Anillo graduado

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En matemáticas, en particular álgebra abstracta, a Anillo de grado es un anillo tal que el grupo aditivo subyacente es una suma directa de grupos abelianos $R_{i}$ tales que $R_{i}R_{j}subseteq R_{{i+j}}$ . El conjunto índice es generalmente el conjunto de enteros no negativos o el conjunto de enteros, pero puede ser cualquier monoide. La descomposición de la suma directa suele denominarse gradación o clasificación.

A Módulo de grado se define de manera similar (ver abajo para la definición precisa). Generaliza espacios vectoriales de grado. Un módulo de grado que también es un anillo de grado se llama un álgebra de grado. Un anillo de grado también podría ser visto como un grado $mathbb {Z}$ - álgebra.

La asociatividad no es importante (de hecho, no se usa en absoluto) en la definición de un anillo graduado; por lo tanto, la noción se aplica también a las álgebras no asociativas; por ejemplo, se puede considerar un álgebra de Lie graduada.

Primeras propiedades

Por lo general, se supone que el conjunto de índices de un anillo graduado es el conjunto de enteros no negativos, a menos que se especifique lo contrario. Este es el caso en este artículo.

Un anillo graduado es un anillo que se descompone en una suma directa

{displaystyle R=bigoplus _{n=0}^{infty }R_{n}=R_{0}oplus R_{1}oplus R_{2}oplus cdots }

de grupos aditivos, tales que

{displaystyle R_{m}R_{n}subseteq R_{m+n}}

para todos los enteros no negativos $m$ y $n$ .

Un elemento no cero de $R_{n}$ se dice que homogénea de grado $n$ . Por definición de una suma directa, cada elemento no cero $a$ de $R$ puede ser escrito como una suma ${displaystyle a=a_{0}+a_{1}+cdots +a_{n}}$ donde cada $a_{i}$ es 0 o homogéneo de grado $i$ . El no cero $a_{i}$ son componentes homogéneos de $a$ .

Algunas propiedades básicas son:

$R_{0}$ es un subing de $R$ ; en particular, la identidad multiplicativa $1$ es un elemento homogéneo del grado cero.
Para cualquier $n$ , $R_{n}$ es dos caras $R_{0}$ -modulo, y la suma directa descomposición es una suma directa $R_{0}$ -módulos.
$R$ es un Asociación $R_{0}$ - álgebra.

Un ideal ${displaystyle Isubseteq R}$ es homogénea, si por cada ${displaystyle ain I}$ , los componentes homogéneos de $a$ también pertenecen a ${displaystyle I.}$ (Equivalentemente, si es un submodulo de grado $R$ ; véase el módulo Graded.) La intersección de un ideal homogéneo $I$ con $R_{n}$ es un $R_{0}$ - Submodule of $R_{n}$ llamado parte homogénea grado $n$ de $I$ . Un ideal homogéneo es la suma directa de sus partes homogéneas.

Si $I$ es un ideal homogéneo de dos caras en $R$ , entonces $R/I$ es también un anillo de grado, descompuesto como

{displaystyle R/I=bigoplus _{n=0}^{infty }R_{n}/I_{n},}

Donde $I_{n}$ es la parte homogénea del grado $n$ de $I$ .

Ejemplos básicos

Anillo (no de grado) R se puede dar una gradación al dejar ${displaystyle R_{0}=R}$ , y ${displaystyle R_{i}=0}$ para i Esto se llama el gradación trivial onR.
El anillo polinomio ${displaystyle R=k[t_{1},ldotst_{n}]}$ se clasifica por grado: es una suma directa $R_{i}$ compuesto por polinomios homogéneos de grado i.
Vamos S ser el conjunto de todos los elementos no cero homogéneos en un dominio integral de grado R. Luego la localización de R con respecto a S es un $mathbb {Z}$ - Anillo de grado.
Si I es un ideal en un anillo conmutativo R, entonces ${displaystyle bigoplus _{n=0}^{infty }I^{n}/I^{n+1}}$ es un anillo de grado llamado el anillo de grado asociado R y I; geométricamente, es el anillo de coordenadas del cono normal a lo largo de la subvariedad definida por I.
Vamos X ser un espacio topológico, Hⁱ()X; R) igrupo de cohomología con coeficientes en un anillo R. Entonces... H^*()X; R), el anillo de cohomología X con coeficientes en R, es un anillo de grado cuyo grupo subyacente es ${displaystyle bigoplus _{i=0}^{infty }H^{i}(X;R)}$ con la estructura multiplicativa dada por el producto de la taza.

Módulo calificado

La idea correspondiente en la teoría de módulos es la de un módulo graduado, es decir, un módulo izquierdo M sobre un anillo graduado R tal que también

M=bigoplus _{{iin {mathbb {N}}}}M_{i},

{displaystyle R_{i}M_{j}subseteq M_{i+j}.}

Ejemplo: un espacio vectorial graduado es un ejemplo de un módulo calificado sobre un campo (donde el campo tiene una calificación trivial).

Ejemplo: un anillo graduado es un módulo graduado sobre sí mismo. Un ideal en un anillo graduado es homogéneo si y solo si es un submódulo graduado. El aniquilador de un módulo graduado es un ideal homogéneo.

Ejemplo: Dado un ideal I en un anillo conmutativo R y un R- Mobiliario M, la suma directa ${displaystyle bigoplus _{n=0}^{infty }I^{n}M/I^{n+1}M}$ es un módulo de grado sobre el anillo de grado asociado ${displaystyle bigoplus _{0}^{infty }I^{n}/I^{n+1}}$ .

Un morfismo $f:Nto M$ entre módulos de grado, llamados Morfismo de grado, es un morfismo de los módulos subyacentes que respeta la clasificación; es decir, $f(N_{i})subseteq M_{i}$ . A Submodulo de categoría es un submodulo que es un módulo de grado en derecho propio y tal que la inclusión set-teorética es un morfismo de módulos de grado. Explícitamente, un módulo de grado N es un submodulo de grado M si y sólo si es un submodulo de M y satisfizos $N_{i}=Ncap M_{i}$ . El núcleo y la imagen de un morfismo de los módulos de grado son submódulos de grado.

Observación: dar un morfismo graduado de un anillo graduado a otro anillo graduado con la imagen en el centro es lo mismo que dar la estructura de un álgebra graduada al último anillo.

Dado un módulo de grado $M$ , el $ell$ - twist of $M$ es un módulo de grado definido por ${displaystyle M(ell)_{n}=M_{n+ell }}$ . (cf. hoja retorcida de Serre en geometría algebraica.)

Vamos M y N ser módulos clasificados. Si $fcolon Mto N$ es un morfismo de los módulos, entonces f se dice que tiene grado d si ${displaystyle f(M_{n})subseteq N_{n+d}}$ . Un derivado exterior de formas diferenciales en geometría diferencial es un ejemplo de tal morfismo que tiene grado 1.

Invariantes de módulos graduados

Dado un módulo de grado M sobre un anillo de grado conmutativo R, uno puede asociar la serie de potencia formal ${displaystyle P(M,t)in mathbb {Z} [![t]!]}$ :

P(M,t)=sum ell (M_{n})t^{n}

(suponiendo $ell (M_{n})$ son finitos.) Se llama la serie Hilbert-Poincaré M.

Se dice que un módulo calificado se genera finitamente si el módulo subyacente se genera finitamente. Los generadores pueden tomarse como homogéneos (reemplazando los generadores por sus partes homogéneas).

Suppose R es un anillo polinomio $k[x_{0},dotsx_{n}]$ , k un campo, y M un módulo de grado finitamente generado sobre él. Luego la función $nmapsto dim _{k}M_{n}$ se llama la función de Hilbert M. La función coincide con el polinomio de valor entero para grandes n llamado el polinomio Hilbert M.

Álgebra graduada

Un álgebra A sobre un anillo R es un álgebra graduada si está graduada como un anillo.

En el caso habitual donde el anillo R no se clasifica (en particular si R es un campo), se le da la clasificación trivial (todo elemento de R es de grado 0). Así, ${displaystyle Rsubseteq A_{0}}$ y las piezas de grado $A_{i}$ son R-módulos.

En el caso de que el anillo R también sea un anillo graduado, se requiere que

R_{i}A_{j}subseteq A_{i+j}

En otras palabras, requerimos que A sea un módulo izquierdo calificado sobre R.

Los ejemplos de álgebras graduadas son comunes en matemáticas:

Anillos polinomio. Los elementos homogéneos de grado n son exactamente los polinomios homogéneos de grado n.
El álgebra tensor ${displaystyle T^{bullet }V}$ de un espacio vectorial V. Los elementos homogéneos de grado n son los tensores del orden n, ${displaystyle T^{n}V}$ .
El álgebra exterior ${displaystyle textstyle bigwedge nolimits ^{bullet }V}$ y el álgebra simétrica ${displaystyle S^{bullet }V}$ también son álgebras clasificadas.
El anillo de cohomología ${displaystyle H^{bullet }}$ en cualquier teoría de la cohomología también se califica, siendo la suma directa de los grupos de cohomología $H^{n}$ .

Las álgebras graduadas se utilizan mucho en álgebra conmutativa y geometría algebraica, álgebra homológica y topología algebraica. Un ejemplo es la estrecha relación entre polinomios homogéneos y variedades proyectivas (cf. Anillo de coordenadas homogéneo).

Álgebras y anillos graduados en G

Las definiciones anteriores se han generalizado a los anillos graduados usando cualquier monoide G como un conjunto de índices. Un anillo de grado G R es un anillo con una descomposición de suma directa

{displaystyle R=bigoplus _{iin G}R_{i}}

tal que

{displaystyle R_{i}R_{j}subseteq R_{icdot j}.}

Elementos de R que miente dentro $R_{i}$ para algunos $i in G$ se dice que homogénea de grado i.

La noción previamente definida de "anillo de grado" ahora se convierte en la misma cosa que una $mathbb {N}$ - anillo de grado, donde $mathbb {N}$ es el monoide de números naturales bajo adición. Las definiciones para módulos y álgebras de grado también se pueden ampliar de esta manera reemplazando el conjunto de indexación $mathbb {N}$ con cualquier monoide G.

Observaciones:

Si no requerimos que el anillo tenga un elemento de identidad, los semigrupos pueden reemplazar los monoides.

Ejemplos:

Un grupo clasifica naturalmente el anillo de grupo correspondiente; de forma similar, los anillos monoide son graduados por el monoide correspondiente.
Un superálgebra (asociativo) es otro término para un $mathbb{Z } _{2}$ - álgebra de grado. Ejemplos incluyen álgebras Clifford. Aquí los elementos homogéneos son de grado 0 (even) o 1 (odd).

Anticomutatividad

Algunos anillos de grado (o álgebras) están dotados con una estructura anticommutante. Esta noción requiere un homomorfismo del monoide de la gradación en el monoide aditivo ${displaystyle mathbb {Z} /2mathbb {Z} }$ , el campo con dos elementos. Específicamente, a monoide firmado consiste en un par ${displaystyle (Gammavarepsilon)}$ Donde $Gamma$ es un monoide y ${displaystyle varepsilon colon Gamma to mathbb {Z} /2mathbb {Z} }$ es un homomorfismo de monoides aditivos. An anticommutante $Gamma$ - anillo de grado es un anillo A clasificado con respecto a Dimensiones tales que:

{displaystyle xy=(-1)^{varepsilon (deg x)varepsilon (deg y)}yx,}

para todos los elementos homogéneos x e y.

Ejemplos

Un álgebra exterior es un ejemplo de un álgebra anticommutante, clasificada con respecto a la estructura ${displaystyle (mathbb {Z}varepsilon)}$ Donde ${displaystyle varepsilon colon mathbb {Z} to mathbb {Z} /2mathbb {Z} }$ es el mapa cociente.
Un álgebra supercommutante (a veces llamado álgebra anillo asociativo) es lo mismo que un anticommutante ${displaystyle (mathbb {Z}varepsilon)}$ - álgebra de grado, donde $varepsilon$ es el mapa de identidad de la estructura aditiva ${displaystyle mathbb {Z} /2mathbb {Z} }$ .

Monoide graduado

Intuitivamente, un monoide de grado es el subconjunto de un anillo de grado, ${displaystyle bigoplus _{nin mathbb {N} _{0}}R_{n}}$ , generado por el $R_{n}$ Es, sin usar la parte aditiva. Es decir, el conjunto de elementos del monoide grado es ${displaystyle bigcup _{nin mathbb {N} _{0}}R_{n}}$ .

Formalmente, un monoide de grado es un monoide $(M,cdot)$ , con una función de gradación ${displaystyle phi:Mto mathbb {N} _{0}}$ tales que ${displaystyle phi (mcdot m')=phi (m)+phi (m')}$ . Note que la gradación de ${displaystyle 1_{M}}$ es necesariamente 0. Algunos autores piden además que ${displaystyle phi (m)neq 0}$ cuando m no es la identidad.

Suponiendo que las gradas de elementos no identificados no sean cero, el número de elementos de gradación n es en la mayoría $g^{n}$ Donde g es la cardinalidad de un conjunto generador G del monoide. Por lo tanto el número de elementos de la gradación n o menos es en la mayoría $n+1$ (por $g=1$ ) o ${displaystyle {frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$ más. De hecho, cada elemento de este tipo es el producto de la mayoría n elementos G, y sólo ${displaystyle {frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$ tales productos existen. Del mismo modo, el elemento de identidad no puede ser escrito como producto de dos elementos no-identitarios. Es decir, no hay divisor de unidad en un monoide de grado.

Serie de potencia indexada por un monoide graduado

Esta noción permite extender la noción de anillo de serie de potencia. En lugar de tener la familia de indexación $mathbb N$ , la familia de indexación podría ser cualquier monoide de grado, asumiendo que el número de elementos de grado n es finito, para cada entero n.

Más formalmente, vamos ${displaystyle (K,+_{K},times _{K})}$ ser una semiringida arbitraria ${displaystyle (R,cdotphi)}$ un monoide de grado. Entonces... ${displaystyle Klangle langle Rrangle rangle }$ denota la semiringe de la serie de potencia con coeficientes en K indexado por R. Sus elementos son funciones de R a K. La suma de dos elementos ${displaystyle s,s'in Klangle langle Rrangle rangle }$ se define en sentido de punto, es la función que envía ${displaystyle min R}$ a ${displaystyle s(m)+_{K}s'(m)}$ , y el producto es la función que envía ${displaystyle min R}$ a la suma infinita ${displaystyle sum _{p,qin R atop pcdot q=m}s(p)times _{K}s'(q)}$ . Esta suma se define correctamente (es decir, finita) porque, para cada m, sólo hay un número finito de pares ()p, q) tales que pq = m.

Ejemplo

En la teoría del lenguaje formal, dado un alfabeto A, el monoide libre de palabras sobre A puede considerarse como un monoide graduado, donde la gradación de una palabra es su longitud.

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