Anillo polinomial

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Estructura algebraica

En matemáticas, especialmente en el campo del álgebra, un anillo polinomial o álgebra polinómica es un anillo (que también es un álgebra conmutativa) formado a partir del conjunto de polinomios en uno o más indeterminados (tradicionalmente también llamados variables) con coeficientes en otro anillo, a menudo un campo.

A menudo, el término "anillo polinómico" se refiere implícitamente al caso especial de un anillo polinomial en un indeterminado sobre un campo. La importancia de estos anillos polinomiales reside en el gran número de propiedades que tienen en común con el anillo de los números enteros.

Los anillos polinomiales ocurren y a menudo son fundamentales en muchas partes de las matemáticas, como la teoría de números, el álgebra conmutativa y la geometría algebraica. En la teoría de anillos, se han introducido muchas clases de anillos, como dominios de factorización únicos, anillos regulares, anillos de grupo, anillos de series de potencias formales, polinomios minerales y anillos graduados, para generalizar algunas propiedades de los anillos polinomiales.

Una noción estrechamente relacionada es la de anillo de funciones polinomiales en un espacio vectorial y, más generalmente, anillo de funciones regulares en una variedad algebraica.

Definición (caso univariado)

El anillo polinómico, $K [X]$ , en $X$ sobre un campo (o, más generalmente, un anillo conmutativo) $K$ puede definirse de varias maneras equivalentes. Una de ellas es definir $K [X]$ como el conjunto de expresiones, llamadas polinomios en $X$ , de la forma

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},

Donde $p 0, p 1,..., p m$ , el coeficientes de $p$ , son elementos de $K$ , $p m ل 0$ si $m ■ 0$ , y $X, X 2,...,$ son símbolos, que se consideran "poderes" de $X$ , y seguir las reglas habituales de la exponenciación: $X 0 = 1$ , $X 1 = X$ , y ${displaystyle X^{k},X^{l}=X^{k+l}}$ para cualquier entero no negativo $k$ y $l$ . El símbolo $X$ se llama indeterminado o variable. (El término "variable" proviene de la terminología de las funciones polinómicas. Sin embargo, aquí, $X$ no tiene ningún valor (aparte de sí mismo), y no puede variar, siendo constante en el anillo polinomio.)

Dos polinomios son iguales cuando los coeficientes correspondientes de cada $X k$ son iguales.

Se puede pensar que el anillo $K [X]$ surge de $K$ agregando un nuevo elemento $X$ que es externo a $K$ , conmuta con todos los elementos de $K$ y no tiene otras propiedades específicas. Esto se puede utilizar para una definición equivalente de anillos polinómicos.

El anillo polinomial en $X$ sobre $K$ está equipado con una suma, una multiplicación y una multiplicación escalar que la convierten en un álgebra conmutativa. Estas operaciones se definen según las reglas ordinarias para manipular expresiones algebraicas. Específicamente, si

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+cdots +p_{m}X^{m},

q=q_{0}+q_{1}X+q_{2}X^{2}+cdots +q_{n}X^{n},

entonces

p+q=r_{0}+r_{1}X+r_{2}X^{2}+cdots +r_{k}X^{k},

pq=s_{0}+s_{1}X+s_{2}X^{2}+cdots +s_{l}X^{l},

donde $k = max(m, n), l = m + n$ ,

{displaystyle r_{i}=p_{i}+q_{i}}

{displaystyle s_{i}=p_{0}q_{i}+p_{1}q_{i-1}+cdots +p_{i}q_{0}.}

En estas fórmulas, los polinomios $p$ y $q$ se amplían añadiendo "términos ficticios" con coeficientes cero, de modo que todos $p i$ y $q i$ que aparecen en las fórmulas. Específicamente, si $m < n$ , entonces $p i = 0$ para $m < i \leq n$ .

La multiplicación escalar es el caso especial de la multiplicación donde $p = p 0$ se reduce a su término constante (el término que es independiente de $X$ ); eso es

{displaystyle p_{0}left(q_{0}+q_{1}X+dots +q_{n}X^{n}right)=p_{0}q_{0}+left(p_{0}q_{1}right)X+cdots +left(p_{0}q_{n}right)X^{n}}

Es sencillo verificar que estas tres operaciones satisfacen los axiomas de un álgebra conmutativa sobre $K$ . Por lo tanto, los anillos polinómicos también se denominan álgebras polinómicas.

A menudo se prefiere otra definición equivalente, aunque menos intuitiva, porque es más fácil hacerla completamente rigurosa, que consiste en definir un polinomio como una secuencia infinita $(p 0, p 1, p 2,\dots)$ de elementos de $K$ , que tienen la propiedad de que sólo un número finito de elementos son distintos de cero, o equivalentemente, una secuencia para la cual hay algún $m$ de modo que p_n = 0 para $n > soy$ . En este caso, $p 0$ y $X$ se consideran notaciones alternativas para las secuencias $(p 0, 0, 0,\dots)$ y $(0, 1, 0, 0,\dots)$ , respectivamente. Un uso sencillo de las reglas de operación muestra que la expresión

p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+cdots +p_{m}X^{m}

es entonces una notación alternativa para la secuencia

() p 0, p 1, p 2,..., p m, 0, 0,...)

Terminología

Dejar

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},

ser un polinomio no cero con ${displaystyle p_{m}neq 0}$

El término constante de $p$ es ${displaystyle p_{0}.}$ Es cero en el caso del polinomio cero.

El grado de $p$ , escrito $deg(p)$ es $m,$ el más grande $k$ tal que el coeficiente $X k$ no es cero.

El coeficiente líder de $p$ es ${displaystyle p_{m}.}$

En el caso especial del polinomio cero, todos cuyos coeficientes son cero, el coeficiente principal no está definido y el grado se ha dejado sin definir, definido como $-1$ , o definido como $-\infty$ .

Did you mean:

A constant polynomial is either the zero polynomial, or a polynomial of degree zero.

Un polinomio no cero es monico si su coeficiente líder es $1.$

Did you mean:
Given two polynomials p and q, one has
${displaystyle deg(p+q)leq max(deg(p),deg(q)),}$
y, sobre un campo, o más generalmente un dominio integral,
${displaystyle deg(pq)=deg(p)+deg(q).}$
Did you mean:
It follows immediately that, if K is an integral domain, then so is K[X].
Se deduce también que, si $K$ es un dominio integral, un polinomio es una unidad (es decir, tiene un inverso multiplicativo) si y solo si es constante y es una unidad en $K$ .
Dos polinomios están asociados si cualquiera de ellos es producto del otro por una unidad.
Sobre un campo, cada polinomio distinto de cero está asociado a un polinomio mónico único.
Dados dos polinomios, $p$ y $q$ , se dice que $p$ divide $q$ , $p$ es un divisor de $q$ , o $q$ es un múltiplo de $p$ , si hay un polinomio $r$ tal que $q = pr$ .
Un polinomio es irreducible si no es producto de dos polinomios no constantes, o equivalentemente, si sus divisores son polinomios constantes o tienen el mismo grado.
Evaluación polinomial
Sea $K$ un campo o, más generalmente, un anillo conmutativo, y el estilo $R$ un anillo que contiene $K$ . Para cualquier polinomio $P$ en $K [X]$ y cualquier elemento $a$ en $R$ , la sustitución de $X$ por $a$ en $P$ define un elemento de $R$ , que se denota $P (a)$ . Este elemento se obtiene realizando en $R$ después de la sustitución las operaciones indicadas por la expresión del polinomio. Este cálculo se llama evaluación de $P$ en $a</i$ . Por ejemplo, si tenemos
${displaystyle P=X^{2}-1,}$
tenemos
${displaystyle {begin{aligned}P(3)&=3^{2}-1=8,\P(X^{2}+1)&=left(X^{2}+1right)^{2}-1=X^{4}+2X^{2}end{aligned}}}$
(en el primer ejemplo $R = K$ , y en el segundo $R = K [X]$ ). Sustituir $X$ por sí mismo da como resultado
${displaystyle P=P(X),}$
explicando por qué las oraciones "Sea $P$ un polinomio" y "Sea $P (X)$ un polinomio" son equivalentes.
El función polinómica definido por un polinomio $P$ es la función de $K$ en $K$ que se define $xmapsto P(x).$ Si $K$ es un campo infinito, dos polinomios diferentes definen diferentes funciones polinómicas, pero esta propiedad es falsa para campos finitos. Por ejemplo, si $K$ es un campo con $q$ elementos, entonces los polinomios $0$ y $X q - X$ ambos definen la función cero.
Por todos $a$ dentro $R$ , la evaluación en $a$ , es decir, el mapa $Pmapsto P(a)$ define un homomorfismo álgebra de $K [X]$ a $R$ , que es el homomorfismo único de $K [X]$ a $R$ que arregla $K$ , y mapas $X$ a $a$ . En otras palabras, $K [X]$ tiene la siguiente propiedad universal:
Por cada anillo $R$ que contiene $K$ , y cada elemento $a$ de $R$ , hay un homomorfismo álgebra único $K [X]$ a $R$ que arregla $K$ , y mapas $X$ a $a$ .
La imagen del mapa $Pmapsto P(a)$ , es decir, el subconjunto $R$ obtenido mediante sustitución $a$ para $X$ en elementos de $K [X]$ , está denotado $K [a]$ . Por ejemplo, ${displaystyle mathbb {Z} [{sqrt {2}}]={P({sqrt {2}})mid P(x)in mathbb {Z} [X]}=mathbb {Z} cup ({sqrt {2}}mathbb {Z})}$ , donde ${displaystyle {sqrt {2}}mathbb {Z} ={{sqrt {2}}zmid zin mathbb {Z} }}$ .
Como para todas las propiedades universales, esto define el par $(K [X], X)$ hasta un isomorfismo único y, por lo tanto, puede tomarse como una definición de $K [X]$ .
Polinomios univariados sobre un campo
Si $K$ es un campo, el anillo polinomio $K [X]$ tiene muchas propiedades que son similares a las del anillo de enteros ${displaystyle mathbb {Z}.}$ La mayoría de estas similitudes resultan de la similitud entre la larga división de enteros y la larga división de polinomios.
La mayoría de las propiedades de $K [X]$ que se enumeran en esta sección no siguen siendo verdaderas si $K$ no es un campo, o si se consideran polinomios en varios indeterminados.
Al igual que los números enteros, la división euclidiana de polinomios tiene la propiedad de unicidad. Es decir, dados dos polinomios $a$ y $b \neq 0$ en $K [X]$ , hay un par único $(q, r)$ de polinomios tales que $a = bq + r$ , y $r = 0$ o $grados(r) < grados(b)$ . Esto convierte a $K [X]$ en un dominio euclidiano. Sin embargo, la mayoría de los demás dominios euclidianos (excepto los números enteros) no tienen ninguna propiedad de unicidad para la división ni un algoritmo sencillo (como la división larga) para calcular la división euclidiana.
La división euclidiana es la base del algoritmo euclidiano para polinomios que calcula un polinomio máximo común divisor de dos polinomios. Aquí, "mejor" significa "tener un título máximo" o, de manera equivalente, ser máximo para el preorden definido por el grado. Dado un máximo común divisor de dos polinomios, los otros máximos comunes divisores se obtienen multiplicando por una constante distinta de cero (es decir, todos los máximos comunes divisores de $a$ y $b$ están asociados). En particular, dos polinomios que no son ambos cero tienen un máximo común divisor único que es mónico (coeficiente principal igual a 1 ).
El algoritmo euclidiano extendido permite calcular (y probar) la identidad de Bézout. En el caso de $K [X]$ , se podrá indicar de la siguiente manera. Dados dos polinomios $p$ y $q$ de los grados respectivos $m$ y $n$ , si su máximo común divisor mónico $g$ tiene el grado $d$ , entonces hay un par único $(a, b)$ de polinomios tales que
${displaystyle ap+bq=g,}$
y
$<math alttext="{displaystyle deg(a)leq n-d,quad deg(b)deg ()a)\leq \leq n- - d,deg ()b).m- - d.{displaystyle deg(a)leq n-d,quad deg(b) interpretadom-d.} <img alt="{displaystyle deg(a)leq n-d,quad deg(b)$
(Por hacer esto verdadero en el caso límite donde $m = d$ o $n = d$ , uno tiene que definir como negativo el grado del polinomio cero. Además, la igualdad ${displaystyle deg(a)=n-d}$ puede ocurrir sólo si $p$ y $q$ están asociados.) La propiedad única es bastante específica para $K [X]$ . En el caso de los enteros la misma propiedad es verdad, si los grados son reemplazados por valores absolutos, pero, por tener singularidad, uno debe requerir $a ■ 0$ .
La lema de Euclid se aplica a $K [X]$ . Eso es, si $a$ divideciones $bc$ , y es coprime con $b$ , entonces $a$ divideciones $c$ . Aquí, coprime significa que el mayor divisor común monico es 1. Prueba: Por hipótesis y identidad de Bézout, hay $e$ , $p$ , y $q$ tales que $ae = bc$ y $1 = ap + bq$ . Así que... ${displaystyle c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).}$
La propiedad de factorización única resulta del lema de Euclides. En el caso de los números enteros, este es el teorema fundamental de la aritmética. En el caso de $K [X]$ , se puede expresar como: todo polinomio no constante puede expresarse de forma única como producto de una constante y uno o varios polinomios mónicos irreducibles; esta descomposición es única hasta el orden de los factores. En otros términos $K [X]$ es un dominio de factorización único. Si $K$ es el cuerpo de números complejos, el teorema fundamental del álgebra afirma que un polinomio univariado es irreducible si y sólo si su grado es uno. En este caso, la propiedad de factorización única se puede reformular como: cada polinomio univariado no constante sobre números complejos se puede expresar de forma única como el producto de una constante y uno o varios polinomios de la forma $X - r$ ; esta descomposición es única hasta el orden de los factores. Para cada factor, $r$ es una raíz del polinomio, y el número de apariciones de un factor es la multiplicidad de la raíz correspondiente.
Derivación
La derivada (formal) del polinomio
${displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+cdots +a_{n}X^{n}}$
es el polinomio
${displaystyle a_{1}+2a_{2}X+cdots +na_{n}X^{n-1}.}$
En el caso de polinomios con coeficientes reales o complejos, esta es la derivada estándar. La fórmula anterior define la derivada de un polinomio incluso si los coeficientes pertenecen a un anillo en el que no está definida ninguna noción de límite. La derivada convierte el anillo polinómico en un álgebra diferencial.
La existencia de la derivada es una de las principales propiedades de un anillo polinomial que no se comparte con los números enteros y hace que algunos cálculos sean más fáciles en un anillo polinómico que en números enteros.
Factorización sin cuadrados
Interpolación de Lagrange
Descomposición polinomial
Factorización
A excepción de la factorización, todas las propiedades anteriores de $K [X]$ son efectivas, ya que sus pruebas, como se esbozan anteriores, están asociados con algoritmos para probar la propiedad y calcular los polinomios cuya existencia se afirma. Además, estos algoritmos son eficientes, ya que su complejidad computacional es una función cuadrática del tamaño de entrada.
La situación es completamente diferente para la factorización: la prueba de la factorización única no da ninguna pista sobre un método para factorizar. Para los números enteros, no existe ningún algoritmo conocido que se ejecute en una computadora clásica para factorizarlos en tiempo polinomial. Esta es la base del criptosistema RSA, ampliamente utilizado para comunicaciones seguras por Internet.
En el caso de $K [X]$ , los factores, y los métodos para calcularlos, dependen fuertemente de $K$ . Sobre los números complejos, los factores irreducibles (los que no pueden ser factorizados más) son todos de grado uno, mientras que, sobre los números reales, hay polinomios irreducibles del grado 2, y, sobre los números racionales, hay polinomios irreducibles de cualquier grado. Por ejemplo, el polinomio ${displaystyle X^{4}-2}$ es irreducible sobre los números racionales, se considera como ${displaystyle (X-{sqrt[{4}]{2}})(X+{sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{sqrt {2}})}$ sobre los números reales y, como ${displaystyle (X-{sqrt[{4}]{2}})(X+{sqrt[{4}]{2}})(X-i{sqrt[{4}]{2}})(X+i{sqrt[{4}]{2}})}$ sobre los números complejos.
La existencia de un algoritmo de factorización depende también del campo terrestre. En el caso de los números reales o complejos, el teorema de Abel-Ruffini muestra que las raíces de algunos polinomios y, por tanto, los factores irreducibles, no se pueden calcular exactamente. Por lo tanto, un algoritmo de factorización sólo puede calcular aproximaciones de los factores. Se han diseñado varios algoritmos para calcular tales aproximaciones; consulte Búsqueda de raíces de polinomios.
Hay un ejemplo de un campo $K$ tales que existen algoritmos exactos para las operaciones aritméticas de $K$ , pero no puede existir ningún algoritmo para decidir si un polinomio de la forma ${displaystyle X^{p}-a}$ es irreducible o es un producto de polinomios de menor grado.
Por otro lado, en números racionales y cuerpos finitos, la situación es mejor que para la factorización de enteros, ya que existen algoritmos de factorización que tienen una complejidad polinómica. Se implementan en la mayoría de los sistemas de álgebra informática de propósito general.
Polinomio mínimo
Si $θ$ es un elemento de un K-álgebra asociativa $L$ , la evaluación polinómica en $θ$ es el homomorfismo de álgebra único $φ$ de $K [X]$ a $L que asigna X a θ y no no afecta los elementos de K en sí (es el mapa de identidad en K). Consiste en sustituir X por θ en cada polinomio. Eso es,$
${displaystyle varphi left(a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+cdots +a_{1}X+a_{0}right)=a_{m}theta ^{m}+a_{m-1}theta ^{m-1}+cdots +a_{1}theta +a_{0}.}$
La imagen de este homomorfismo de evaluación es la subálgebra generada por $θ$ , que es necesariamente conmutativa. Si $φ$ es inyectiva, la subálgebra generada por $θ$ es isomorfo a $K [X]$ . En este caso, esta subálgebra suele denotarse por $K [θ]$ . La ambigüedad de la notación es generalmente inofensiva debido al isomorfismo.
Si el homomorfismo de evaluación no es inyectivo, esto significa que su núcleo es un ideal distinto de cero, que consta de todos los polinomios que se vuelven cero cuando $X$ se sustituye por $θ$ . Este ideal consta de todos los múltiplos de algún polinomio mónico, que se llama polinomio mínimo de $θ$ . El término mínimo está motivado por el hecho de que su grado es mínimo entre los grados de los elementos del ideal.
Hay dos casos principales en los que se consideran polinomios mínimos.
En teoría de campo y teoría de números, un elemento $Silencio$ de un campo de extensión $L$ de $K$ es algebraico sobre $K$ si es una raíz de algún polinomio con coeficientes en $K$ . El mínimo polinomio sobre $K$ de $Silencio$ es así el polinomio monico de grado mínimo que tiene $Silencio$ como una raíz. Porque... $L$ es un campo, este polinomio mínimo es necesariamente irreducible $K$ . Por ejemplo, el mínimo polinomio (sobre lo real y sobre lo racional) del complejo número $i$ es ${displaystyle X^{2}+1}$ . Los polinomios ciclotómicos son los polinomios mínimos de las raíces de la unidad.
En álgebra lineal, las matrices cuadradas $n \times n$ sobre $K$ forma un álgebra K asociativa de dimensión finita (como un espacio vectorial). Por tanto, el homomorfismo de evaluación no puede ser inyectivo y toda matriz tiene un polinomio mínimo (no necesariamente irreducible). Según el teorema de Cayley-Hamilton, el homomorfismo de evaluación asigna a cero el polinomio característico de una matriz. De ello se deduce que el polinomio mínimo divide al polinomio característico y, por tanto, que el grado del polinomio mínimo es como máximo $n$ .
Anillo de cociente
En el caso de $K [X]$ , se puede construir el anillo cociente por un ideal, como en el caso general, como un conjunto de clases de equivalencia. Sin embargo, como cada clase de equivalencia contiene exactamente un polinomio de grado mínimo, suele ser más conveniente otra construcción.
Dado un polinomio $p$ grado $d$ , el anillo colateral de $K [X]$ por el ideal generado por $p$ se puede identificar con el espacio vectorial de los polinomios de grados menos que $d$ , con el "modulo de multiplicación $p$ "como multiplicación, la modulo de multiplicación $p$ consistente en el resto bajo la división por $p$ del producto (usual) de los polinomios. Este anillo de cociente es denotado de varias maneras ${displaystyle K[X]/pK[X],}$ ${displaystyle K[X]/langle prangle}$ ${displaystyle K[X]/(p),}$ o simplemente ${displaystyle K[X]/p.}$
El anillo ${displaystyle K[X]/(p)}$ es un campo si y sólo si $p$ es un polinomio irreducible. De hecho, si $p$ es irreducible, cada polinomio no cero $q$ de menor grado es coprime con $p$ , y la identidad de Bézout permite la computación $r$ y $s$ tales que $sp + qr = 1$ ; así, $r$ es el inverso multiplicativo de $q$ modulo $p$ . Por el contrario, si $p$ es reducible, entonces existen polinomios $a, b$ de grados inferiores a $deg(p)$ tales que $ab = p$ ; así $a, b$ no cero divisores modulo $p$ , y no puede ser invertible.
Por ejemplo, la definición estándar del cuerpo de los números complejos se puede resumir diciendo que es el anillo cociente
${displaystyle mathbb {C} =mathbb {R} [X]/(X^{2}+1),}$
y que la imagen de $X$ dentro $mathbb {C}$ es denotado por $i$ . De hecho, por la descripción anterior, este cociente consta de todos los polinomios del grado uno en $i$ , que tienen la forma $a + bi$ , con $a$ y $b$ dentro ${mathbb R}.$ El resto de la división euroclidiana que se necesita para multiplicar dos elementos del anillo de cociente se obtiene reemplazando $i 2$ por $-1$ en su producto como polinomios (esta es exactamente la definición habitual del producto de números complejos).
Vamos $Silencio$ ser un elemento algebraico en un $K$ - álgebra $A$ . Por algebraica, uno significa que $Silencio$ tiene un polinomio mínimo $p$ . El primer anillo isomorfismo teorema afirma que el homomorfismo de sustitución induce un isomorfismo de ${displaystyle K[X]/(p)}$ sobre la imagen $K [Silencio]$ de la sustitución homomorfismo. En particular, si $A$ es una extensión simple $K$ generados por $Silencio$ , esto permite identificar $A$ y ${displaystyle K[X]/(p).}$ Esta identificación es ampliamente utilizada en la teoría de números algebraicos.
Módulos
El teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal se aplica a K[X], cuando K es un campo. Esto significa que cada módulo generado finitamente sobre K[X] puede ser descompuesto en una suma directa de un módulo libre y finitamente muchos módulos de la forma ${displaystyle K[X]/leftlangle P^{k}rightrangle }$ , donde P es un polinomio irreducible sobre K y k un entero positivo.
Definición (caso multivariado)
Dado $n$ símbolos ${displaystyle X_{1},dotsX_{n},}$ llamado indeterminado, un monomial (también llamado producto de energía)
${displaystyle X_{1}^{alpha _{1}}cdots X_{n}^{alpha _{n}}}$
es un producto formal de estos indeterminados, posiblemente elevado a un poder no negativo. Como siempre, se pueden omitir exponentes iguales a uno y factores con un exponente cero. En particular, ${displaystyle X_{1}^{0}cdots X_{n}^{0}=1.}$
La tupla de exponentes $α = (α 1, \dots, α n)$ se llama multigrado o vector exponente del monomio. Para una notación menos engorrosa, la abreviatura
${displaystyle X^{alpha }=X_{1}^{alpha _{1}}cdots X_{n}^{alpha _{n}}}$
se utiliza a menudo. El grado de un monomio $X α$ , frecuentemente denotado $grados α$ o $| α |$ , es la suma de sus exponentes:
${displaystyle deg alpha =sum _{i=1}^{n}alpha _{i}.}$
Un polinomio en estos indeterminados, con coeficientes en un campo $K$ , o más generalmente un anillo, es una combinación lineal finita de monomios
${displaystyle p=sum _{alpha }p_{alpha }X^{alpha }}$
con coeficientes en $K$ . El grado de un polinomio distinto de cero es el máximo de los grados de sus monomios con coeficientes distintos de cero.
El conjunto de polinomios en ${displaystyle X_{1},dotsX_{n},}$ denotado ${displaystyle K[X_{1},dotsX_{n}],}$ es por lo tanto un espacio vectorial (o un módulo gratis, si $K$ es un anillo) que tiene los monomiales como base.
${displaystyle K[X_{1},dotsX_{n}]}$ está naturalmente equipado (ver abajo) con una multiplicación que hace un anillo, y un álgebra asociativa sobre $K$ , llamado el anillo polinomio en $n$ indeterminados sobre $K$ (el artículo definido) el refleja que se define únicamente hasta el nombre y el orden de los indeterminados. Si el anillo $K$ es conmutativo, ${displaystyle K[X_{1},dotsX_{n}]}$ es también un anillo conmutativo.
Operaciones en K[X1,..., Xn]
Adición y multiplicación del escalar de los polinomios son los de un espacio vectorial o módulo libre equipados por una base específica (aquí la base de los monomiales). Explícitamente, ${displaystyle p=sum _{alpha in I}p_{alpha }X^{alpha },quad q=sum _{beta in J}q_{beta }X^{beta },}$ Donde $I$ y $J$ son conjuntos finitos de vectores exponentes.
La multiplicación del escalar $p$ y un cuero cabelludo ${displaystyle cin K}$ es
${displaystyle cp=sum _{alpha in I}cp_{alpha }X^{alpha }.}$
Did you mean:
The addition of p and q is
${displaystyle p+q=sum _{alpha in Icup J}(p_{alpha }+q_{alpha })X^{alpha },}$
Donde ${displaystyle p_{alpha }=0}$ si ${displaystyle alpha not in I,}$ y ${displaystyle q_{beta }=0}$ si ${displaystyle beta not in J.}$ Además, si uno tiene ${displaystyle p_{alpha }+q_{alpha }=0}$ para algunos ${displaystyle alpha in Icap J,}$ el término cero correspondiente se elimina del resultado.
La multiplicación es
${displaystyle pq=sum _{gamma in I+J}left(sum _{alphabeta mid alpha +beta =gamma }p_{alpha }q_{beta }right)X^{gamma },}$
Donde ${displaystyle I+J}$ es el conjunto de las sumas de un vector exponente en $I$ y otro en $J$ (suma general de vectores). En particular, el producto de dos monomiales es un monomial cuyo vector exponente es la suma de los vectores exponentes de los factores.
La verificación de los axiomas de un álgebra asociativa es sencilla.
Expresión polinómica
Una expresión polinómica es una expresión construida con escalares (elementos de $K$ ), indeterminados, y los operadores de suma, multiplicación y exponenciación a potencias enteras no negativas.
Como todas estas operaciones se definen ${displaystyle K[X_{1},dotsX_{n}]}$ una expresión polinomio representa un polinomio, que es un elemento ${displaystyle K[X_{1},dotsX_{n}].}$ La definición de un polinomio como combinación lineal de monomiales es una expresión polinomio particular, que a menudo se llama la forma canónica, forma normal, o Forma ampliada del polinomio. Dada una expresión polinomio, se puede calcular Ampliación forma del polinomio representado por expansión con la ley distributiva todos los productos que tienen una suma entre sus factores, y luego el uso de la conmutación (excepto el producto de dos escalares), y la asociación para transformar los términos de la suma resultante en productos de un escalar y un monomial; entonces se obtiene la forma canónica mediante la reagrupación de los términos similares.
La distinción entre una expresión polinómica y el polinomio que representa es relativamente reciente y está motivada principalmente por el auge del álgebra informática, donde, por ejemplo, la prueba de si dos expresiones polinómicas representan el mismo polinomio puede ser un cálculo no trivial.
Caracterización categórica
Si $K$ es un anillo conmutativo, el anillo polinomio $K [X 1,..., X n]$ tiene la siguiente propiedad universal: para cada K-algebra conmutativa $A$ , y todos $n$ -tuple $() x 1,..., x n)$ de elementos de $A$ , hay un homomorfismo álgebra único $K [X 1,..., X n]$ a $A$ que mapa cada uno $X_{i}$ al correspondiente $x_{i}.$ Este homomorfismo es el evaluación homomorfismo que consiste en sustituir $X_{i}$ con $x_{i}$ en cada polinomio.
Como es el caso de cada propiedad universal, esto caracteriza al par ${displaystyle (K[X_{1},dotsX_{n}],(X_{1},dotsX_{n}))}$ hasta un isomorfismo único.
Esto también puede ser interpretado en términos de functores adjuntos. Más precisamente, dejemos $SET$ y $ALG$ ser respectivamente las categorías de conjuntos y conmutativos $K$ - álgebras (aquí, y en lo siguiente, los morfismos son trivialmente definidos). Hay un functor olvidadizo ${displaystyle mathrm {F}:mathrm {ALG} to mathrm {SET} }$ que mapas álgebras a sus conjuntos subyacentes. Por otro lado, el mapa ${displaystyle Xmapsto K[X]}$ define un functor ${displaystyle mathrm {POL}:mathrm {SET} to mathrm {ALG} }$ en la otra dirección. (Si) $X$ es infinito, $K [X]$ es el conjunto de todos los polinomios en un número finito de elementos $X$ .)
Did you mean:
The universal property of the polynomial ring means that OF and POL are adjoint functors. That is, there is a bijection
${displaystyle operatorname {Hom} _{mathrm {SET} }(X,operatorname {F} (A))cong operatorname {Hom} _{mathrm {ALG} }(K[X],A).}$
Esto también se puede expresar diciendo que los anillos polinómicos son álgebras conmutativas libres, ya que son objetos libres en la categoría de álgebras conmutativas. De manera similar, un anillo polinómico con coeficientes enteros es el anillo conmutativo libre sobre su conjunto de variables, ya que los anillos conmutativos y las álgebras conmutativas sobre números enteros son lo mismo.
Estructura graduada
Univariado sobre un anillo versus multivariado
Un polinomio en ${displaystyle K[X_{1},ldotsX_{n}]}$ puede considerarse como un polinomio univariado en el indeterminado $X_{n}$ sobre el anillo ${displaystyle K[X_{1},ldotsX_{n-1}],}$ reagrupando los términos que contienen el mismo poder ${displaystyle X_{n},}$ es decir, usando la identidad
${displaystyle sum _{(alpha _{1},ldotsalpha _{n})in I}c_{alpha _{1},ldotsalpha _{n}}X_{1}^{alpha _{1}}cdots X_{n}^{alpha _{n}}=sum _{i}left(sum _{(alpha _{1},ldotsalpha _{n-1})mid (alpha _{1},ldotsalpha _{n-1},i)in I}c_{alpha _{1},ldotsalpha _{n-1}}X_{1}^{alpha _{1}}cdots X_{n-1}^{alpha _{n-1}}right)X_{n}^{i},}$
que resulta de la distributividad y asociatividad de las operaciones en anillo.
Esto significa que uno tiene un isomorfismo de álgebra
${displaystyle K[X_{1},ldotsX_{n}]cong (K[X_{1},ldotsX_{n-1}])[X_{n}]}$
que asigna cada indeterminado a sí mismo. (Este isomorfismo a menudo se escribe como una igualdad, lo cual se justifica por el hecho de que los anillos polinomiales se definen hasta un isomorfismo único.)
En otras palabras, un anillo polinómico multivariado puede considerarse como un polinomio univariado sobre un anillo polinómico más pequeño. Esto se usa comúnmente para probar propiedades de anillos polinomiales multivariados, mediante inducción del número de indeterminados.
Las principales propiedades de este tipo se enumeran a continuación.
Propiedades que pasan de R a R[X]
En esta sección, $R$ es un anillo conmutativo, $K$ es un campo, $X$ denota un único indeterminado, y, como siempre, $mathbb {Z}$ es el anillo de los enteros. Aquí está la lista de las principales propiedades del anillo que permanecen verdaderas al pasar de $R$ a $R [X]$ .
Si $R$ es un dominio integral, entonces lo mismo $R [X]$ (ya que el coeficiente líder de un producto de polinomios es, si no cero, el producto de los coeficientes principales de los factores).
En particular, ${displaystyle K[X_{1},ldotsX_{n}]}$ y ${displaystyle mathbb {Z} [X_{1},ldotsX_{n}]}$ son dominios integrales.
Si $R$ es un dominio de factorización único entonces lo mismo $R [X]$ . Esto resulta de la lema de Gauss y la característica de factorización única ${displaystyle L[X],}$ Donde $L$ es el campo de las fracciones de $R$ .
En particular, ${displaystyle K[X_{1},ldotsX_{n}]}$ y ${displaystyle mathbb {Z} [X_{1},ldotsX_{n}]}$ son dominios de factorización únicos.
Si $R$ es un anillo noetheriano, entonces lo mismo es $R [X]$ .
En particular, ${displaystyle K[X_{1},ldotsX_{n}]}$ y ${displaystyle mathbb {Z} [X_{1},ldotsX_{n}]}$ son anillos noetherianos; este es el teorema de base de Hilbert.
Si $R$ es un anillo noetheriano, entonces ${displaystyle dim R[X]=1+dim R,}$ Donde ${displaystyle dim }$ "denota la dimensión Krull.
En particular, ${displaystyle dim K[X_{1},ldotsX_{n}]=n}$ y ${displaystyle dim mathbb {Z} [X_{1},ldotsX_{n}]=n+1.}$
Si $R$ es un anillo regular, entonces lo mismo es $R [X]$ ; en este caso, uno tiene ${displaystyle operatorname {gl} ,dim R[X]=dim R[X]=1+operatorname {gl} ,dim R=1+dim R,}$ Donde ${displaystyle operatorname {gl} ,dim }$ "denota la dimensión global.
En particular, ${displaystyle K[X_{1},ldotsX_{n}]}$ y ${displaystyle mathbb {Z} [X_{1},ldotsX_{n}]}$ son anillos regulares, ${displaystyle operatorname {gl} ,dim mathbb {Z} [X_{1},ldotsX_{n}]=n+1,}$ y ${displaystyle operatorname {gl} ,dim K[X_{1},ldotsX_{n}]=n.}$ Esta última igualdad es el teorema syzygy de Hilbert.
Varios indeterminados sobre un campo
Los anillos polinómicos en varias variables sobre un campo son fundamentales en la teoría invariante y la geometría algebraica. Algunas de sus propiedades, como las descritas anteriormente, se pueden reducir al caso de un único indeterminado, pero no siempre es así. En particular, debido a las aplicaciones geométricas, muchas propiedades interesantes deben ser invariantes bajo transformaciones afines o proyectivas de los indeterminados. Esto a menudo implica que no se puede seleccionar uno de los indeterminados para una recurrencia en los indeterminados.
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Bézout's theorem, Hilbert 's Nullstellensatz and Jacobian conjecture are among the most famous properties that are specific to multivariate polynomials over a field.
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Hilbert 's Nullstellensatz
El Nullstellensatz (German for "zero-locus theorem") es un teorema, primero probado por David Hilbert, que se extiende al caso multivariado algunos aspectos del teorema fundamental del álgebra. Es fundamental para la geometría algebraica, como establecer un vínculo fuerte entre las propiedades algebraicas de ${displaystyle K[X_{1},ldotsX_{n}]}$ y las propiedades geométricas de las variedades algebraicas, que son (aproximadamente hablando) conjunto de puntos definidos por las ecuaciones polinomio implícitas.
El Nullstellensatz, tiene tres versiones principales, siendo cada una un corolario de cualquier otra. A continuación se dan dos de estas versiones. Para la tercera versión, se remite al lector al artículo principal del Nullstellensatz.
La primera versión generaliza el hecho de que un polinomio no nulo tiene un complejo cero si y sólo si no es una constante. La declaración es: a set of polynomials $S$ dentro ${displaystyle K[X_{1},ldotsX_{n}]}$ tiene un cero común en un campo algebraicamente cerrado que contiene $K$ , si y sólo si $1$ no pertenece al ideal generado por $S$ , eso es, si $1$ no es una combinación lineal de elementos de $S$ con coeficientes polinomios.
La segunda versión generaliza el hecho de que los polinomios univariables irreducibles sobre los números complejos son asociados a un polinomio de la forma ${displaystyle X-alpha.}$ La declaración es: Si $K$ es algebraicamente cerrado, entonces los ideales máximos de ${displaystyle K[X_{1},ldotsX_{n}]}$ tienen la forma ${displaystyle langle X_{1}-alpha _{1},ldotsX_{n}-alpha _{n}rangle.}$
Teorema de Bézout
El teorema de Bézout puede verse como una generalización multivariada de la versión del teorema fundamental del álgebra que afirma que un polinomio univariado de grado $n$ tiene $n$ raíces complejas, si se cuentan con sus multiplicidades.
En el caso de polinomios bivariados, establece que dos polinomios de grados $d$ y $e$ en dos variables, que no tienen factores comunes de grado positivo, tienen exactamente $de$ ceros comunes en un campo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes, si los ceros se cuentan con su multiplicidad e incluyen los ceros en el infinito.
Para indicar el caso general, y no considerar "cero en infinito" como ceros especiales, es conveniente trabajar con polinomios homogéneos, y considerar ceros en un espacio proyector. En este contexto, un proyecto cero de un polinomio homogéneo ${displaystyle P(X_{0},ldotsX_{n})}$ es, hasta un escalar, un $() n + 1)$ -tuple ${displaystyle (x_{0},ldotsx_{n})}$ de elementos de $K$ que es diferente de $(0,..., 0)$ , y tal que ${displaystyle P(x_{0},ldotsx_{n})=0}$ . Aquí, "hasta un escalado" significa que ${displaystyle (x_{0},ldotsx_{n})}$ y ${displaystyle (lambda x_{0},ldotslambda x_{n})}$ son considerados como el mismo cero para cualquier no cero ${displaystyle lambda in K.}$ En otras palabras, un cero es un conjunto de coordenadas homogéneas de un punto en un espacio proyectivo de dimensión $n$ .
Entonces, el teorema de Bézout afirma: Dado $n$ polinomios homogéneos de grados $d_{1},ldotsd_{n}$ dentro $n + 1$ indeterminados, que tienen sólo un número finito de ceros proyectivos comunes en una extensión algebraicamente cerrada $K$ , la suma de las multiplicidades de estos ceros es el producto $d_{1}cdots d_{n}.$
Conjetura jacobiana
Generalizaciones
Los anillos polinomiales se pueden generalizar de muchas maneras, incluidos anillos polinomiales con exponentes generalizados, anillos de series de potencias, anillos polinomiales no conmutativos, anillos polinomiales sesgados y plataformas polinómicas.
Infinitas variables
Una ligera generalización de los anillos polinomiales es permitir una infinidad de indeterminados. Cada monomio todavía implica sólo un número finito de indeterminados (de modo que su grado sigue siendo finito), y cada polinomio sigue siendo una combinación lineal (finita) de monomios. Por lo tanto, cualquier polinomio individual implica sólo un número finito de indeterminados, y cualquier cálculo finito que involucre polinomios permanece dentro de algún subanillo de polinomios en un número finito de indeterminados. Esta generalización tiene la misma propiedad de los anillos polinomiales habituales, de ser el álgebra conmutativa libre, la única diferencia es que es un objeto libre sobre un conjunto infinito.
También se puede considerar un anillo estrictamente más grande, definiendo como polinomio generalizado una suma formal infinita (o finita) de monomios con un grado acotado. Este anillo es más grande que el anillo polinómico habitual, ya que incluye sumas infinitas de variables. Sin embargo, es más pequeño que el anillo de series de potencias en infinitas variables. Un anillo de este tipo se utiliza para construir el anillo de funciones simétricas en un conjunto infinito.
Exponentes generalizados
Una generalización simple sólo cambia el conjunto del que se extraen los exponentes de la variable. Las fórmulas de suma y multiplicación tienen sentido siempre que se puedan sumar exponentes: Xⁱ ⋅ X^j = X^i+j. Un conjunto para el cual la suma tiene sentido (es cerrado y asociativo) se llama monoide. Al conjunto de funciones desde un monoide N hasta un anillo R que son distintas de cero sólo en un número finito de lugares se le puede dar la estructura de un anillo conocido como R i>[N], el anillo monoide de N con coeficientes en R. La suma se define por componentes, de modo que si c = a + b, entonces c_n = a_n + b_n por cada n en N. La multiplicación se define como el producto de Cauchy, de modo que si c = a ⋅ b, entonces para cada n en N, c_n es la suma de todos a_ib_j donde i, j abarcan todos los pares de elementos de N que suman n.
Cuando N es conmutativa, es conveniente denotar la función a en R[N] como la suma formal:
$sum _{nin N}a_{n}X^{n}$
y luego las fórmulas para la suma y la multiplicación son las familiares:
${displaystyle left(sum _{nin N}a_{n}X^{n}right)+left(sum _{nin N}b_{n}X^{n}right)=sum _{nin N}left(a_{n}+b_{n}right)X^{n}}$
y
${displaystyle left(sum _{nin N}a_{n}X^{n}right)cdot left(sum _{nin N}b_{n}X^{n}right)=sum _{nin N}left(sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}right)X^{n}}$
donde la última suma se toma sobre todos los i, j en N esa suma es n.
Algunos autores como (Lang 2002, II,§3) llegan incluso a tomar esta definición de monoide como punto de partida, y los polinomios regulares de una sola variable son el caso especial en el que N es el monoide de números enteros no negativos. Los polinomios en varias variables simplemente toman N como el producto directo de varias copias del monoide de números enteros no negativos.
Varios ejemplos interesantes de anillos y grupos se forman tomando N como el monoide aditivo de números racionales no negativos (Osbourne 2000, §4.4) error de harv: sin destino: CITEREFOsbourne2000 (ayuda). Véase también la serie Puiseux.
Serie de potencia
Las series de potencias generalizan la elección del exponente en una dirección diferente al permitir infinitos términos distintos de cero. Esto requiere varias hipótesis sobre el monoide N utilizado para los exponentes, para garantizar que las sumas en el producto de Cauchy sean sumas finitas. Alternativamente, se puede colocar una topología en el anillo y luego restringirla a sumas infinitas convergentes. Para la elección estándar de N, los enteros no negativos, no hay problema, y el anillo de series de potencias formales se define como el conjunto de funciones desde N hasta un anillo R con suma por componentes y multiplicación dada por el producto de Cauchy. El anillo de la serie de potencias también puede verse como la terminación del anillo del polinomio con respecto al ideal generado por $x$ .
Anillos polinomiales no conmutativos
Para anillos polinomiales de más de una variable, los productos X⋅Y y Y⋅X son simplemente definido como igual. Se obtiene una noción más general de anillo polinomial cuando se mantiene la distinción entre estos dos productos formales. Formalmente, el anillo polinomial en n variables no conmutantes con coeficientes en el anillo R es el anillo monoide R[N ], donde el monoide N es el monoide libre en n letras, también conocido como el conjunto de todas las cadenas sobre un alfabeto de n símbolos, con multiplicación dada por concatenación. Ni los coeficientes ni las variables necesitan conmutar entre sí, pero los coeficientes y las variables conmutan entre sí.
Así como el anillo polinómico en n variables con coeficientes en el anillo conmutativo R es el álgebra conmutativa libre R de rango n, el anillo polinomial no conmutativo en n variables con coeficientes en el anillo conmutativo R es el R unital asociativo libre. álgebra en generadores n, que no es conmutativa cuando n > 1.
Anillos diferenciales y polinomiales sesgados
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Other generalizations of polynomials are differentiable and skew-polynomial rings.
Un anillo polinomial diferencial es un anillo de operadores diferenciales formado a partir de un anillo R y una derivación δ de R en R. Esta derivación opera en R y se denotará X cuando se la vea como un operador. Los elementos de R también operan en R mediante multiplicación. La composición de operadores se denota como la multiplicación habitual. Se deduce que la relación δ(ab) = aδ(b) + δ(a)b puede reescribirse como
$Xcdot a=acdot X+delta (a).$
Esta relación puede ampliarse para definir una multiplicación sesgada entre dos polinomios en X con coeficientes en R, lo que los convierte en un anillo no conmutativo.
El ejemplo estándar, llamado álgebra Weyl, toma R to be a (usual) polynomial ring k[Y], y δ para ser el derivado polinomio estándar ${tfrac {partial }{partial Y}}$ . Tomando a = Y en la relación anterior, se obtiene la relación de conmutación canónica, X⋅Y − Y⋅X = 1. Extender esta relación por asociación y distributividad permite construir explícitamente el álgebra Weyl. (Lam 2001, §1,ex1.9).
El anillo polinomial sesgado se define de manera similar para un anillo R y un endomorfismo de anillo f de R, extendiendo la multiplicación de la relación X⋅r = f(r)⋅X para producir una multiplicación asociativa que se distribuya sobre la suma estándar. De manera más general, dado un homomorfismo F del monoide N de los enteros positivos en el anillo de endomorfismo de R, la fórmula Xⁿ⋅r = F(n)( r)⋅Xⁿ permite construir un anillo polinomial sesgado. (Lam 2001, §1, ex 1.11) Los anillos polinomiales sesgados están estrechamente relacionados con las álgebras de productos cruzados.
Equipos polinómicos
La definición de un anillo polinómico se puede generalizar relajando el requisito de que la estructura algebraica R sea un campo o un anillo al requisito de que R sea solo un semicampo. o aparejo; la estructura/extensión polinómica resultante R[X] es un equipo polinómico. Por ejemplo, el conjunto de todos los polinomios multivariados con coeficientes de números naturales es un equipo polinomial.

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