Anillo de endomorfismo

En matemáticas, las endomorfismos de un grupo abeliano X formar un anillo. Este anillo se llama anillo de endomorfismo de X, denotado por End(X); el conjunto de todos los homomorfismos de X en sí mismo. La adición de endomorfismos surge naturalmente de una manera puntual y la multiplicación a través de la composición del endomorfismo. Usando estas operaciones, el conjunto de endomorfismos de un grupo abeliano forma un anillo (unital), con el mapa cero ${textstyle 0:xmapsto 0}$ como identidad aditiva y mapa de identidad ${textstyle 1:xmapsto x}$ como identidad multiplicativa.

Las funciones involucradas están restringidas a lo que se define como un homomorfismo en el contexto, que depende de la categoría del objeto bajo consideración. En consecuencia, el anillo de endomorfismo codifica varias propiedades internas del objeto. Como el objeto resultante es a menudo un álgebra sobre algún anillo R, esto también puede llamarse álgebra de endomorfismo.

Un grupo abeliano es lo mismo que un módulo sobre el anillo de enteros, que es el objeto inicial en la categoría de anillos. De manera similar, si R es cualquier anillo conmutativo, los endomorfismos de un módulo R forman un álgebra sobre R por los mismos axiomas y derivación. En particular, si R es un campo F, sus módulos M son espacios vectoriales V y sus anillos de endomorfismo son álgebras sobre el campo F.

Descripción

Vamos ()A, +) ser un grupo abeliano y consideramos los homomorfismos del grupo A en A. Luego, la adición de dos homomorfismos de este tipo se puede definir con sentido de punto para producir otro homomorfismo grupo. Explícitamente, dadas dos homomorfismos tales f y g, la suma de f y g es el homomorfismo ${textstyle [f+g](x):=f(x)+g(x)}$. Bajo esta operación End(AEs un grupo abeliano. Con el funcionamiento adicional de la composición de los homomorfismos, End(A) es un anillo con identidad multiplicativa. Esta composición es explícita ${textstyle (fg)(x):=f(g(x)}$. La identidad multiplicativa es el homomorfismo de identidad A.

Si el conjunto A no forma un grupo abeliano, entonces la construcción anterior no es necesariamente aditiva, ya que la suma de dos homomorfismos no tiene por qué ser un homomorfismo. Este conjunto de endomorfismos es un ejemplo canónico de un anillo cercano que no es un anillo.

Propiedades

• Los anillos de endomorfismo siempre tienen identidades aditivas y multiplicativas, respectivamente el mapa cero y el mapa de identidad.
• Los anillos de endomorfismo son asociativos, pero típicamente no-commutantes.
• Si un módulo es simple, entonces su anillo de endomorfismo es un anillo de división (a veces se llama lema de Schur).
• Un módulo es indecomposible si y sólo si su anillo de endomorfismo no contiene ningún elemento idempotente no trivial. Si el módulo es un módulo inyectable, entonces la indecomposibilidad es equivalente al anillo de endomorfismo siendo un anillo local.
• Para un módulo semisimple, el anillo de endomorfismo es un anillo regular de von Neumann.
• El anillo de endomorfismo de un módulo uniserial no derecho a cero tiene uno o dos ideales óptimos. Si el módulo es Artiniano, Noetheriano, proyectivo o inyectable, el anillo de endomorfismo tiene un ideal maximal único, por lo que es un anillo local.
• El anillo de endomorfismo de un módulo de uniforme Artiniano es un anillo local.
• El anillo de endomorfismo de un módulo con longitud de composición finita es un anillo semiprimario.
• El anillo de endomorfismo de un módulo continuo o módulo discreto es un anillo limpio.
• Si R módulo se genera finitamente y proyectiva (es decir, un progenerador), luego el anillo de endomorfismo del módulo y R compartir todas las propiedades invariantes de Morita. Un resultado fundamental de la teoría de Morita es que todos los anillos equivalentes a R surgen como anillos de endomorfismo de los progeneradores.

Ejemplos

• En la categoría de R módulos el anillo de endomorfismo de un R- Mobiliario M sólo utilizará el R homomorfismos del módulo, que son típicamente un subconjunto adecuado de los homomorfismos del grupo abeliano. Cuando M es un módulo de proyecto de generación finita, el anillo de endomorfismo es central en la equivalencia Morita de las categorías de módulos.
• Para cualquier grupo abeliano ${displaystyle A}$, ${displaystyle M_{n}(operatorname {End} (A)cong operatorname {End} (A^{n})}$, desde cualquier matriz en ${displaystyle M_{n}(operatorname {End} (A)}$ lleva una estructura de homomorfismo natural ${displaystyle A^{n}$ como sigue:

${displaystyle {begin{pmatrix}varphi _{11} limitcdots > _{1n}\\vdots > 'vdots \varphi _{n1} limitcdots &varphi {fnnn}\fnnnnnnnnnnnnnnnn}pmatrix} {\\\\cnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn} {\fnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn {begin{pmatrix}sum ¿Por qué? ¿Por qué?$

Uno puede usar este isomorfismo para construir un montón de anillos de endomorfismo no conmutativo. Por ejemplo: ${displaystyle operatorname {End} (mathbb {Z} times mathbb {Z})cong M_{2}(mathbb {Z})}$, desde ${displaystyle operatorname {End} (mathbb {Z})cong mathbb {Z}$.

También, cuando ${displaystyle R=K}$ es un campo, hay un isomorfismo canónico ${displaystyle operatorname {End} (K)cong K}$Así que ${displaystyle operatorname {End}(K^{n})cong M_{n}(K)}$, es decir, el anillo de endomorfismo de un ${displaystyle K}$- el espacio del vencedor se identifica con el anillo de n-by-n matrices con entradas en ${displaystyle K}$. Más generalmente, el álgebra endomorfismo del módulo libre ${displaystyle M=R^{n}$ es natural ${displaystyle n}$-por-${displaystyle n}$ matrices con entradas en el anillo ${displaystyle R.$.

• Como ejemplo particular del último punto, para cualquier anillo R con unidad, Fin(R_R) R, donde los elementos de R acto R por izquierda multiplicación.
• En general, los anillos de endomorfismo se pueden definir para los objetos de cualquier categoría preadditiva.