Anillo local

En matemáticas, más concretamente en teoría de anillos, los anillos locales son ciertos anillos comparativamente simples, y sirven para describir lo que se denomina "comportamiento local", en el sentido de funciones definidas en variedades o variedades, o de campos numéricos algebraicos examinados en un lugar particular, o primo. Álgebra local es la rama del álgebra conmutativa que estudia los anillos locales conmutativos y sus módulos.

En la práctica, un anillo local conmutativo a menudo surge como resultado de la localización de un anillo en un ideal primo.

El concepto de anillos locales fue introducido por Wolfgang Krull en 1938 bajo el nombre Stellenringe. El término inglés anillo local se debe a Zariski.

Definición y primeras consecuencias

Un anillo R es un anillo local si tiene cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes:

• R tiene un ideal de máxima izquierda único.
• R tiene un ideal de máxima derecha.
• 1 ل 0 y la suma de cualquier dos no unidades en R es una no-unidad.
• 1 ل 0 y si x es cualquier elemento de R, entonces x o 1 − x es una unidad.
• Si una suma finita es una unidad, entonces tiene un término que es una unidad (esto dice en particular que la suma vacía no puede ser una unidad, por lo que implica 1 ≠ 0).

Si estas propiedades se mantienen, entonces el ideal izquierdo máximo único coincide con el ideal derecho máximo único y con el radical de Jacobson del anillo. La tercera de las propiedades enumeradas anteriormente dice que el conjunto de no unidades en un anillo local forma un ideal (propio), necesariamente contenido en el radical de Jacobson. La cuarta propiedad se puede parafrasear de la siguiente manera: un anillo R es local si y solo si no existen dos ideales coprimos propios (principales) (izquierda), donde dos ideales I₁, I₂ se denominan coprime si R = yo₁ + yo₂.

En el caso de los anillos conmutativos, no es necesario distinguir entre ideales izquierdo, derecho y de dos lados: un anillo conmutativo es local si y solo si tiene un único ideal maximal. Antes de 1960, muchos autores requerían que un anillo local fuera (izquierdo y derecho) noetheriano, y los anillos locales (posiblemente no noetherianos) se llamaban anillos cuasi-locales. En este artículo no se impone este requisito.

Un anillo local que es un dominio integral se denomina dominio local.

Ejemplos

• Todos los campos (y campos de musgo) son anillos locales, ya que {0} es el único ideal máximo en estos anillos.
• El anillo ${displaystyle mathbb {Z} /p^{n}mathbb {Z}$ es un anillo local (p primo, n ≥ 1). El ideal maximal único consiste en todos los múltiplos de p.
• Más generalmente, un anillo no cero en el que cada elemento es una unidad o nilpotent es un anillo local.
• Una clase importante de anillos locales son anillos de valoración discretos, que son dominios ideales locales principales que no son campos.
• El anillo ${displaystyle mathbb {C} [x]}$, cuyos elementos son series infinitas ${textstyle sum ¿Qué? }a_{i}x^{i}$ donde se dan multiplicaciones ${fnMicrosoft Sans Serif}* ¿Qué? }c_{i}x^{i}$ tales que ${textstyle c_{n}=sum ¿Qué?$, es local. Su ideal maximal único consiste en todos los elementos que no son invertibles. En otras palabras, se compone de todos los elementos con término constante cero.
• Más generalmente, cada anillo de serie de energía formal sobre un anillo local es local; el ideal máximo consiste en esas series de energía con un término constante en el ideal máximo del anillo base.
• Del mismo modo, el álgebra de números duales sobre cualquier campo es local. Más generalmente, si F es un anillo local y n es un entero positivo, entonces el anillo cociente F[X]/Xⁿ) es local con ideal maximal consistente en las clases de polinomios con término constante perteneciente al ideal máximo de F, ya que se puede utilizar una serie geométrica para invertir todos los otros polinomios modulo Xⁿ. Si F es un campo, luego elementos de F[X]/Xⁿ) son nilpotente o invertible. (Los números duales sobre F corresponde al caso n = 2.)
• Los anillos cocientes de anillos locales son locales.
• El anillo de números racionales con denominador extraño es local; su ideal máximo consiste en las fracciones con numerador e incluso denominador extraño. Son los enteros localizados en 2.
• Más generalmente, dado cualquier anillo conmutativo R y cualquier ideal primo P de R, la localización de R a P es local; el ideal máximo es el ideal generado por P en esta localización; es decir, el ideal máximo consiste en todos los elementos a/s con un P y s R - P.

No ejemplos

• El anillo de los polinomios ${displaystyle K[x]}$ sobre un terreno ${displaystyle K}$ no es local, ya que ${displaystyle x}$ y ${displaystyle 1-x}$ no son unidades, pero su suma es una unidad.
• El anillo de los enteros ${displaystyle mathbb {Z}$ no es local ya que tiene un ideal máximo ${displaystyle (p)}$ para cada primo ${displaystyle p}$.

Anillo de gérmenes

Para motivar el nombre "local" para estos anillos, consideramos funciones continuas de valor real definidas en algún intervalo abierto alrededor de 0 de la línea real. Solo estamos interesados en el comportamiento de estas funciones cerca de 0 (su "comportamiento local") y, por lo tanto, identificaremos dos funciones si coinciden en algún intervalo abierto (posiblemente muy pequeño) alrededor de 0. Esta identificación define un relación de equivalencia, y las clases de equivalencia son lo que se denominan los "gérmenes de funciones continuas de valor real en 0". Estos gérmenes se pueden sumar y multiplicar y formar un anillo conmutativo.

Para ver que este anillo de gérmenes es local, necesitamos caracterizar sus elementos invertibles. Un germen f es invertible si y solo si f(0) ≠ 0. La razón: si f(0) ≠ 0, entonces por continuidad hay un intervalo abierto alrededor de 0 donde f es distinto de cero, y podemos formar la función g(x) = 1/f(x) en este intervalo. La función g da lugar a un germen, y el producto de fg es igual a 1. (Por el contrario, si f es invertible, entonces hay es alguna g tal que f(0)g(0) = 1, por lo tanto f (0) ≠ 0.)

Con esta caracterización, está claro que la suma de dos gérmenes no invertibles es nuevamente no invertible, y tenemos un anillo local conmutativo. El ideal máximo de este anillo consiste precisamente en aquellos gérmenes f con f(0) = 0.

Exactamente los mismos argumentos funcionan para el anillo de gérmenes de funciones continuas de valor real en cualquier espacio topológico en un punto dado, o el anillo de gérmenes de funciones diferenciables en cualquier variedad diferenciable en un punto dado, o el anillo de gérmenes de funciones racionales sobre cualquier variedad algebraica en un punto dado. Todos estos anillos son por lo tanto locales. Estos ejemplos ayudan a explicar por qué los esquemas, las generalizaciones de variedades, se definen como espacios especiales localmente anillados.

Teoría de la valoración

Los anillos locales juegan un papel importante en la teoría de la valoración. Por definición, un anillo de valoración de un campo K es un subing R tal que por cada elemento no cero x de K, al menos uno de x y x⁻¹ está dentro R. Cualquier subring será un anillo local. Por ejemplo, el anillo de números racionales con denominador impar (antes mencionado) es un anillo de valoración en ${displaystyle mathbb {Q}$.

Dado un campo K, que puede ser o no un campo de función, podemos buscar anillos locales en él. Si K fuera de hecho el campo funcional de una variedad algebraica V, entonces para cada punto P de V podríamos intente definir un anillo de valoración R de funciones "definidas en" P. En los casos en que V tiene dimensión 2 o más hay una dificultad que se ve así: si F y G son funciones racionales sobre V con

F()P) G()P) = 0,

la función

F/G

es una forma indeterminada en P. Considerando un ejemplo simple, como

Y/X,

se acercó a lo largo de una línea

Y = tX,

se ve que el valor en P es un concepto sin una definición simple. Se sustituye por el uso de valoraciones.

No conmutativa

Los anillos locales no conmutativos surgen naturalmente como anillos de endomorfismo en el estudio de las descomposiciones de suma directa de módulos sobre algunos otros anillos. Específicamente, si el anillo de endomorfismo del módulo M es local, entonces M es indescomponible; por el contrario, si el módulo M tiene una longitud finita y es indescomponible, entonces su anillo de endomorfismo es local.

Si k es un campo de característica p > 0 y G es un p-grupo finito, entonces el álgebra de grupos kG es local.

Algunos hechos y definiciones

Caso conmutativo

También escribimos (R, m) para un anillo local conmutativo R con ideal máximo m. Cada uno de estos anillos se convierte en un anillo topológico de forma natural si se toman las potencias de m como una base vecinal de 0. Esta es la topología m-ádica en R. Si (R, m) es un anillo local noetheriano conmutativo, entonces

${displaystyle bigcap _{i=1}{infty }m^{i}= {0}$

()Teorema de intersección de Krull), y sigue que R con el mLa topología adictiva es un espacio Hausdorff. El teorema es una consecuencia de la lema Artin-Rees junto con la lema de Nakayama, y, como tal, la suposición "noetheriana" es crucial. De hecho, vamos R ser el anillo de gérmenes de funciones infinitamente diferenciables en 0 en la línea real y m ser el ideal máximo ${displaystyle (x)}$. Entonces una función no cero ${displaystyle e^{-{1over x^{2}}}$ pertenece ${displaystyle m^{n}$ para cualquier n, desde esa función dividida ${displaystyle x^{n}$ sigue siendo suave.

Como para cualquier anillo topológico, uno puede preguntarse si (R, m) está completo (como un anillo uniforme). espacio); si no lo es, se considera su finalización, nuevamente un anillo local. Los anillos locales noetherianos completos se clasifican según el teorema de la estructura de Cohen.

En geometría algebraica, especialmente cuando R es el anillo local de un esquema en algún punto P, R / m se denomina campo residual del anillo local o campo residual del punto P.

Si ()R, m) y ()S, n) son anillos locales, luego un Homomorfismo de anillo local desde R a S es un homomorfismo de anillo f: R → S con la propiedad f()m⊆ n. Estos son precisamente los homomorfismos de anillo que son continuos con respecto a las topologías dadas en R y S. Por ejemplo, considere el morfismo del anillo ${displaystyle mathbb {C} [x]/(x^{3})to mathbb {C} [x,y]/(x^{3},x^{2}y,y^{4}}$ envío ${displaystyle xmapsto x}$. El preimage de ${displaystyle (x,y)}$ es ${displaystyle (x)}$. Otro ejemplo de un morfismo de anillo local es dado por ${displaystyle mathbb {C} [x]/(x^{3})to mathbb {C} [x]/(x^{2}$.

Caso general

El radical de Jacobson m de un anillo local R (que es igual al único ideal maximal izquierdo y también al único ideal maximal derecho) consiste precisamente en el no -unidades del anillo; además, es el único ideal maximal bilateral de R. Sin embargo, en el caso no conmutativo, tener un único ideal maximal de dos lados no es equivalente a ser local.

Para un elemento x del anillo local R, los siguientes son equivalentes:

• x tiene un inverso izquierdo
• x tiene un derecho inverso
• x es invertible
• x no está m.

Si (R, m) es local, entonces el factor suena R /m es un campo sesgado. Si J ≠ R es cualquier ideal bilateral en R, entonces el anillo factorial R/J es de nuevo local, con ideal máximo m/J.

Un teorema profundo de Irving Kaplansky dice que cualquier módulo proyectivo sobre un anillo local es gratuito, aunque el caso en el que el módulo se genera finitamente es un corolario simple para la lema de Nakayama. Esto tiene una consecuencia interesante en términos de equivalencia Morita. Es decir, si P es un proyecto de generación finita R módulo, entonces P es isomorfo al módulo libre Rⁿ, y por lo tanto el anillo de endomorfismos ${displaystyle mathrm {End} _{R}(P)}$ es isomorfo al anillo completo de matrices ${displaystyle mathrm {M} _{n}(R)}$. Desde cada anillo Morita equivalente al anillo local R es de la forma ${displaystyle mathrm {End} _{R}(P)}$ para tal P, la conclusión es que el único anillo Morita equivalente a un anillo local R son (isómorfo a) los anillos de matriz sobre R.