Apeirogon

En geometría, un apeirogono (del griego antiguo ἄπειρος apeiros 'infinito, sin límites' y γωνία gonia 'ángulo') o polígono infinito es un polígono con un número infinito de lados. Los apeirogonos son el caso de rango 2 de politopos infinitos. En alguna literatura, el término "apeirogono" puede referirse solo al apeirogono regular, con un grupo diédrico infinito de simetrías.

Dado un punto A₀ en un espacio euclidiano y una traslación S, definamos el punto A_i como el punto obtenido a partir de i aplicaciones de la traslación S a A₀, de modo que A_i = Sⁱ(A₀). El conjunto de vértices A_i con i cualquier entero, junto con las aristas que conectan los vértices adyacentes, es una secuencia de segmentos de una línea de igual longitud, y se denomina apeirogono regular según la definición de H. S. M. Coxeter.

Un apeirógono regular puede definirse como una partición de la línea euclidiana E¹ en una cantidad infinita de segmentos de igual longitud. Generaliza el n-gono regular, que puede definirse como una partición del círculo S¹ en una cantidad finita de segmentos de igual longitud.

El pseudogono regular es una partición de la línea hiperbólica H¹ (en lugar de la línea euclidiana) en segmentos de longitud 2λ, como un análogo del apeirógono regular.

Un politopo abstracto es un conjunto parcialmente ordenado P (cuyos elementos se denominan caras) con propiedades que modelan las de las inclusiones de caras de politopos convexos. El rango (o dimensión) de un politopo abstracto está determinado por la longitud de las cadenas máximas ordenadas de sus caras, y un politopo abstracto de rango n se denomina n-politopo abstracto.

Para los politopos abstractos de rango 2, esto significa que: A) los elementos del conjunto parcialmente ordenado son conjuntos de vértices con vértice cero (el conjunto vacío), un vértice, dos vértices (una arista) o el conjunto de vértices completo (una cara bidimensional), ordenados por inclusión de conjuntos; B) cada vértice pertenece exactamente a dos aristas; C) el grafo no dirigido formado por los vértices y las aristas es conexo.

Un politopo abstracto se denomina apeirótopo abstracto si tiene un número infinito de elementos; un 2-apeirotopo abstracto se denomina apeirogono abstracto.

Una realización de un politopo abstracto es una aplicación de sus vértices a puntos de un espacio geométrico (normalmente un espacio euclidiano). Una realización fiel es una realización en la que la aplicación de los vértices es inyectiva. Todo apeirógono geométrico es una realización del apeirógono abstracto.

El grupo diedro infinito G de simetrías de un apeirógono geométrico regular se genera mediante dos reflexiones, cuyo producto traslada cada vértice de P al siguiente. El producto de las dos reflexiones se puede descomponer como un producto de una traslación no nula, un número finito de rotaciones y una reflexión posiblemente trivial.

En un politopo abstracto, una bandera es una colección de una cara de cada dimensión, todas incidentes entre sí (es decir, comparables en el orden parcial); un politopo abstracto se llama regular si tiene simetrías (permutaciones de sus elementos que preservan la estructura) que llevan cualquier bandera a cualquier otra bandera. En el caso de un politopo abstracto bidimensional, esto es automáticamente cierto; las simetrías del apeirógono forman el grupo diedro infinito.

Una realización simétrica de un apeirógono abstracto se define como una aplicación de sus vértices a un espacio geométrico de dimensión finita (normalmente un espacio euclidiano) de modo que cada simetría del apeirógono abstracto corresponde a una isometría de las imágenes de la aplicación.

En general, el espacio de módulos de una realización fiel de un politopo abstracto es un cono convexo de dimensión infinita. El cono de realización del apeirógono abstracto tiene una dimensión algebraica infinitamente incontable y no puede cerrarse en la topología euclidiana.

La realización simétrica de cualquier polígono regular en el espacio euclidiano de dimensión mayor que 2 es reducible, es decir, puede realizarse como una combinación de dos polígonos de dimensión inferior. Esta caracterización de los polígonos regulares caracteriza naturalmente también a los apeirógonos regulares. Los apeirógonos discretos son el resultado de combinar el apeirógono unidimensional con otros polígonos. Dado que cada polígono es un cociente del apeirógono, la combinación de cualquier polígono con un apeirógono produce otro apeirógono.

En dos dimensiones los apeirogones regulares discretos son los polígonos zigzag infinitos, resultantes de la mezcla del apeirogon 1-dimensional con el digon, representado con el símbolo Schläfli {} {2}, {\fnMicrosoft Sans Serif}o ${\displaystyle \left\{\dfrac {2} {0,1}\right}} {\f}}$.

En tres dimensiones los apeirogones regulares discretos son los polígonos helicales infinitos, con vértices espaciados uniformemente a lo largo de un helix. Estos son el resultado de mezclar el apeirogon 1-dimensional con un polígono 2-dimensional, {} {}p/q} o ${\displaystyle \left\{\dfrac {p}{0,q}\right}$.

Los apeiroedros son los análogos de rango 3 de los apeirógonos y son los análogos infinitos de los poliedros. En términos más generales, los n-apeirotopos o los n-politopos infinitos son los análogos n-dimensionales de los apeirógonos y son los análogos infinitos de los n-politopos.

• Tiling Apeirogonal
• Prisma de Apeirogonal
• Apeirogonal antiprisma
• Teragon, un polígono generalizado fractal que también tiene infinitamente muchos lados

• Russell, Robert A."Apeirogon". MathWorld.
• Olshevsky, George. "Apeirogon". Glosario para Hyperspace. Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.