Anillo de división

En álgebra, un anillo de división, también llamado campo sesgado, es un anillo no trivial en el que se define la división por elementos distintos de cero. Específicamente, es un anillo no trivial en el que cada elemento distinto de cero a tiene un inverso multiplicativo, es decir, un elemento generalmente denotado a^–1, tal que a a^–1 = a^–1 a = 1. Entonces, (derecha) división puede definirse como a / b = a b^–1, pero esta notación se evita, ya que uno puede tener a b^–1 ≠ b^–1 a.

Un anillo de división conmutativa es un campo. El pequeño teorema de Wedderburn afirma que todos los anillos de división finitos son campos conmutativos y, por lo tanto, finitos.

Históricamente, los anillos de división a veces se denominaban campos, mientras que los campos se denominaban "campos conmutativos". En algunos idiomas, como el francés, la palabra equivalente a "field" ("corps") se usa tanto para casos conmutativos como no conmutativos, y la distinción entre los dos casos se hace agregando calificativos como "corps commutatif" (campo conmutativo) o "corps gauche" (campo sesgado).

Todos los anillos de división son simples. Es decir, no tienen un ideal de dos lados además del ideal cero y él mismo.

Relación con campos y álgebra lineal

Todos los campos son anillos de división; ejemplos más interesantes son los anillos de división no conmutativos. El ejemplo más conocido es el anillo de cuaterniones H. Si permitimos solo coeficientes racionales en lugar de reales en las construcciones de los cuaterniones, obtenemos otro anillo de división. En general, si R es un anillo y S es un módulo simple sobre R, entonces, por el lema de Schur, el endomorfismo anillo de S es un anillo de división; cada anillo de división surge de esta manera a partir de algún módulo simple.

Gran parte del álgebra lineal se puede formular, y sigue siendo correcta, para módulos sobre un anillo de división D en lugar de espacios vectoriales sobre un campo. Al hacerlo, se debe especificar si se están considerando módulos de la derecha o de la izquierda, y se necesita cierto cuidado al distinguir adecuadamente la izquierda y la derecha en las fórmulas. Trabajando en coordenadas, los elementos de un módulo derecho de dimensión finita se pueden representar mediante vectores de columna, que se pueden multiplicar a la derecha por escalares y a la izquierda por matrices (que representan mapas lineales); para los elementos de un módulo izquierdo de dimensión finita, se deben usar vectores de fila, que se pueden multiplicar a la izquierda por escalares y a la derecha por matrices. El dual de un módulo derecho es un módulo izquierdo, y viceversa. La transpuesta de una matriz debe verse como una matriz sobre el anillo de división opuesto D^op para que la regla (AB )^T = B^TA^T para seguir vigente.

Cada módulo sobre un anillo de división es gratis; es decir, tiene una base, y todas las bases de un módulo tienen el mismo número de elementos. Los mapas lineales entre módulos de dimensión finita sobre un anillo de división se pueden describir mediante matrices; el hecho de que los mapas lineales, por definición, conmutan con la multiplicación escalar se representa más convenientemente en notación escribiéndolos en el lado opuesto de los vectores como lo están los escalares. El algoritmo de eliminación de Gauss sigue siendo aplicable. El rango de columna de una matriz es la dimensión del módulo derecho generado por las columnas, y el rango de fila es la dimensión del módulo izquierdo generado por las filas; Se puede usar la misma prueba que para el caso del espacio vectorial para mostrar que estos rangos son los mismos y definir el rango de una matriz.

De hecho, lo contrario también es cierto y esto da una caracterización de los anillos de división a través de su categoría de módulo: Un anillo unitario R es un anillo de división si y solo si cada El módulo R es gratuito.

El centro de un anillo de división es conmutativo y por lo tanto un campo. Cada anillo de división es, por lo tanto, un álgebra de división sobre su centro. Los anillos de división se pueden clasificar aproximadamente según sean o no de dimensión finita o de dimensión infinita sobre sus centros. Los primeros se denominan centralmente finitos y los segundos centralmente infinitos. Cada campo es, por supuesto, unidimensional sobre su centro. El anillo de cuaterniones hamiltonianos forma un álgebra de 4 dimensiones sobre su centro, que es isomorfo a los números reales.

Ejemplos

• Como se señaló anteriormente, todos los campos son anillos de división.
• Las quaternions forman un anillo de división nomutativo.
• El subconjunto de las quaterniones a + bi + cj + ♪, tal que a, b, c, y d pertenece a un subcampo fijo de los números reales, es un anillo de división nomutativo. Cuando este subcampo es el campo de los números racionales, este es el anillo de división de quaternions racionales.
• Vamos σ σ :C→ → C{displaystyle sigma:mathbb {C} to mathbb {C} ser un automorfismo del campo C{displaystyle mathbb {C}. Vamos C()()z,σ σ )){displaystyle mathbb {C} (z,sigma)} denota el anillo de la serie formal Laurent con coeficientes complejos, donde la multiplicación se define como sigue: en lugar de simplemente permitir que los coeficientes se comuniquen directamente con los indeterminados z{displaystyle z}, para α α ▪ ▪ C{displaystyle alpha in mathbb {C}, definir ziα α :=σ σ i()α α )zi{displaystyle z^{i}alpha:=sigma ^{i}(alpha)z^{i}} para cada índice i▪ ▪ Z{displaystyle iin mathbb {Z}. Si σ σ {displaystyle sigma } es un automorfismo no-trivial de números complejos (como la conjugación), entonces el anillo resultante de la serie Laurent es un anillo de división no-commutante conocido como un el anillo de la serie Laurent; si σ = id entonces presenta la multiplicación estándar de la serie formal. Este concepto se puede generalizar al anillo de la serie Laurent sobre cualquier campo fijo F{displaystyle F}, dado a un F{displaystyle F}- Automorfismo σ σ {displaystyle sigma }.

Teoremas principales

Pequeño teorema de Wedderburn: Todos los anillos de división finitos son campos conmutativos y, por lo tanto, finitos. (Ernst Witt dio una prueba simple).

Teorema de Frobenius: Las únicas álgebras de división asociativas de dimensión finita sobre los reales son los propios reales, los números complejos y los cuaterniones.

Nociones relacionadas

Los anillos de división solían llamarse "campos" en un uso más antiguo. En muchos idiomas, una palabra que significa "cuerpo" se usa para anillos de división, en algunos idiomas que designan anillos de división conmutativos o no conmutativos, mientras que en otros designan específicamente anillos de división conmutativos (lo que ahora llamamos campos en inglés). Una comparación más completa se encuentra en el artículo sobre campos.

El nombre "Campo sesgado" tiene una característica semántica interesante: un modificador (aquí "sesgo") amplia el alcance del término base (aquí "campo"). Por lo tanto, un campo es un tipo particular de campo sesgado y no todos los campos sesgados son campos.

Si bien se supone que los anillos de división y las álgebras que se analizan aquí tienen multiplicación asociativa, también son de interés las álgebras de división no asociativas, como los octoniones.

Un campo cercano es una estructura algebraica similar a un anillo de división, excepto que tiene solo una de las dos leyes distributivas.