Aniquilador (teoría del anillo)

En matemáticas, el aniquilador de un subconjunto S de un módulo sobre un anillo es el ideal formado por los elementos del anillo que dan siempre cero cuando se multiplican por cada elemento de S.

Sobre un dominio integral, un módulo que tiene un aniquilador distinto de cero es un módulo de torsión, y un módulo de torsión generado finitamente tiene un aniquilador distinto de cero.

La definición anterior se aplica también en el caso de anillos no conmutativos, donde el aniquilador izquierdo de un módulo izquierdo es un ideal izquierdo, y el aniquilador derecho, de un módulo derecho módulo es un ideal de derecho.

Definiciones

Sea R un anillo, y sea M un módulo R izquierdo. Elija un subconjunto no vacío S de M. El aniquilador de S, denotado Ann_R(S), es el conjunto de todos los elementos r en R tales que, para todos los s en S, <span class="nowrap" rs = 0. En notación de conjuntos,

AnnR()S)={}r▪ ▪ R▪ ▪ rs=0{displaystyle mathrm {Ann} _{R}(S)={rin Rmid rs=0 para todos s▪ ▪ S}{displaystyle sin S}}

Es el conjunto de todos los elementos de R que "aniquilan" S (los elementos para los que S es un conjunto de torsión). También se pueden usar subconjuntos de módulos correctos, después de la modificación de "sr = 0" en la definición.

El aniquilador de un solo elemento x generalmente se escribe Ann_R(x) en lugar de Ann_R({x}). Si el anillo R se puede entender por el contexto, se puede omitir el subíndice R.

Desde R es un módulo sobre sí mismo, S se puede considerar como un subconjunto R y desde entonces R es a la derecha y a la izquierda R módulo, la notación debe ser modificada ligeramente para indicar el lado izquierdo o derecho. Normalmente l l .AnnR()S){displaystyle ell.!mathrm {Ann} _{R}(S),} y r.AnnR()S){fnMicrosoft Sans Serif} o algún esquema de subscript similar se utilizan para distinguir los aniquiladores izquierdo y derecho, si es necesario.

Si M es un módulo R y Ann_R(M) = 0, entonces M se denomina módulo fiel.

Propiedades

Si S es un subconjunto de un módulo izquierdo R M, entonces Ann(S) es un ideal izquierdo de R.

Si S es un submódulo de M, entonces Ann_R(S) es incluso un ideal de dos caras: (ac)s = a(cs) = 0, ya que cs es otro elemento de S.

Si S es un subconjunto de M y N es el submódulo de M generado por S, entonces en general Ann_R(N) es un subconjunto de Ann_R(S), pero no necesariamente son iguales. Si R es conmutativo, entonces se cumple la igualdad.

M puede considerarse también como un R/Ann_R()M)-module utilizando la acción r̄ ̄ m:=rm{displaystyle {overline {}m:=rm,}. Por cierto, no siempre es posible hacer un R módulo en un R/I módulo de esta manera, pero si el ideal I es un subconjunto del aniquilador de M, entonces esta acción está bien definida. Considerado como un R/Ann_R()M. M es automáticamente un módulo fiel.

Para anillos conmutativos

A lo largo de esta sección, R{displaystyle R. ser un anillo conmutativo y M{displaystyle M} un finito generado (para corto, finito) R{displaystyle R.- Bien.

Relación con el apoyo

Recuerde que el soporte de un módulo se define como

Supp⁡ ⁡ M={}p▪ ▪ Específico⁡ ⁡ R▪ ▪ Mpل ل 0}.{displaystyle operatorname {Supp} M={mthfrak {p}in operatorname Oh, Dios.

Entonces, cuando el módulo se genera finitamente, existe la relación

V()AnnR⁡ ⁡ ()M))=Supp⁡ ⁡ M{displaystyle V(operatorname [Ann] _{R}(M)=operatorname {Supp} M},

Donde V()⋅ ⋅ ){displaystyle V(cdot)} es el conjunto de ideales primos que contienen el subconjunto.

Sucesiones exactas cortas

Dada una secuencia corta y exacta de módulos,

0→ → M.→ → M→ → M.→ → 0,{displaystyle 0to Mto M'to M'to 0,}

la propiedad de soporte

Supp⁡ ⁡ M=Supp⁡ ⁡ M.∪ ∪ Supp⁡ ⁡ M.,{displaystyle operatorname [Supp] M=operatorname {Supp} M'cup operatorname {Supp} M',}

junto con la relación con el aniquilador implica

V()AnnR⁡ ⁡ ()M))=V()AnnR⁡ ⁡ ()M.))∪ ∪ V()AnnR⁡ ⁡ ()M.)).{displaystyle V(operatorname {Ann} _{R}(M)=V(operatorname {Ann} _{R}(M'))cup V(operatorname {Ann} _{R}(M')). }

Más específicamente, tenemos las relaciones

AnnR⁡ ⁡ ()M.)∩ ∩ AnnR⁡ ⁡ ()M.)⊇ ⊇ AnnR⁡ ⁡ ()M)⊇ ⊇ AnnR⁡ ⁡ ()M.)AnnR⁡ ⁡ ()M.).{displaystyle operatorname {Ann} _{R}(M')cap operatorname {Ann} _{R}(M')supseteq operatorname {Ann} _{R}(M)supseteq operatorname [Ann] _{R}(M')operatorname [Ann] _{R}(M''). }

Si la secuencia se divide, la desigualdad de la izquierda siempre es una igualdad. De hecho, esto es válido para sumas directas arbitrarias de módulos, como

AnnR⁡ ⁡ ()⨁ ⨁ i▪ ▪ IMi)=⋂ ⋂ i▪ ▪ IAnnR⁡ ⁡ ()Mi).{displaystyle operatorname ¿Qué? I}M_{i}=bigcap _{iin I}operatorname {Ann} _{R}(M_{i}).}

Módulos de cociente y aniquiladores

Dado un ideal I⊆ ⊆ R{displaystyle I 'subseteq R' y dejar M{displaystyle M} ser un módulo finito, entonces hay la relación

Supp()M/IM)=Supp⁡ ⁡ M∩ ∩ V()I){displaystyle {text{Supp}}(M/IM)=operatorname {Supp} Mcap V(I)}

en el soporte. Usando la relación con el apoyo, esto da la relación con el aniquilador.

V()AnnR()M/IM))=V()AnnR()M))∩ ∩ V()I).{displaystyle V({text{Ann}_{R}(M/IM)=V({text{text{ Ann}_{R}(M)cap V(I).}

Ejemplos

Sobre los enteros

Cambio Z{displaystyle mathbb {Z} cualquier módulo generado finitamente está completamente clasificado como la suma directa de su parte libre con su parte de la torsión del teorema fundamental de los grupos abelianos. Entonces, el aniquilador de un módulo finito es no-trivial sólo si es totalmente torsión. Esto es porque

AnnZ()Z⊕ ⊕ k)={}0}=()0){displaystyle {text{Ann}_{mthbb {Z} {fnMithbb {Z} {oplus k}=}=(0)}

desde el único elemento que mata a cada uno de los Z{displaystyle mathbb {Z} es 0{displaystyle 0}. Por ejemplo, el aniquilador de Z/2⊕ ⊕ Z/3{displaystyle mathbb {Z} /2oplus mathbb {Z} /3} es

AnnZ()Z/2⊕ ⊕ Z/3)=()6)=()lcm()2,3)),{displaystyle {text{Ann}_{mthbb {Z} }(mathbb {Z} /2oplus mathbb {Z} /3)=({text{lcm}}(2,3)}}

el ideal generado por ()6){displaystyle (6)}. De hecho, el aniquilador de un módulo de torsión

M.. ⨁ ⨁ i=1n()Z/ai)⊕ ⊕ ki{displaystyle Mcong bigoplus ¿Qué? K_{i}}

es isomorfo al ideal generado por su múltiplo menos común, ()lcm⁡ ⁡ ()a1,...... ,an)){displaystyle (operatorname {lcm} (a_{1},ldotsa_{n})}}. Esto muestra que los aniquiladores se pueden clasificar fácilmente sobre los enteros.

Sobre un anillo conmutativo R

De hecho, hay un cálculo similar que se puede hacer para cualquier módulo finito sobre un anillo conmutativo R{displaystyle R.. Recordar que la definición de finiteness de M{displaystyle M} implica que existe una secuencia exacta, llamada presentación, dada por

R⊕ ⊕ l→φ φ R⊕ ⊕ k→ → M→ → 0{displaystyle R^{oplus l}xrightarrow A Mto 0

Donde φ φ {displaystyle phi } está dentro Matk,l()R){displaystyle {text{Mat}_{k,l}(R)}. Escritura φ φ {displaystyle phi } explícitamente como una matriz le da como

φ φ =[φ φ 1,1⋯ ⋯ φ φ 1,n⋮ ⋮ ⋮ ⋮ φ φ n,1⋯ ⋯ φ φ n,n]{displaystyle phi ={begin{bmatrix}phi _{1,1} golpecdots > ¿Por qué?

de aquí M{displaystyle M} tiene la suma directa descomposición

M=⨁ ⨁ i=1kR()φ φ i,1()1),...... ,φ φ i,n()1)){displaystyle M=bigoplus ¿Por qué?

Si escribimos cada uno de estos ideales como

Ii=()φ φ i,1()1),...... ,φ φ i,n()1)){displaystyle I_{i}=(phi _{i,1}(1),ldotsphi _{i,n}(1))}

entonces el ideal I{displaystyle Yo... dado por

V()I)=⋃ ⋃ i=1nV()Ii){displaystyle V(I)=bigcup ¿Qué?

presenta al aniquilador.

Sobre k[x,y]

Sobre el anillo conmutativo k[x,Sí.]{displaystyle k[x,y]} para un campo k{displaystyle k}, el aniquilador del módulo

M=k[x,Sí.]()x2− − Sí.)⊕ ⊕ k[x,Sí.]()Sí.− − 3){displaystyle M={frac {k[x,y]}{(x^{2}-y)}oplus {frac {k[x,y]}{(y-3)}}}

está dada por el ideal

Annk[x,Sí.]()M)=()()x2− − Sí.)()Sí.− − 3)).{displaystyle {text{Ann}_{k[x,y]}(M)=(x^{2}-y)(y-3)). }

Condiciones en cadena sobre ideales aniquiladores

La celo de los ideales de la forma l l .AnnR()S){displaystyle ell.!mathrm {Ann} _{R}(S)} Donde S es un subconjunto de R componen una rejilla completa cuando parcialmente ordenada por la inclusión. Es interesante estudiar anillos para los cuales esta celosía (o su contraparte derecha) satisface la condición de cadena ascendente o la condición de cadena descendente.

Denota la celosa de los ideales de aniquilador izquierdo R como LA{fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans} y la celosía de los ideales de aniquilador derecho R como RA{displaystyle {Mathcal {RA},}. Se sabe que LA{fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans} satisfice el A.C.C. si y sólo si RA{displaystyle {Mathcal {RA},} satisfice el D.C.C., y simétricamente RA{displaystyle {Mathcal {RA},} satisfice el A.C.C. si y sólo si LA{fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans} satisfice el D.C.C. Si cualquiera de estas condiciones de cadena tiene cualquiera, entonces R no tiene conjuntos ortogonales infinitos de idempotents.

Si R es un anillo para el cual LA{fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans} satisfice el A.C.C. y _RR tiene dimensión uniforme finita, entonces R se llama anillo izquierdo de Goldie.

Descripción teórica de categorías para anillos conmutativos

Cuando R es conmutativo y M es un módulo R, podemos describir Ann_R(M) como núcleo del mapa de acción R → End_R(M) determinado por el mapa adjunto de la identidad M → M a lo largo de la adjunción del tensor de Hom.

Más generalmente, dado un mapa bilineal de módulos F:: M× × N→ → P{displaystyle Fcolon Mtimes Nto P}, el aniquilador de un subconjunto S⊆ ⊆ M{displaystyle Ssubseteq M} es el conjunto de todos los elementos en N{displaystyle N} ese aniquilamiento S{displaystyle S.:

Ann⁡ ⁡ ()S):={}n▪ ▪ N▪ ▪ О О s▪ ▪ S:F()s,n)=0}.{displaystyle operatorname {Ann} (S):={nin Nmid forall sin S:F(s,n)=0}

Por el contrario, dado T⊆ ⊆ N{displaystyle Tsubseteq N}, uno puede definir un aniquilador como un subconjunto de M{displaystyle M}.

El aniquilador da una conexión Galois entre subconjuntos de M{displaystyle M} y N{displaystyle N}, y el operador de cierre asociado es más fuerte que el lazo. En particular:

• los aniquiladores son submódulos
• Span⁡ ⁡ S≤ ≤ Ann⁡ ⁡ ()Ann⁡ ⁡ ()S)){displaystyle operatorname {Span} Sleq operatorname [Ann] (operatorname {Ann} (S)}
• Ann⁡ ⁡ ()Ann⁡ ⁡ ()Ann⁡ ⁡ ()S)))=Ann⁡ ⁡ ()S){displaystyle operatorname {Ann} (operatorname {Ann} (operatorname {Ann} (S))=operatorname {Ann} (S)}

Un caso especial importante está en presencia de una forma nondegenerada en un espacio vectorial, especialmente un producto interno: entonces el aniquilador asociado al mapa V× × V→ → K{displaystyle Vtimes Vto K} se llama el complemento ortogonal.

Relaciones con otras propiedades de los anillos

Dado un módulo M sobre un anillo conmutativo noetheriano R, un ideal primo de R que es un aniquilador de un elemento distinto de cero de M se llama primo asociado de M.

• Los aniquiladores se utilizan para definir anillos de Rickart izquierdo y anillos Baer.
• El conjunto de (izquierda) cero divisores D_S de S puede ser escrito como

DS=⋃ ⋃ x▪ ▪ S∖ ∖ {}0}AnnR()x).{displaystyle D_{S}=bigcup _{xin Ssetminus {0}{mathrm {Ann} _{R}(x)}}

(Aquí permitimos que cero sea un divisor cero.)

En particular D_R es el conjunto de (izquierda) cero divisores de R tomando S = R y R actuando en sí mismo como una izquierda R- Bien.

• Cuando R es conmutativo y noetheriano, el conjunto DR{displaystyle D_{R} es precisamente igual a la unión de los principios asociados de los R- Mobiliario R.