonio establecer el fundamento lógico de una teoría de normales, evolutas y envolventes.

La interpretación de Heath fue aceptada como la interpretación autorizada del Libro V durante todo el siglo XX, pero el cambio de siglo trajo consigo un cambio de perspectiva. En 2001, los eruditos de Apolonio Fried & Unguru, otorgando el debido respeto a otros capítulos de Heath, se opuso a la historicidad del análisis de Heath del Libro V, afirmando que "reelabora el original para hacerlo más agradable a un matemático moderno... este es el tipo de cosa que hace que el trabajo de Heath sea de dudoso valor para el historiador, revelando más de la mente de Heath que la de Apolonio”. Algunos de sus argumentos se resumen a continuación. No se menciona que los máximos/mínimos sean per se normales ni en los prefacios ni en los libros propiamente dichos. De la selección de Heath de 50 proposiciones que se dice que cubren las normales, solo 7, Libro V: 27–33, establecen o implican que las líneas de máximo/mínimo son perpendiculares a las tangentes. Estos 7 Fried los clasifica como aislados, sin relación con las proposiciones principales del libro. De ninguna manera implican que los máximos/mínimos en general sean normales. En su extensa investigación de las otras 43 proposiciones, Fried demuestra que muchas no pueden serlo.

Fried y Unguru contradicen al retratar a Apolonio como una continuación del pasado en lugar de un presagio del futuro. El primero es un estudio filológico completo de todas las referencias a líneas mínimas y máximas, que descubre una fraseología estándar. Hay tres grupos de 20-25 proposiciones cada uno. El primer grupo contiene la frase “de un punto del eje a la sección”, que es exactamente lo contrario de un hipotético “de un punto de la sección al eje”. Lo primero no tiene por qué ser normal a nada, aunque podría serlo. Dado un punto fijo sobre el eje, de todas las rectas que lo conectan con todos los puntos de la sección, una será la más larga (máxima) y la otra la más corta (mínima). Otras frases son “en una sección”, “extraído de una sección”, “cortado entre la sección y su eje”, cortado por el eje”, todas refiriéndose a la misma imagen.

En opinión de Fried y Unguru, el tema del Libro V es exactamente lo que Apolonio dice que es, líneas máximas y mínimas. Estas no son palabras clave para conceptos futuros, sino que se refieren a conceptos antiguos que se estaban usando en ese momento. Los autores citan a Euclides, Elementos, Libro III, que se ocupa de los círculos y de las distancias máximas y mínimas de los puntos interiores a la circunferencia. Sin admitir ninguna generalidad específica, utilizan términos como "me gusta" o "el análogo de". Son conocidos por innovar el término "neusis-like". Una construcción neusis era un método para ajustar un segmento dado entre dos curvas dadas. Dado un punto P y una regla con el segmento marcado en él. se gira la regla alrededor de P cortando las dos curvas hasta que el segmento quede encajado entre ellas. En el Libro V, P es el punto sobre el eje. Al girar una regla a su alrededor, se descubren las distancias a la sección, a partir de las cuales se pueden discernir el mínimo y el máximo. La técnica no se aplica a la situación, por lo que no es neusis. Los autores usan neusis-like, viendo una similitud arquetípica con el método antiguo.

Libro VI

El Libro VI, conocido solo a través de la traducción del árabe, contiene 33 proposiciones, la menor cantidad de cualquier libro. También tiene grandes lagunas, o lagunas en el texto, debido a daños o corrupción en los textos anteriores.

El tema es relativamente claro y no controversial. El Prefacio 1 establece que se trata de “secciones iguales y similares de conos”. Apolonio extiende los conceptos de congruencia y similitud presentados por Euclides para figuras más elementales, como triángulos, cuadriláteros, a secciones cónicas. El prefacio 6 menciona "secciones y segmentos" que son "iguales y desiguales", así como "similares y diferentes", y agrega información sobre la construcción.

El Libro VI presenta un regreso a las definiciones básicas al principio del libro. La “igualdad” se determina mediante una aplicación de áreas. Si una figura; es decir, una sección o un segmento, se “aplica” a otro (Halley's si applicari possit altera super alteram), son “iguales” (Halley's aequales) si coinciden y ninguna línea de uno cruza ninguna línea del otro. Este es obviamente un estándar de congruencia siguiendo a Euclides, Libro I, Nociones Comunes, 4: “y las cosas que coinciden (epharmazanta) entre sí son iguales (isa)”. La coincidencia y la igualdad se superponen, pero no son lo mismo: la aplicación de las áreas utilizadas para definir las secciones depende de la igualdad cuantitativa de las áreas pero pueden pertenecer a figuras diferentes.

Entre las instancias que son iguales (homos), siendo iguales entre sí, y las que son diferentes o desiguales, hay figuras que son "iguales" (hom-oios) o similares. No son del todo iguales ni diferentes, pero comparten aspectos que son iguales y no comparten aspectos que son diferentes. Intuitivamente, los geómetras tenían en mente la escala; por ejemplo, un mapa es similar a una región topográfica. Por lo tanto, las figuras podrían tener versiones más grandes o más pequeñas de sí mismas.

Los aspectos que son iguales en figuras semejantes dependen de la figura. El libro 6 de los Elementos de Euclides presenta triángulos semejantes a los que tienen los mismos ángulos correspondientes. Por lo tanto, un triángulo puede tener miniaturas tan pequeñas como desee, o versiones gigantes, y seguir siendo “el mismo” triángulo que el original.

En Apolonio' definiciones al comienzo del Libro VI, los conos rectos similares tienen triángulos axiales similares. Secciones similares y segmentos de secciones se encuentran ante todo en conos similares. Además, por cada abscisa de uno debe existir una abscisa en el otro a la escala deseada. Finalmente, la abscisa y la ordenada de uno deben coincidir con las coordenadas de la misma relación entre ordenada y abscisa que el otro. El efecto total es como si la sección o el segmento se movieran arriba y abajo del cono para lograr una escala diferente.

Libro VII

El Libro VII, también una traducción del árabe, contiene 51 Proposiciones. Estos son los últimos que Heath considera en su edición de 1896. En el Prefacio I, Apolonio no los menciona, lo que implica que, en el momento del primer borrador, es posible que no existieran en una forma suficientemente coherente para describirlos. Apollonius usa un lenguaje oscuro, que son "peri dioristikon theorematon", que Halley tradujo como "de theorematis ad determineem pertinentibus", y Heath como "teoremas que involucran determinaciones de límites". Este es el lenguaje de la definición, pero no hay definiciones próximas. Si la referencia podría ser a un tipo específico de definición es una consideración, pero hasta la fecha no se ha propuesto nada creíble. El tema del Libro VII, completado hacia el final de la vida y carrera de Apolonio, se establece en el Prefacio VII como diámetros y "las figuras descritas sobre ellos", que deben incluir diámetros conjugados, ya que depende en gran medida de ellos. No se menciona de qué manera podría aplicarse el término “límites” o “determinaciones”.

Los diámetros y sus conjugados se definen en el Libro I (Definiciones 4–6). No todos los diámetros tienen un conjugado. La topografía de un diámetro (del griego diametros) requiere una figura curva regular. Las áreas de forma irregular, abordadas en los tiempos modernos, no están en el plan de juego antiguo. Apolonio tiene en mente, por supuesto, las secciones cónicas, que describe en un lenguaje a menudo enrevesado: "una curva en el mismo plano" es un círculo, una elipse o una parábola, mientras que "dos curvas en el mismo plano" es una hipérbola. Una cuerda es una línea recta cuyos dos extremos están sobre la figura; es decir, corta la figura en dos lugares. Si se impone una cuadrícula de cuerdas paralelas a la figura, entonces el diámetro se define como la línea que biseca todas las cuerdas y llega a la curva misma en un punto llamado vértice. No hay ningún requisito para una figura cerrada; por ejemplo, una parábola tiene un diámetro.

Una parábola tiene simetría en una dimensión. Si lo imagina doblado en su único diámetro, las dos mitades son congruentes o encajan una sobre la otra. Lo mismo puede decirse de una rama de una hipérbola. Sin embargo, los diámetros conjugados (del griego suzugeis diametroi, donde suzugeis significa "unidos") son simétricos en dos dimensiones. Las figuras a las que se aplican requieren también un centro areal (del griego kentron), hoy llamado baricentro, que sirve como centro de simetría en dos direcciones. Estas figuras son el círculo, la elipse y la hipérbola de dos ramas. Solo hay un centroide, que no debe confundirse con los focos. Un diámetro es una cuerda que pasa por el baricentro, que siempre lo biseca.

Para el círculo y la elipse, superponga una cuadrícula de cuerdas paralelas sobre la figura de modo que la más larga sea un diámetro y las otras sean sucesivamente más cortas hasta que la última no sea una cuerda, sino un punto tangente. La tangente debe ser paralela al diámetro. Un diámetro conjugado biseca las cuerdas, colocándose entre el centroide y el punto tangente. Además, ambos diámetros son conjugados entre sí, denominándose par conjugado. Es obvio que cualquier par conjugado de un círculo son perpendiculares entre sí, pero en una elipse, sólo lo son los ejes mayor y menor, destruyendo el alargamiento la perpendicularidad en todos los demás casos.

Se definen conjugados para las dos ramas de una hipérbola resultantes del corte de un doble cono por un solo plano. Se llaman ramas conjugadas. Tienen el mismo diámetro. Su centroide biseca el segmento entre los vértices. Hay espacio para una línea más parecida a un diámetro: deje que una cuadrícula de líneas paralelas al diámetro corte ambas ramas de la hipérbola. Estas líneas son como cuerdas excepto que no terminan en la misma curva continua. Se puede dibujar un diámetro conjugado desde el centroide para bisecar las líneas similares a cuerdas.

Estos conceptos, principalmente del Libro I, nos permiten comenzar con las 51 proposiciones del Libro VII que definen en detalle las relaciones entre secciones, diámetros y diámetros conjugados. Al igual que con algunos de los otros temas especializados de Apolonio, su utilidad hoy en día en comparación con la Geometría Analítica está por verse, aunque afirma en el Prefacio VII que son útiles e innovadores; es decir, él toma el crédito por ellos.

Obras perdidas y reconstruidas descritas por Pappus

Pappus menciona otros tratados de Apolonio:

1. ⋅γοyou ⋅ποτομё, De Rationis Sectione ("Cucking of a Ratio")
2. ⋅ίρίο you ⋅οτομё, De Spatii Sectione ("Cucking of an Area")
3. Διιιρσμ De Sectione Determinata ("Sección Determinada")
4. πααφαί, De Tactionibus ("Tangencies")
5. ningun acercamientoσις, De Inclinationibus ("Inclinations")
6. فالι эπίπεδοι, De Locis Planis ("Plane Loci").

Cada uno de estos fue dividido en dos libros, y—con los Data, los Porisms, y Surface-Loci de Euclid y el Las cónicas de Apolonio estaban, según Pappus, incluidas en el cuerpo del análisis antiguo. A continuación se describen las seis obras mencionadas anteriormente.

De Rationis Sectione

De Rationis Sectione buscó resolver un problema simple: dadas dos rectas y un punto en cada una, trazar a través de un tercer punto dado una recta que corte las dos rectas fijas de modo que las partes interceptadas entre los puntos dados en ellos y los puntos de intersección con esta tercera línea pueden tener una razón dada.

De Spatii Sectione

De Spatii Sectione discutió un problema similar que requería que el rectángulo contenido por las dos intersecciones fuera igual a un rectángulo dado.

A finales del siglo XVII, Edward Bernard descubrió una versión de De Rationis Sectione en la Biblioteca Bodleian. Aunque comenzó una traducción, fue Halley quien la terminó y la incluyó en un volumen de 1706 con su restauración de De Spatii Sectione.

De Sección Determinada

De Sectione Determinata trata problemas de una manera que puede llamarse geometría analítica de una dimensión; con la cuestión de encontrar puntos en una recta que estuvieran en proporción a los demás. Los problemas específicos son: Dados dos, tres o cuatro puntos en una línea recta, encontrar otro punto en ella tal que sus distancias a los puntos dados satisfagan la condición de que el cuadrado en uno o el rectángulo contenido en dos tenga una razón dada ya sea (1) al cuadrado de la restante o al rectángulo contenido por las dos restantes o (2) al rectángulo contenido por la restante y otra recta dada. Varios han intentado restaurar el texto para descubrir la solución de Apolonio, entre ellos Snellius (Willebrord Snell, Leiden, 1698); Alexander Anderson de Aberdeen, en el suplemento de su Apollonius Redivivus (París, 1612); y Robert Simson en su Opera quaedam reliqua (Glasgow, 1776), con diferencia el mejor intento.

De Tactionibus

De Tactionibus abarcó el siguiente problema general: Dadas tres cosas (puntos, líneas rectas o círculos) en posición, describa un círculo que pase por los puntos dados y toque las líneas rectas o círculos dados. El caso más difícil e históricamente interesante surge cuando las tres cosas dadas son círculos. En el siglo XVI, Vieta presentó este problema (a veces conocido como el problema apolíneo) a Adrianus Romanus, quien lo resolvió con una hipérbola. Entonces Vieta propuso una solución más simple, que eventualmente lo llevó a restaurar la totalidad del tratado de Apolonio en la pequeña obra Apollonius Gallus (París, 1600). La historia del problema se explora con fascinante detalle en el prefacio del breve Apollonii Pergaei quae supersunt, ac maxime Lemmata Pappi in hos Libras, cum Observationibus, &c de J. W. Camerer (Gothae, 1795, 8vo).

De Inclinationibus

El objeto de De Inclinationibus era demostrar cómo una línea recta de una longitud dada, que tiende hacia un punto dado, podía insertarse entre dos líneas dadas (rectas o circulares). Aunque Marin Getaldić y Hugo d'Omerique (Análisis Geométrico, Cádiz, 1698) intentaron restauraciones, la mejor es la de Samuel Horsley (1770).

De Locis Planis

De Locis Planis es una colección de proposiciones relacionadas con loci que son líneas rectas o círculos. Dado que Pappus da detalles algo completos de sus proposiciones, este texto también ha visto esfuerzos para restaurarlo, no solo por parte de P. Fermat (Oeuvres, i., 1891, pp. 3–51) y F. Schooten (Leiden, 1656) pero también, con mayor éxito, por R. Simson (Glasgow, 1749).

Obras perdidas mencionadas por otros escritores antiguos

Los escritores antiguos se refieren a otras obras de Apolonio que ya no existen:

1. ■ En el Burning-Glass, un tratado probablemente explorando las propiedades focales de la parabola
2. - ¿Qué? En el Helix Cilíndrico (mentioned by Proclus)
3. Comparación del dodecaedro y el icosahedro inscrito en la misma esfera
4. Ἡ κθόλοyou απραγματεία, una obra sobre los principios generales de las matemáticas que tal vez incluía las críticas y sugerencias de Apolonio para la mejora de Euclides Elementos
5. Ὠκyouτόικον ("Quick Bringing-to-birth"), en el que, según Eutocius, Apolonio demostró cómo encontrar límites más cercanos para el valor de π que los de Arquímedes, que calcularon 3+1.7 como límite superior y 3+10.71 como límite inferior
6. un trabajo aritmético (ver Pappus) en un sistema para expresar grandes números en el lenguaje más cotidiano que el de Arquímedes La arena Reckoner y para multiplicar estos grandes números
7. una gran extensión de la teoría de los irracionales expuestos en Euclides, Libro x., de binomial a multinomial y de ordenado a sin autorización irracionales (ver extractos de Pappus' coma. en Eucl. x., preservados en árabe y publicados por Woepke, 1856).

Primeras ediciones impresas

Páginas de la traducción al árabe del siglo IX Conics

1654 edición de Conica por Apollonius editado por Francesco Maurolico

Las primeras ediciones impresas comenzaron en su mayor parte en el siglo XVI. En ese momento, se esperaba que los libros académicos estuvieran en latín, el neolatino de hoy. Como casi ningún manuscrito estaba en latín, los editores de las primeras obras impresas tradujeron del griego o árabe al latín. Por lo general, el griego y el latín se yuxtaponían, pero solo el griego es original, o el editor lo restauró a lo que pensó que era original. Los aparatos críticos estaban en latín. Los comentarios antiguos, sin embargo, estaban en griego antiguo o medieval. Recién en los siglos XVIII y XIX comenzaron a aparecer ediciones en lenguas modernas. A continuación se proporciona una lista representativa de las primeras ediciones impresas. Los originales de estas impresiones son raros y caros. Para ediciones modernas en idiomas modernos, consulte las referencias.

1. Pergaeus, Apollonius (1566). Conicorum libri quattuor: una cum Pappi Alexandrini lemmatibus, et commentariis Eutocii Ascalonitae. Sereni Antinensis philosophi libri duo... quae omnia nuper Federicus Commandinus Vrbinas mendis quampluris expurgata e Graeco conuertit, & commentariis illustrauit (en griego antiguo y latín). Bononiae: Ex officina Alexandri Benatii. Una presentación de los primeros cuatro libros de Conics en griego por Fredericus Commandinus con su propia traducción al latín y los comentarios de Pappus de Alexandria, Eutocius de Ascalon y Serenus de Antinouplis.
2. Apollonius; Barrow, I (1675). Apollonii conica: methodo nova illustrata, " succinctè demonstrata (en latín). Excudebat Guil. Godbid, voeneunt apud Robertum Scott, en vico Little Britain. Traducción de Barrow del griego antiguo a Neo-Latin de los primeros cuatro libros Conics. La copia enlazada aquí, ubicada en la Biblioteca Pública de Boston, pertenecía una vez a John Adams.
3. Apollonius; Pappus; Halley, E. (1706). Apollonii Pergaei de sectione rationis libri duo: Ex Arabico ms. Latine versi. Accedunt ejusdem de sectione spatii libri duo restituti (in Latin). Oxonii. Una presentación de dos obras perdidas pero reconstruidas de Apolonio. De Sectione Rationis viene de un manuscrito inédito en árabe en la Biblioteca Bodleian de Oxford traducido originalmente parcialmente por Edward Bernard pero interrumpido por su muerte. Se le dio a Edmond Halley, profesor, astrónomo, matemático y explorador, después de quien el Cometa de Halley fue nombrado más tarde. Incapaz de descifrar el texto corrupto, lo abandonó. Posteriormente, David Gregory (matemático) restauró el árabe para Henry Aldrich, quien lo dio de nuevo a Halley. Aprender árabe, Halley creó De Sectione Rationis y como un emolumento añadido para el lector creó una traducción Neo-Latin de una versión de De Sectione Spatii reconstruido de Pappus Comentario sobre él. Las dos obras de Neo-Latin y el antiguo comentario griego de Pappus se unieron en el único volumen de 1706. El autor del manuscrito árabe no es conocido. Basado en una declaración que fue escrita bajo los "auspices" de Al-Ma'mun, Almamon latino, astrónomo y califa de Bagdad en 825, Halley lo da a 820 en su "Praefatio ad Lectorem".
4. Apolonio; Alexandrinus Pappus; Halley, Edmond; Eutocius; Serenus (1710). Apollonii Pergaei Conicorum libri octo, et Sereni Antissensis De sectione cylindri & coni libri duo (PDF) (en griego latino y antiguo). Oxoniae: e Theatro Sheldoniano. Alentado por el éxito de su traducción del texto árabe de David Gregory de Sectione rationis, publicado en 1706, Halley continuó para restaurar y traducir en todo el Apolonio latino elementa conica. Los libros I-IV nunca se habían perdido. Aparecen con el griego en una columna y el latín de Halley en una columna paralela. Los libros V-VI provienen de un descubrimiento de una traducción previamente no apreciada del griego al árabe que había sido comprado por el erudito anticuario Jacobus Golius en Alepo en 1626. A su muerte en 1696 pasó por una cadena de compras y legados a la Biblioteca Bodleian (originalmente como MS Marsh 607, de 1070). La traducción, datada mucho antes, viene de la rama de la escuela de Almamon titulada Banū Mūsā, “hijos de Musa”, un grupo de tres hermanos, que vivió en el siglo IX. La traducción fue realizada por escritores trabajando para ellos. En la obra de Halley, sólo se da la traducción latina de Libros V-VII. Esta es su primera publicación impresa. El libro VIII se perdió antes de que los eruditos de Almamon pudieran tomar una mano para preservarlo. La concocción de Halley, basada en las expectativas desarrolladas en el Libro VII, y los lemas de Pappus, se da en latín. El comentario de Eutocius, los lemas de Pappus y dos tratados relacionados por Serenus se incluyen como guía para la interpretación de la Conics.

Ideas atribuidas a Apolonio por otros escritores

Apolonio' contribución a la astronomía

Se le atribuye la equivalencia de dos descripciones de movimientos planetarios, una utilizando excéntricas y otra deferentes y epiciclos. Ptolomeo describe esta equivalencia en el Almagest.

Métodos de Apolonio

Según Heath, "Los métodos de Apolonio" no eran suyos y no eran personales. Cualquiera que sea la influencia que tuvo sobre los teóricos posteriores fue la de la geometría, no la de su propia innovación técnica. Heath dice,

Como preliminar a la consideración en detalle de los métodos empleados en el Conics, se puede decir generalmente que siguen constantemente los principios aceptados de la investigación geométrica que encontraron su expresión definitiva en los Elementos de Euclides.

Con respecto a los modernos que hablan de los geómetras de la edad de oro, el término "método" significa específicamente la forma visual y reconstructiva en la que el geómetra, sin saberlo, produce el mismo resultado que un método algebraico que se usa en la actualidad. Como ejemplo simple, el álgebra encuentra el área de un cuadrado elevando al cuadrado su lado. El método geométrico para lograr el mismo resultado es construir un cuadrado visual. Los métodos geométricos de la edad de oro podían producir la mayoría de los resultados del álgebra elemental.

Álgebra geométrica

Forma visual del teorema pitagórico como los antiguos griegos lo vieron. El área de la plaza azul es la suma de las áreas de las otras dos plazas.

Heath continúa usando el término álgebra geométrica para los métodos de toda la edad de oro. El término "no inapropiadamente" se llama así, dice. Hoy el término ha sido resucitado para su uso en otros sentidos (ver bajo álgebra geométrica). Heath lo estaba usando tal como lo había definido Henry Burchard Fine en 1890 o antes. Fine lo aplica a La Géométrie de René Descartes, la primera obra completa de geometría analítica. Estableciendo como precondición que “dos álgebras sean formalmente idénticas cuyas operaciones fundamentales sean formalmente las mismas”, Fine dice que la obra de Descartes “no es... mera álgebra numérica, sino lo que a falta de un nombre mejor podría llamarse álgebra de segmentos de linea. Su simbolismo es el mismo que el del álgebra numérica;...”

Por ejemplo, en Apolonio, un segmento de línea AB (la línea entre el punto A y el punto B) también es la longitud numérica del segmento. Puede tener cualquier longitud. AB, por lo tanto, se convierte en lo mismo que una variable algebraica, como x (la incógnita), a la que se le puede asignar cualquier valor; por ejemplo, x=3.

Las variables se definen en Apolonio mediante expresiones tales como "sea AB la distancia desde cualquier punto de la sección hasta el diámetro", una práctica que continúa en el álgebra en la actualidad. Todo estudiante de álgebra básica debe aprender a convertir "problemas de palabras" en variables y ecuaciones algebraicas, a las que se aplican las reglas del álgebra para resolver x. Apolonio no tenía tales reglas. Sus soluciones son geométricas.

Las relaciones que no se prestaban fácilmente a soluciones pictóricas estaban fuera de su alcance; sin embargo, su repertorio de soluciones pictóricas provino de un conjunto de soluciones geométricas complejas generalmente desconocidas (o requeridas) en la actualidad. Una excepción bien conocida es el indispensable Teorema de Pitágoras, incluso ahora representado por un triángulo rectángulo con cuadrados en sus lados que ilustran una expresión como a² + b² = c². Los geómetras griegos llamaban a esos términos “el cuadrado sobre AB”, etc. De manera similar, el área de un rectángulo formado por AB y CD era "el rectángulo sobre AB y CD".

Estos conceptos dieron a los geómetras griegos acceso algebraico a funciones lineales y funciones cuadráticas, estas últimas son las secciones cónicas. Contienen potencias de 1 o 2 respectivamente. A Apolonio no le gustaban mucho los cubos (presentados en geometría sólida), aunque un cono es un sólido. Su interés estaba en las secciones cónicas, que son figuras planas. Las potencias de 4 y más estaban más allá de la visualización y requerían un grado de abstracción no disponible en geometría, pero al alcance de la mano en álgebra.

El sistema de coordenadas de Apolonio

Sistema de coordenadas cartesiano, estándar en geometría analítica

Toda medida ordinaria de longitud en unidades públicas, como pulgadas, utilizando dispositivos públicos estándar, como una regla, implica el reconocimiento público de una cuadrícula cartesiana; es decir, una superficie dividida en unidades cuadradas, como una pulgada cuadrada, y un espacio dividido en unidades cúbicas, como una pulgada cúbica. Las unidades de medida de la antigua Grecia habían proporcionado esa cuadrícula a los matemáticos griegos desde la Edad del Bronce. Antes de Apolonio, Menaechmus y Arquímedes ya habían comenzado a ubicar sus figuras en una ventana implícita de la cuadrícula común al referirse a distancias concebidas para medirse desde una línea vertical izquierda que marca una medida baja y una línea horizontal inferior que marca una medida baja. siendo las direcciones rectilíneas, o perpendiculares entre sí. Estos bordes de la ventana se convierten, en el sistema de coordenadas cartesiano, en los ejes. Uno especifica las distancias rectilíneas de cualquier punto desde los ejes como las coordenadas. Los antiguos griegos no tenían esa convención. Simplemente se referían a distancias.

Apolonio tiene una ventana estándar en la que coloca sus figuras. La medida vertical es de una línea horizontal que él llama el "diámetro". La palabra es la misma en griego que en inglés, pero el griego es algo más amplio en su comprensión. Si la figura de la sección cónica está cortada por una cuadrícula de líneas paralelas, el diámetro biseca todos los segmentos de línea incluidos entre las ramas de la figura. Debe pasar por el vértice (koruphe, "corona"). Por lo tanto, un diámetro comprende figuras abiertas, como una parábola, así como cerradas, como un círculo. No hay especificación de que el diámetro deba ser perpendicular a las líneas paralelas, pero Apolonio usa solo líneas rectilíneas.

La distancia rectilínea desde un punto de la sección hasta el diámetro se denomina tetagmenos en griego, etimológicamente simplemente "extendido". Como solo se extiende "abajo" (kata-) o "arriba" (ana-), los traductores lo interpretan como ordenado. En ese caso, el diámetro se convierte en el eje x y el vértice en el origen. El eje y luego se vuelve tangente a la curva en el vértice. La abscisa se define entonces como el segmento del diámetro entre la ordenada y el vértice.

Usando su versión de un sistema de coordenadas, Apolonio logra desarrollar en forma pictórica los equivalentes geométricos de las ecuaciones para las secciones cónicas, lo que plantea la cuestión de si su sistema de coordenadas puede considerarse cartesiano. Hay algunas diferencias. El sistema cartesiano debe considerarse universal, cubriendo todas las cifras en todo el espacio aplicado antes de realizar cualquier cálculo. Tiene cuatro cuadrantes divididos por los dos ejes cruzados. Tres de los cuadrantes incluyen coordenadas negativas que significan direcciones opuestas a los ejes de referencia de cero.

Apolonio no tiene números negativos, no tiene explícitamente un número para el cero y no desarrolla el sistema de coordenadas independientemente de las secciones cónicas. Trabaja esencialmente solo en el Cuadrante 1, todas las coordenadas positivas. Carl Boyer, un historiador moderno de las matemáticas, por lo tanto dice:

Sin embargo, el álgebra geométrica griega no proveía para las magnitudes negativas; además, el sistema de coordenadas estaba en cada caso superpuesto a posteriori sobre una curva dada para estudiar sus propiedades... Apollonius, el mayor geometro de la antigüedad, no desarrolló geometría analítica...

Nadie niega, sin embargo, que Apolonio ocupa una especie de nicho intermedio entre el sistema de cuadrícula de medición convencional y el Sistema de coordenadas cartesianas de geometría analítica completamente desarrollado. Al leer a Apolonio, uno debe tener cuidado de no asumir significados modernos para sus términos.

La teoría de las proporciones

Apolonio usa la "Teoría de las proporciones" como se expresa en los Elementos de Euclides, Libros 5 y 6. Ideada por Eudoxo de Cnido, la teoría es intermedia entre los métodos puramente gráficos y la teoría de números moderna. Falta un sistema numérico decimal estándar, así como un tratamiento estándar de las fracciones. Las proposiciones, sin embargo, expresan en palabras reglas para manipular fracciones en aritmética. Heath propone que estén en lugar de la multiplicación y la división.

Con el término "magnitud", Eudoxo esperaba ir más allá de los números a un sentido general de tamaño, un significado que aún conserva. Con respecto a las figuras de Euclides, a menudo significa números, que era el enfoque pitagórico. Pitágoras creía que el universo podía caracterizarse por cantidades, creencia que se ha convertido en el dogma científico actual. El Libro V de Euclides comienza insistiendo en que una magnitud (megethos, "tamaño") debe ser divisible por igual en unidades (meros, "parte"). Una magnitud es, por tanto, un múltiplo de unidades. No es necesario que sean unidades de medida estándar, como metros o pies. Una unidad puede ser cualquier segmento de línea designado.

A continuación, quizás la definición fundamental más útil jamás ideada en la ciencia: la proporción (del griego logos, que significa aproximadamente "explicación") es una declaración de magnitud relativa. Dadas dos magnitudes, digamos de los segmentos AB y CD. la razón de AB a CD, donde CD se considera unidad, es el número de CD en AB; por ejemplo, 3 partes de 4, o 60 partes por millón, donde ppm todavía usa la terminología de "partes". La proporción es la base de la fracción moderna, que todavía significa "parte" o "fragmento", de la misma raíz latina que fractura. La razón es la base de la predicción matemática en la estructura lógica llamada “proporción” (del griego analogos). La proporción establece que si dos segmentos, AB y CD, tienen la misma razón que otros dos, EF y GH, entonces AB y CD son proporcionales a EF y GH, o, como diría Euclides, AB es a CD como EF es para GH.

El álgebra reduce este concepto general a la expresión AB/CD = EF/GH. Dados tres de los términos, uno puede calcular el cuarto como una incógnita. Reorganizando la ecuación anterior, se obtiene AB = (CD/GH)•EF, en la que, expresada como y = kx, la CD/GH se conoce como la “constante de proporcionalidad”. Los griegos tenían pocas dificultades para tomar múltiplos (pollaplasiein del griego), probablemente por adición sucesiva.

Apolonio usa proporciones casi exclusivamente de segmentos de línea y áreas, que se designan mediante cuadrados y rectángulos. Los traductores se han comprometido a utilizar la notación de dos puntos introducida por Leibniz en Acta Eruditorum, 1684. He aquí un ejemplo de Conics, Libro I, sobre la Proposición 11:

Traducción literal del griego: Que se contriba que el (cuare) de BC sea al (rectángulo) de BAC como FH es para FA

Traducción de Taliaferro: “Que sea contrivado ese sq. BC: rect. BA.AC:: FH: FA

equivalente algebraico: BC²/BA•BC = FH/FA