Anillo local regular

En álgebra conmutativa, un anillo local regular es un anillo local noetheriano que tiene la propiedad de que el número mínimo de generadores de su ideal máximo es igual a su dimensión de Krull. En símbolos, sea A un anillo local noetheriano con máximo ideal m, y supongamos a₁,..., a_n es un conjunto mínimo de generadores de m. Entonces, según el teorema ideal principal de Krull n ≥ dim A, y A se define como regular si n = tenue A.

La denominación ordinario está justificado por el significado geométrico. Un punto x en una variedad algebraica X es no singular si y sólo si el anillo local ${fnMicrosoft Sans Serif}$ de gérmenes x es normal. (Véase también: esquema ordinario.) Los anillos locales regulares son no relacionado con los anillos regulares de von Neumann.

Para los anillos locales noetherianos, existe la siguiente cadena de inclusiones:

Anillos universalmente catenarios. Anillos Cohen-Macaulay. Anillos Gorenstein. anillos completos de intersección. anillos locales regulares

Caracterizaciones

Hay una serie de definiciones útiles de un anillo local regular, uno de los cuales se menciona anteriormente. En particular, si ${displaystyle A}$ es un anillo local Noetherian con el máximo ideal ${displaystyle {m}$, entonces los siguientes son definiciones equivalentes:

• Vamos ${displaystyle {mathfrak}=(a_{1},ldotsa_{n}}}$ Donde ${displaystyle n}$ es elegido lo más pequeño posible. Entonces... ${displaystyle A}$ es regular si

${displaystyle dim A=n,}$,

donde la dimensión es la dimensión Krull. El conjunto mínimo de generadores de ${displaystyle a_{1},ldotsa_{n}$ entonces se llaman sistema ordinario de parámetros.

• Vamos ${displaystyle k=A/{mathfrak {m}}$ ser el campo de residuos ${displaystyle A}$. Entonces... ${displaystyle A}$ es regular si

${displaystyle dim _{k}{mathfrak {m}/{mathfrak {m}{2}=dim A,}$,

donde la segunda dimensión es la dimensión Krull.

• Vamos ${displaystyle {mbox{gl dim} }A:=sup{fnK}mmid M{text{ is an }A{text{-module}}}$ ser la dimensión mundial ${displaystyle A}$ (es decir, el supremum de las dimensiones proyectivas de todas las ${displaystyle A}$-módulos.) Entonces... ${displaystyle A}$ es regular si

${displaystyle {mbox{gl dim}}Asignadoinfty ,}$,

en cuyo caso, ${displaystyle {mbox{gl dim}A=dim A}$.

Multiplicidad un criterio estados: si la terminación de un anillo local noetheriano A no se mezcla (en el sentido de que no hay un divisor principal embebido del ideal cero y para cada primo mínimo p, ${displaystyle dim {widehat {A}/p=dim {fnK}$) y si la multiplicidad de A es uno, entonces A es normal. (El contrario es siempre cierto: la multiplicidad de un anillo local regular es uno.) Este criterio corresponde a una intuición geométrica en geometría algebraica que un anillo local de una intersección es regular si y sólo si la intersección es una intersección transversal.

En el caso positivo, hay el siguiente resultado importante debido a Kunz: A Noetherian local ring ${displaystyle R.$ de características positivas p es regular si y sólo si el morfismo Frobenius ${displaystyle Rto R,rmapsto r^{p}$ es plana y ${displaystyle R.$ se reduce. Ningún resultado similar se conoce en la característica cero (no está claro cómo uno debe reemplazar el morfismo Frobenius).

Ejemplos

1. Cada campo es un anillo local regular. Estos tienen (Krull) dimensión 0. De hecho, los campos son exactamente los anillos locales regulares de la dimensión 0.
2. Cualquier anillo de valoración discreto es un anillo local regular de la dimensión 1 y los anillos locales regulares de la dimensión 1 son exactamente los anillos de valoración discretos. Específicamente, si k es un campo y X es un indeterminado, luego el anillo de la serie de poder formal k[[2]X]] es un anillo local regular que tiene (Krull) dimensión 1.
3. Si p es un número primario ordinario, el anillo de enteros p-adic es un ejemplo de un anillo de valoración discreto, y por lo tanto un anillo local regular, que no contiene un campo.
4. Más generalmente, si k es un campo y X₁, X₂,... X_d son indeterminados, entonces el anillo de la serie de poder formal k[[2]X₁, X₂,... X_d]] es un anillo local regular teniendo (Krull) dimensión d.
5. Si A es un anillo local regular, entonces sigue que el anillo de la serie de energía formal A[[2]x]] es local regular.
6. Si Z es el anillo de los enteros y X es un indeterminado, el anillo Z[X]_{(2, X)} (es decir, el anillo Z[X] localizado en el ideal principal (2, X)) es un ejemplo de un anillo local regular de 2 dimensiones que no contiene un campo.
7. Por el teorema de la estructura de Irvin Cohen, un anillo local completo de la dimensión Krull d que contiene un campo k es un anillo de la serie de energía d variables sobre un campo de extensión k.

No ejemplos

El anillo ${displaystyle A=k[x]/(x^{2}$ no es un anillo local regular ya que es dimensional finito pero no tiene dimensión global finita. Por ejemplo, hay una resolución infinita

${displaystyle cdots {xrightarrow {cdot x}{frac {k[x]}{(x^{2}}}}{xrightarrow {cdot x}{frac {k[x]}{(x^{2}}}}}}to kto 0}$

Usando otra de las caracterizaciones, ${displaystyle A}$ tiene exactamente un ideal primo ${fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}}$, así que el anillo tiene la dimensión de Krull ${displaystyle 0}$, pero ${displaystyle {m} {cH00}} {cH00}$ es el cero ideal, así que ${displaystyle {Mathfrak {}/{Mathfrak} {m}} {2}}$ tiene ${displaystyle k}$ por lo menos ${displaystyle 1}$. (De hecho es igual a ${displaystyle 1}$ desde entonces ${displaystyle x+{mthfrak {m}}$ es una base.)

Propiedades básicas

El teorema de Auslander-Buchsbaum establece que cada anillo local regular es un dominio de factorización único.

Cada localización, así como la finalización de un anillo local regular, es regular.

Si ${displaystyle (A,{mathfrak {m})}$ es un anillo local completo que contiene un campo, entonces

${displaystyle Acong k[x_{1},ldotsx_{d}]}$,

Donde ${displaystyle k=A/{mathfrak {m}}$ es el campo de residuos, y ${displaystyle d=dim A}$, la dimensión Krull.

Ver también: La desigualdad de Serre en altura y las conjeturas de multiplicidad de Serre.

Origen de las nociones básicas

Los anillos locales regulares fueron definidos originalmente por Wolfgang Krull en 1937, pero se hicieron prominentes por primera vez en el trabajo de Oscar Zariski unos años más tarde, quien demostró que geométricamente, un anillo local regular corresponde a un punto liso en una variedad algebraica. Sea Y una variedad algebraica contenida en un espacio n afín sobre un campo perfecto, y supongamos que Y es el lugar geométrico de fuga de los polinomios < i>f₁,...,f_m. Y es no singular en P si Y satisface una condición jacobiana: Si M = (∂f< sub>i/∂x_j) es la matriz de derivadas parciales de las ecuaciones definitorias de la variedad, entonces el rango de la matriz encontrado al evaluar M en P es n − tenue Y. Zariski demostró que Y es no singular en P si y sólo si el anillo local de Y en P es regular. (Zariski observó que esto puede fallar en campos no perfectos). Esto implica que la suavidad es una propiedad intrínseca de la variedad; en otras palabras, no depende de dónde o cómo está incrustada la variedad en el espacio afín. También sugiere que los anillos locales regulares deberían tener buenas propiedades, pero antes de la introducción de técnicas del álgebra homológica se sabía muy poco en esta dirección. Una vez que se introdujeron estas técnicas en la década de 1950, Auslander y Buchsbaum demostraron que cada anillo local regular es un dominio de factorización único.

Otra propiedad sugerida por la intuición geométrica es que la localización de un anillo local regular debería ser nuevamente regular. Una vez más, esto quedó sin resolver hasta la introducción de técnicas homológicas. Fue Jean-Pierre Serre quien encontró una caracterización homológica de los anillos locales regulares: un anillo local A es regular si y sólo si A tiene una dimensión global finita, es decir, si cada < El módulo i>A tiene una resolución proyectiva de longitud finita. Es fácil demostrar que la propiedad de tener una dimensión global finita se conserva bajo la localización y, en consecuencia, que las localizaciones de anillos locales regulares en ideales primos vuelven a ser regulares.

Esto justifica la definición de regularidad para anillos conmutativos no locales que se da en la siguiente sección.

Anillo normal

En álgebra conmutativa, un anillo regular es un anillo noetheriano conmutativo, de modo que la localización en cada ideal primo es un anillo local regular: es decir, cada localización tiene la propiedad de que el número mínimo de generadores de su ideal máximo es igual a su dimensión de Krull.

El origen del término anillo regular radica en el hecho de que una variedad afín es no singular (es decir, todo punto es regular) si y sólo si su anillo de funciones regulares es regular.

Para anillos regulares, la dimensión de Krull concuerda con la dimensión homológica global.

Jean-Pierre Serre definió un anillo regular como un anillo noetheriano conmutativo de dimensión homológica global finita. Su definición es más fuerte que la definición anterior, que permite anillos regulares de dimensión Krull infinita.

Ejemplos de anillos regulares incluyen campos (de dimensión cero) y dominios de Dedekind. Si A es regular, entonces también lo es A[X], con una dimensión uno mayor que la de A.

En particular si k es un campo, el anillo de enteros, o un dominio ideal principal, luego el anillo polinomio ${displaystyle k[X_{1},ldots X_{n}$ es normal. En el caso de un campo, este es el teorema syzygy de Hilbert.

Cualquier localización de un anillo regular también es regular.

Un anillo regular se reduce pero no necesita ser un dominio integral. Por ejemplo, el producto de dos dominios integrales regulares es regular, pero no un dominio integral.