Anillo de números enteros

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En matemáticas, la anillo de enteros de un campo número álgebraico $K$ es el anillo de todos los enteros algebraicos contenidos en $K$ . Un entero algebraico es una raíz de un polinomio monico con coeficientes enteros: ${displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+cdots +c_{0}}$ . Este anillo es a menudo denotado por $O_K$ o ${mathcal O}_{K}$ . Puesto que cualquier entero pertenece a $K$ y es un elemento integral $K$ , el anillo $mathbb {Z}$ es siempre un subing de $O_K$ .

El anillo de los enteros $mathbb {Z}$ es el anillo más simple posible de enteros. Es decir, ${displaystyle mathbb {Z} =O_{mathbb {Q} }}$ Donde $mathbb {Q}$ es el campo de los números racionales. Y de hecho, en la teoría del número algebraico los elementos de $mathbb {Z}$ a menudo se llaman los "integers racionales" debido a esto.

El siguiente ejemplo más simple es el anillo de los enteros gausianos $mathbb {Z} [i]$ , que consiste en números complejos cuyas partes reales e imaginarias son enteros. Es el anillo de enteros en el campo número ${mathbb {Q}}(i)$ de los racionales gausianos, consistentes en números complejos cuyas partes reales e imaginarias son números racionales. Como los enteros racionales, $mathbb {Z} [i]$ es un dominio Euclidean.

El anillo de números enteros de un campo numérico algebraico es el único orden máximo en el campo. Siempre es un dominio de Dedekind.

Propiedades

El anillo de números enteros $O K$ es un módulo $Z$ generado finitamente. De hecho, es un módulo $Z$ libre y, por lo tanto, tiene una base integral, es decir, una base $b 1, ..., b n \in O K$ de la $Q$ -espacio vectorial $K$ tal que cada elemento $x$ en $O K$ se puede representar de forma única como

x=sum _{{i=1}}^{n}a_{i}b_{i},

con $a i \in Z$ . El rango $n$ de $O K$ como módulo $Z$ libre es igual al grado de $K$ sobre $Q$ .

Ejemplos

Herramienta computacional

Una herramienta útil para calcular el cierre integral del anillo de enteros en un campo algebraico $K / Q$ es el discriminante. Si $K$ es de grado $n$ sobre $Q$ , y ${displaystyle alpha _{1},ldotsalpha _{n}in {mathcal {O}}_{K}}$ forma una base de $K$ sobre $Q$ , set ${displaystyle d=Delta _{K/mathbb {Q} }(alpha _{1},ldotsalpha _{n})}$ . Entonces, ${mathcal {O}}_{K}$ es un submodulo del $Z$ - Mobiliario azotado por ${displaystyle alpha _{1}/d,ldotsalpha _{n}/d}$ . ^{pg. 33} De hecho, si $d$ es libre de cuadrado, entonces $alpha _{1},ldotsalpha _{n}$ constituye una base integral ${mathcal {O}}_{K}$ . ^{pg. 35}

Extensiones ciclotómicas

Si $p$ es un número primo, $ζ$ es una $p$ ésima raíz de la unidad y $K = Q (ζ)$ es el campo ciclotómico correspondiente, entonces una base integral de $O K = Z [ζ]$ está dado por $(1, ζ, ζ 2, ..., ζ p -2)$ .

Extensiones cuadráticas

Si $d$ es un entero libre de cuadrado y ${displaystyle K=mathbb {Q} ({sqrt {d}},)}$ es el campo cuadrático correspondiente, entonces ${mathcal {O}}_{K}$ es un anillo de enteros cuadráticos y su base integral es dada por $(1, 1 + \sqrt d) /2)$ si $d 1 (mod 4)$ y por $(1, \sqrt d)$ si $d ngel 2, 3 (mod 4)$ . Esto se puede encontrar computando el mínimo polinomio de un elemento arbitrario ${displaystyle a+b{sqrt {d}}in mathbf {Q} ({sqrt {d}})}$ Donde ${displaystyle a,bin mathbf {Q} }$ .

Estructura multiplicativa

En un anillo de números enteros, cada elemento tiene una factorización en elementos irreducibles, pero el anillo no necesita tener la propiedad de factorización única: por ejemplo, en el anillo de números enteros $Z [\sqrt -5]$ , el elemento 6 tiene dos factorizaciones esencialmente diferentes en irreducibles:

{displaystyle 6=2cdot 3=(1+{sqrt {-5}})(1-{sqrt {-5}}).}

Un anillo de números enteros es siempre un dominio de Dedekind, y por lo tanto tiene una factorización única de ideales en ideales primos.

Las unidades de un anillo de números enteros $O K$ es un abeliano generado finitamente grupo por el teorema unitario de Dirichlet. El subgrupo de torsión consta de las raíces de la unidad de $K$ . Un conjunto de generadores libres de torsión se denomina conjunto de unidades fundamentales.

Generalización

Se define el anillo de números enteros de un campo local no de Arquímedes $F$ como el conjunto de todos los elementos de $F$ con valor absoluto $\leq 1$ ; este es un anillo debido a la fuerte desigualdad del triángulo. Si $F$ es la finalización de un campo numérico algebraico, su anillo de números enteros es la finalización del anillo de números enteros de este último. El anillo de números enteros de un campo numérico algebraico puede caracterizarse como los elementos que son números enteros en toda terminación no arquimediana.

Por ejemplo, los enteros p-ádicos $Z p$ son el anillo de números enteros de los números p-ádicos $Q p$ .

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