Apantallamiento de campo eléctrico

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Daños de campos eléctricos

En física, apantallamiento es la amortiguación de campos eléctricos causados por la presencia de portadores de carga móviles. Es una parte importante del comportamiento de los fluidos portadores de carga, como los gases ionizados (plasmas clásicos), electrolitos y portadores de carga en conductores electrónicos (semiconductores, metales). En un fluido, con una permitividad dada $ε$ , compuesto de partículas constituyentes cargadas eléctricamente, cada par de partículas (con cargas $q 1$ y $q 2$ ) interactúan a través de la fuerza de Coulomb como

{displaystyle mathbf {F} ={frac {q_{1}q_{2}}{4pi varepsilon left|mathbf {r} right|^{2}}}{hat {mathbf {r} }},}

r

1/ r 2

r

r 2

En realidad, estos efectos de largo alcance son suprimidos por el flujo de partículas en respuesta a los campos eléctricos. Este flujo reduce la interacción efectiva entre partículas a un rango "detección" Interacción de Coulomb. Este sistema corresponde al ejemplo más simple de una interacción renormalizada.

En la física del estado sólido, especialmente para metales y semiconductores, el efecto de pantalla describe el campo electrostático y el potencial de Coulomb de un ion dentro del sólido. Al igual que el campo eléctrico del núcleo se reduce dentro de un átomo o ion debido al efecto de protección, los campos eléctricos de los iones en los sólidos conductores se reducen aún más por la nube de electrones de conducción.

Descripción

Considere un fluido compuesto por electrones que se mueven en un fondo uniforme de carga positiva (plasma único). Cada electron posee una carga negativa. Según la interacción de Coulomb, los cargos negativos se repelen. En consecuencia, este electron repelerá a otros electrones creando una pequeña región alrededor de sí misma en la que hay menos electrones. Esta región se puede tratar como un "agujero de pantalla" cargado positivamente. Visto desde una gran distancia, este agujero de detección tiene el efecto de una carga positiva superpuesta que cancela el campo eléctrico producido por el electrón. Sólo a corta distancia, dentro de la región del agujero, se puede detectar el campo del electrón. Para un plasma, este efecto puede ser explícito por un $N$ - Cálculo corporal. Si el fondo está compuesto por iones positivos, su atracción por el electrón de interés refuerza el mecanismo de detección anterior. En física atómica, existe un efecto germano para átomos con más de un cáscara de electrones: el efecto blindaje. En la física de plasma, la detección de campos eléctricos también se llama Debye de detección o blindaje. Se manifiesta a sí mismo en escalas macroscópicas por una vaina (Debye sheath) junto a un material con el que el plasma está en contacto.

El potencial apantallado determina la fuerza interatómica y la relación de dispersión de fonones en los metales. El potencial apantallado se utiliza para calcular la estructura de bandas electrónicas de una gran variedad de materiales, a menudo en combinación con modelos de pseudopotenciales. El efecto de pantalla conduce a la aproximación de electrones independientes, lo que explica el poder predictivo de los modelos introductorios de sólidos como el modelo de Drude, el modelo de electrones libres y el modelo de electrones casi libres.

Teoría y modelos

El primer tratamiento teórico de la pantalla electrostática, debido a Peter Debye y Erich Hückel, trató con una carga puntual estacionaria incrustada en un fluido.

Considere un fluido de electrones en un fondo de iones pesados cargados positivamente. Para simplificar, ignoramos el movimiento y la distribución espacial de los iones, aproximándolos como una carga de fondo uniforme. Esta simplificación es permisible ya que los electrones son más ligeros y más móviles que los iones, siempre que consideremos distancias mucho mayores que la separación iónica. En la física de la materia condensada, este modelo se conoce como gelatina.

Interacciones de Coulomb analizadas

Sea ρ la densidad numérica de electrones y φ el potencial eléctrico. Al principio, los electrones se distribuyen uniformemente de modo que la carga neta sea cero en cada punto. Por lo tanto, φ también es inicialmente una constante.

Ahora introducimos una carga de punto fijo Q en el origen. La densidad de carga asociada es Qδ(r), donde δ(r) es la función delta de Dirac. Después de que el sistema haya regresado al equilibrio, sea el cambio en la densidad electrónica y el potencial eléctrico Δρ(r) y Δφ(r) respectivamente. La densidad de carga y el potencial eléctrico están relacionados por la ecuación de Poisson, que da

{displaystyle -nabla ^{2}[Delta phi (r)]={frac {1}{varepsilon _{0}}}[Qdelta (r)-eDelta rho (r)],}

ε₀

Para continuar, debemos encontrar una segunda ecuación independiente que relacione Δρ y Δφ. Consideramos dos aproximaciones posibles, bajo las cuales las dos cantidades son proporcionales: la aproximación de Debye-Hückel, válida a altas temperaturas (por ejemplo, plasmas clásicos), y la aproximación de Thomas-Fermi, válida a bajas temperaturas (por ejemplo, electrones en metales).

Aproximación Debye-Hückel

En la aproximación de Debye-Hückel, mantenemos el sistema en equilibrio termodinámico, a una temperatura T lo suficientemente alta como para que las partículas del fluido obedezcan las estadísticas de Maxwell-Boltzmann. En cada punto del espacio, la densidad de electrones con energía j tiene la forma

{displaystyle rho _{j}(r)=rho _{j}^{(0)}(r);exp left[{frac {ephi (r)}{k_{mathrm {B} }T}}right]}

k_Bφ

{displaystyle eDelta rho simeq varepsilon _{0}k_{0}^{2}Delta phi }

{displaystyle k_{0} {stackrel {mathrm {def} }{=}} {sqrt {frac {rho e^{2}}{varepsilon _{0}k_{mathrm {B} }T}}}}

La longitud asociada λ_D ≡ 1/k₀ se llama la longitud de Debye. La longitud de Debye es la escala de longitud fundamental de un plasma clásico.

Aproximación de Thomas-Fermi

En la aproximación de Thomas-Fermi, llamada así por Llewellyn Thomas y Enrico Fermi, el sistema se mantiene a un potencial químico de electrones constante (nivel de Fermi) ya baja temperatura. La primera condición corresponde, en un experimento real, a mantener el metal/fluido en contacto eléctrico con una diferencia de potencial fija con tierra. El potencial químico μ es, por definición, la energía de agregar un electrón adicional al fluido. Esta energía se puede descomponer en una parte de energía cinética T y una parte de energía potencial −eφ. Como el potencial químico se mantiene constante,

{displaystyle Delta mu =Delta T-eDelta phi =0.}

Si la temperatura es extremadamente baja, el comportamiento de los electrones se acerca al modelo mecánico cuántico de un gas de Fermi. Por lo tanto, aproximamos T por la energía cinética de un electrón adicional en el modelo de gas de Fermi, que es simplemente la energía de Fermi E_F. La energía de Fermi para un sistema 3D está relacionada con la densidad de electrones (incluida la degeneración de espín) por

{displaystyle rho =2{frac {1}{(2pi)^{3}}}left({frac {4}{3}}pi k_{mathrm {F} }^{3}right),quad E_{mathrm {F} }={frac {hbar ^{2}k_{F}^{2}}{2m}},}

k_F

{displaystyle Delta rho simeq {frac {3rho }{2E_{mathrm {F} }}}Delta E_{mathrm {F} }.}

Insertando esto en la ecuación anterior para Δμ se obtiene

{displaystyle eDelta rho simeq varepsilon _{0}k_{0}^{2}Delta phi }

{displaystyle k_{0} {stackrel {mathrm {def} }{=}} {sqrt {frac {3e^{2}rho }{2varepsilon _{0}E_{mathrm {F} }}}}={sqrt {frac {me^{2}k_{mathrm {F} }}{varepsilon _{0}pi ^{2}hbar ^{2}}}}}

Este resultado se deriva de las ecuaciones de un gas de Fermi, que es un modelo de electrones que no interactúan, mientras que el fluido que estamos estudiando contiene la interacción de Coulomb. Por lo tanto, la aproximación de Thomas-Fermi solo es válida cuando la densidad electrónica es baja, por lo que las interacciones entre partículas son relativamente débiles.

Resultado: Potencial examinado

Nuestros resultados de la aproximación de Debye-Hückel o Thomas-Fermi ahora se pueden insertar en la ecuación de Poisson. El resultado es

{displaystyle left[nabla ^{2}-k_{0}^{2}right]phi (r)=-{frac {Q}{varepsilon _{0}}}delta (r),}

{displaystyle phi (r)={frac {Q}{4pi varepsilon _{0}r}}e^{-k_{0}r},}

k₀

{displaystyle varepsilon (r)=varepsilon _{0}e^{k_{0}r}}

Teoría de muchos cuerpos

Física clásica y respuesta lineal

Una mecánica $N$ - el enfoque corporal proporciona la derivación del efecto de detección y del amortiguamiento de Landau. Se trata de una única realización de un plasma unicomponente cuyos electrones tienen una dispersión de velocidad (para un plasma térmico, debe haber muchas partículas en una esfera Debye, un volumen cuyo radio es la longitud Debye). Al utilizar el movimiento linealizado de los electrones en su propio campo eléctrico, produce una ecuación del tipo

{displaystyle {mathcal {E}}Phi =S,}

Donde ${displaystyle {mathcal {E}}}$ es un operador lineal, $S$ es un término fuente debido a las partículas, y $Phi$ es la transformación Fourier-Laplace del potencial electrostático. Al sustituir una integral sobre una función de distribución lisa para la suma discreta sobre las partículas en ${displaystyle {mathcal {E}}}$ , uno se pone

{displaystyle epsilon (mathbf {k}omega),Phi (mathbf {k}omega)=S(mathbf {k}omega),}

{displaystyle epsilon (mathbf {k}omega)}

mathbf {k}

omega

{displaystyle S(mathbf {k}omega)}

N

Mediante la transformación inversa Fourier-Laplace, el potencial debido a cada partícula es la suma de dos partes Uno corresponde a la excitación de ondas de Langmuir por la partícula, y el otro es su potencial proyectado, como lo obtuvo clásicamente un cálculo linealizado Vlasoviano que implica una partícula de prueba. El potencial de pantalla es el potencial de Coulomb de pantalla anterior para un plasma térmico y una partícula térmica. Para una partícula más rápida, el potencial se modifica. Sustituir una integral sobre una función de distribución lisa para la suma discreta sobre las partículas en ${displaystyle S(mathbf {k}omega)}$ , produce la expresión Vlasoviana que permite el cálculo de la humedad de Landau.

Enfoque mecánico-cuántico

En los metales reales, el efecto de apantallamiento es más complejo que el descrito anteriormente en la teoría de Thomas-Fermi. La suposición de que los portadores de carga (electrones) pueden responder a cualquier vector de onda es solo una aproximación. Sin embargo, no es energéticamente posible que un electrón dentro o sobre una superficie de Fermi responda a vectores de onda más cortos que el vector de onda de Fermi. Esta restricción está relacionada con el fenómeno de Gibbs, donde las series de Fourier para funciones que varían rápidamente en el espacio no son buenas aproximaciones a menos que se retenga una gran cantidad de términos en la serie. En física, este fenómeno se conoce como oscilaciones de Friedel y se aplica tanto al cribado de superficie como a granel. En cada caso, el campo eléctrico neto no cae exponencialmente en el espacio, sino como una ley de potencia inversa multiplicada por un término oscilatorio. Los cálculos teóricos se pueden obtener de la hidrodinámica cuántica y la teoría funcional de la densidad (DFT).

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