Anillo (matemáticas)

En matemáticas, los anillos son estructuras algebraicas que generalizan campos: la multiplicación no necesita ser conmutativa y los inversos multiplicativos no necesitan existir. En otras palabras, un anillo es un conjunto equipado con dos operaciones binarias que satisfacen propiedades análogas a las de la suma y la multiplicación de números enteros. Los elementos del anillo pueden ser números como enteros o números complejos, pero también pueden ser objetos no numéricos como polinomios, matrices cuadradas, funciones y series de potencias.

Formalmente, un anillo es un grupo abeliano cuya operación se llama suma, con una segunda operación binaria llamada multiplicación que es asociativa, es distributivo sobre la operación de suma, y tiene un elemento de identidad multiplicativo. (Algunos autores usan el término "rng" con una i faltante para referirse a la estructura más general que omite este último requisito; ver § Notas sobre la definición).

El hecho de que un anillo sea conmutativo (es decir, si el orden en que se multiplican dos elementos puede cambiar el resultado) tiene profundas implicaciones en su comportamiento. El álgebra conmutativa, la teoría de los anillos conmutativos, es una rama importante de la teoría de anillos. Su desarrollo ha estado muy influenciado por problemas e ideas de la teoría algebraica de números y la geometría algebraica. Los anillos conmutativos más simples son aquellos que admiten división por elementos distintos de cero; tales anillos se llaman campos.

Los ejemplos de anillos conmutativos incluyen el conjunto de enteros con su suma y multiplicación estándar, el conjunto de polinomios con su suma y multiplicación, el anillo de coordenadas de una variedad algebraica afín y el anillo de enteros de un cuerpo numérico. Los ejemplos de anillos no conmutativos incluyen el anillo de n × n matrices cuadradas reales con < i>n ≥ 2, anillos de grupo en teoría de representación, álgebras de operadores en análisis funcional, anillos de operadores diferenciales y anillos de cohomología en topología.

La conceptualización de los anillos abarcó desde la década de 1870 hasta la década de 1920, con contribuciones clave de Dedekind, Hilbert, Fraenkel y Noether. Los anillos se formalizaron primero como una generalización de los dominios de Dedekind que ocurren en la teoría de números, y de los anillos polinómicos y los anillos de invariantes que ocurren en la geometría algebraica y la teoría de invariantes. Más tarde resultaron útiles en otras ramas de las matemáticas como la geometría y el análisis.

Definición

Un anillo es un conjunto R equipado con dos operaciones binarias + (suma) y < b>⋅ (multiplicación) que satisface los siguientes tres conjuntos de axiomas, llamados axiomas de anillo

1. R es un grupo abeliano bajo adición, lo que significa que:
   • ${displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ para todos a, b, c dentro R (es decir, + es asociativo)
   • ${displaystyle a+b=b+a$ para todos a, b dentro R (es decir, + es conmutativo).
   • Hay un elemento 0 en R tales que ${displaystyle a+0=a}$ para todos a dentro R (es decir, 0 es la identidad aditiva).
   • Para cada uno a dentro R existe −a dentro R tales que ${displaystyle a+(-a)=0}$ (es decir, −a es el inverso aditivo de a).
2. R es un monoide bajo multiplicación, lo que significa que:
   • ${displaystyle (acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)}$ para todos a, b, c dentro R (es decir, ⋅ es asociativo).
   • Hay un elemento 1 en R tales que ${displaystyle acdot 1=a}$ y ${displaystyle 1cdot a=a}$ para todos a dentro R (es decir, 1 es la identidad multiplicativa).
3. La multiplicación es distributiva con respecto a la adición, lo que significa que:
   • ${displaystyle acdot (b+c)=(acdot b)+(acdot c)}$ para todos a, b, c dentro R (distribución izquierda).
   • ${displaystyle (b+c)cdot a=(bcdot a)+(ccdot a)}$ para todos a, b, c dentro R (distribución correcta).

Notas sobre la definición

En la terminología de este artículo, se define que un anillo tiene una identidad multiplicativa, mientras que una estructura con la misma definición axiomática pero sin el requisito de una identidad multiplicativa se denomina rng (IPA:). Por ejemplo, el conjunto de enteros pares con los habituales + y ⋅ es un rng, pero no un anillo. Como se explica en § Historia a continuación, muchos autores aplican el término "anillo" sin requerir una identidad multiplicativa.

El símbolo de multiplicación ⋅ generalmente se omite; por ejemplo, xy significa x ⋅ y.

Aunque la suma de anillos es conmutativa, no se requiere que la multiplicación de anillos sea conmutativa: ab no necesariamente es igual a ba. Los anillos que también satisfacen la conmutatividad para la multiplicación (como el anillo de los números enteros) se denominan anillos conmutativos. Los libros sobre álgebra conmutativa o geometría algebraica a menudo adoptan la convención de que anillo significa anillo conmutativo, para simplificar la terminología.

En un anillo, no se requiere que existan inversos multiplicativos. Un anillo conmutativo distinto de cero en el que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo se llama campo.

El grupo aditivo de un anillo es el conjunto subyacente equipado únicamente con la operación de suma. Aunque la definición requiere que el grupo aditivo sea abeliano, esto se puede deducir de los otros axiomas del anillo. La prueba utiliza el "1" y no funciona en un rng. (Para un rng, la omisión del axioma de conmutatividad de la suma lo deja inferible a partir de los supuestos restantes del rng solo para elementos que son productos: ab + cd = cd + ab.)

Aunque la mayoría de los autores modernos usan el término "anillo" como se define aquí, hay algunos que usan el término para referirse a estructuras más generales en las que no se requiere que la multiplicación sea asociativa. Para estos autores, toda álgebra es un "anillo".

Ilustración

Los enteros, junto con las dos operaciones de adición y multiplicación, forman el ejemplo prototípico de un anillo.

El ejemplo más conocido de un anillo es el conjunto de todos los enteros ${displaystyle mathbb {Z}$ consistente en los números

${displaystyle dots-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,dots }$

Los axiomas de un anillo se elaboraron como una generalización de las propiedades familiares de suma y multiplicación de números enteros.

Algunas propiedades

Algunas propiedades básicas de un anillo se derivan inmediatamente de los axiomas:

• La identidad aditiva es única.
• El inverso aditivo de cada elemento es único.
• La identidad multiplicativa es única.
• Para cualquier elemento x en un anillo R, uno tiene x0 = 0 = 0x (cero es un elemento absorbente con respecto a la multiplicación) y (–1)x =x.
• Si 0 = 1 en un anillo R (o más generalmente, 0 es un elemento unidad), entonces R tiene sólo un elemento, y se llama el anillo cero.
• Si un anillo R contiene el anillo cero como subring, entonces R es el anillo cero.
• La fórmula binomial sostiene para cualquier x y Sí. satisfacción xy = Yx.

Ejemplo: Números enteros módulo 4

Equipa el conjunto ${displaystyle mathbb {Z} {Z} =left{overline {0},{overline {1}},{overline {2}},{overline {3}}right}}}$ con las siguientes operaciones:

• La suma ${displaystyle {overline {x}+{overline {y}}} {f}} {f}}} {f}}}}} {\fn}}}}}}}}}}} {f}}}$ dentro ${displaystyle mathbb {Z} {Z}$ es el resto cuando el entero x + Sí. se divide en 4 (como x + Sí. es siempre más pequeño que 8, este resto es x + Sí. o x + Sí. − 4). Por ejemplo, ${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} {2}+{overline {3}={overline {1}}$ y ${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} {3}+{overline {3}={overline {2}}}$
• El producto ${displaystyle {overline {x}cdot {bi}}} {cdot {fn}}$ dentro ${displaystyle mathbb {Z} {Z}$ es el resto cuando el entero xy está dividido por 4. Por ejemplo, ${displaystyle {fnK}cdot {fnMicrosoft Sans Serif} {3}={overline {2}}$ y ${displaystyle {fnK}cdot {fnMicrosoft Sans Serif} {3}={overline {1}}$

Entonces... ${displaystyle mathbb {Z} {Z}$ es un anillo: cada axioma sigue del axioma correspondiente para ${displaystyle mathbb {Z}$ Si x es un entero, el resto de x cuando se divide por 4 puede considerarse como un elemento ${displaystyle mathbb {Z} {Z}$ y este elemento a menudo se denota "x mod 4" o ${displaystyle {overline {x}}}$ que es consistente con la notación para 0, 1, 2, 3. El inverso aditivo de cualquier ${displaystyle {overline {x}}}$ dentro ${displaystyle mathbb {Z} {Z}$ es ${displaystyle - {overline {x}={overline {-x}}$ Por ejemplo, ${displaystyle - {overline {3}={overline {-3}={overline {1}}}$

Ejemplo: matrices de 2 por 2

El conjunto de matrices cuadradas de 2 por 2 con entradas en un campo F es

${displaystyle operatorname {M} _{2}(F)=left{begin{pmatrix}ampleb\c limitadadend{pmatrix}}right sometida a,b,c,din Fright.}$

Con las operaciones de adición de matriz y multiplicación de matriz, ${displaystyle operatorname {M} _{2}(F)}$ satisface los axiomas de anillo anteriores. El elemento ${displaystyle left({begin{smallmatrix}1 limit0$