Anillo topológico

En matemáticas, a anillo topológico es un anillo R{displaystyle R. que es también un espacio topológico tal que tanto la adición como la multiplicación son continuos como mapas:

R× × R→ → R{displaystyle Rtimes Rto R}

R× × R{displaystyle Rtimes R}

R{displaystyle R.

Los anillos topológicos están relacionados fundamentalmente con los campos topológicos y surgen de forma natural al estudiarlos, ya que por ejemplo la terminación de un campo topológico puede ser un anillo topológico que no es un campo.

Comentarios generales

El grupo de unidades R× × {displaystyle R^{times } de un anillo topológico R{displaystyle R. es un grupo topológico cuando dotado con la topología que viene de la incrustación de R× × {displaystyle R^{times } en el producto R× × R{displaystyle Rtimes R} como ()x,x− − 1).{displaystyle left(x,x^{-1}right). } Sin embargo, si el grupo de unidad está dotado con la topología subespacial como subespacial R,{displaystyle R,} puede no ser un grupo topológico, porque la inversión en R× × {displaystyle R^{times } no debe ser continuo con respecto a la topología subespacial. Un ejemplo de esta situación es el anillo adele de un campo global; su grupo unitario, llamado grupo idele, no es un grupo topológico en la topología subespacial. Si la inversión en R× × {displaystyle R^{times } es continua en la topología subespacial de R{displaystyle R. entonces estas dos topologías en R× × {displaystyle R^{times } son iguales.

Si uno no requiere un anillo para tener una unidad, entonces hay que añadir el requisito de continuidad del inverso aditivo, o equivalentemente, para definir el anillo topológico como un anillo que es un grupo topológico (for +{displaystyle +}) en que la multiplicación es continua, también.

Ejemplos

Los anillos topológicos ocurren en el análisis matemático, por ejemplo como anillos de funciones continuas de valor real en algún espacio topológico (donde la topología es dada por convergencia puntiaguda), o como anillos de operadores lineales continuos en algún espacio vectorial normalizado; todos los álgebras Banach son anillos topológicos. El racional, real, complejo y p{displaystyle p}-adic los números son también anillos topológicos (incluso campos topológicos, ver abajo) con sus topologías estándar. En el plano, los números split-complex y los números duales forman anillos topológicos alternativos. Vea los números hipercomplex para otros ejemplos de baja dimensión.

En álgebra, la siguiente construcción es común: uno comienza con un anillo conmutativo R{displaystyle R. conteniendo un ideal I,{displaystyle Yo... y luego considera I{displaystyle Yo...- topología médica on R{displaystyle R.: un subconjunto R=U{displaystyle R=U de R{displaystyle R. está abierto si y sólo si por cada x▪ ▪ U{displaystyle xin U} existe un número natural n{displaystyle n} tales que x+In⊆ ⊆ U.{displaystyle x+I^{n}subseteq U.} Esto gira R{displaystyle R. en un anillo topológico. El I{displaystyle Yo...- la topología adictiva es Hausdorff si y sólo si la intersección de todos los poderes de I{displaystyle Yo... es el cero ideal ()0).{displaystyle (0)}

El p{displaystyle p}- la topología adictiva en los enteros es un ejemplo de un I{displaystyle Yo...- topología médica (con I=()p){displaystyle I=(p)}).

Finalización

Cada anillo topológico es un grupo topológico (con respecto a la adición) y por lo tanto un espacio uniforme de manera natural. Así se puede preguntar si un anillo topológico dadoR{displaystyle R. está completo. Si no lo es, entonces puede ser terminado: uno puede encontrar un anillo topológico completo esencialmente único S{displaystyle S. que contiene R{displaystyle R. como una densa subring tal que la topología dada en R{displaystyle R. iguala la topología subespacial derivada de S.{displaystyle S.}Si el anillo de inicio R{displaystyle R. es métrica, el anillo S{displaystyle S. se puede construir como un conjunto de clases de equivalencia de secuencias Cauchy en R,{displaystyle R,} esta relación de equivalencia hace el anillo S{displaystyle S. Hausdorff y utilizando secuencias constantes (que son Cauchy) se da cuenta de un (uniformly) morfismo continuo (CM en la secuela) c:R→ → S{displaystyle c:Rto S} tal que, para todos los CM f:R→ → T{displaystyle f:Rto T} Donde T{displaystyle T} es Hausdorff y completo, existe un CM único g:S→ → T{displaystyle g:Sto T} tales que f=g∘ ∘ c.{displaystyle f=gcirc c.} Si R{displaystyle R. no es métrica (como, por ejemplo, el anillo de todas las funciones de valor racional real-variable, es decir, todas las funciones f:R→ → Q{displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {Q} dotado con la topología de la convergencia de punta) la construcción estándar utiliza filtros Cauchy mínimos y satisface la misma propiedad universal que arriba (ver Bourbaki, Topología General, III.6.5).

Los anillos de la serie de poder formal y el p{displaystyle p}- enteros adictivos son más naturalmente definidos como terminaciones de ciertos anillos topológicos que llevan I{displaystyle Yo...- topologías médicas.

Campos topológicos

Algunos de los ejemplos más importantes son los campos topológicos. Un campo topológico es un anillo topológico que es también un campo, y tal que la inversión de elementos no cero es una función continua. Los ejemplos más comunes son los números complejos y todos sus subcampos, y los campos valorados, que incluyen los p{displaystyle p}- campos ádicos.