Anillo conmutativo

En matemáticas, un anillo conmutativo es un anillo en el que la operación de multiplicación es conmutativa. El estudio de los anillos conmutativos se llama álgebra conmutativa. Complementariamente, el álgebra no conmutativa es el estudio de las propiedades de los anillos que no son específicas de los anillos conmutativos. Esta distinción resulta del alto número de propiedades fundamentales de los anillos conmutativos que no se extienden a los anillos no conmutativos.

Definición y primeros ejemplos

Definición

A anillo es un juego R{displaystyle R. equipado con dos operaciones binarias, es decir, operaciones que combinan los dos elementos del anillo a un tercio. Se llaman Además y multiplicación y comúnmente denotado por "+{displaystyle +}"y"⋅ ⋅ {displaystyle cdot }"; por ejemplo. a+b{displaystyle a+b} y a⋅ ⋅ b{displaystyle acdot b}. Para formar un anillo estas dos operaciones tienen que satisfacer una serie de propiedades: el anillo tiene que ser un grupo abeliano bajo adición, así como un monoide bajo la multiplicación, donde la multiplicación distribuye sobre adición; es decir, a⋅ ⋅ ()b+c)=()a⋅ ⋅ b)+()a⋅ ⋅ c){displaystyle acdot left(b+cright)=left(acdot bright)+left(acdot cright)}. Los elementos de identidad para la adición y multiplicación son denotados 0{displaystyle 0} y 1{displaystyle 1}, respectivamente.

Si la multiplicación es conmutativa, es decir,

a⋅ ⋅ b=b⋅ ⋅ a,{displaystyle acdot b=bcdot a,}

R{displaystyle R.

Primeros ejemplos

Un ejemplo importante, y en algún sentido crucial, es el anillo de los enteros Z{displaystyle mathbb {Z} con las dos operaciones de adición y multiplicación. Como la multiplicación de los enteros es una operación conmutativa, este es un anillo conmutativo. Es generalmente denotado Z{displaystyle mathbb {Z} como abreviatura de la palabra alemana Zahlen (números).

Un campo es un anillo comunicativo donde 0ل1{displaystyle 0not =1} y todos los elementos no cero a{displaystyle a} es invertible; es decir, tiene un inverso multiplicativo b{displaystyle b} tales que a⋅ ⋅ b=1{displaystyle acdot b=1}. Por lo tanto, por definición, cualquier campo es un anillo conmutativo. Los números racionales, reales y complejos forman campos.

Si R{displaystyle R. es un anillo comunicativo dado, luego el conjunto de todos los polinomios en la variable X{displaystyle X} cuyos coeficientes están en R{displaystyle R. forma el anillo polinomio, denotado R[X]{displaystyle Rleft[Xright]. Lo mismo es cierto para varias variables.

Si V{displaystyle V} es un espacio topológico, por ejemplo un subconjunto de algunos Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}, funciones continuas de valor real o complejo V{displaystyle V} formar un anillo conmutativo. Lo mismo es cierto para funciones diferenciables o holomorfas, cuando se definen los dos conceptos, tales como V{displaystyle V} un manifold complejo.

Divisibilidad

En contraste con los campos, donde cada elemento no cero es multiplicativamente invertible, el concepto de divisibilidad para los anillos es más rico. Un elemento a{displaystyle a} de anillo R{displaystyle R. se llama unidad si posee un inverso multiplicativo. Otro tipo particular de elemento es el cero divisores, es decir, un elemento a{displaystyle a} tal que exista un elemento no cero b{displaystyle b} del anillo tal que ab=0{displaystyle ab=0}. Si R{displaystyle R. no posee divisores no cero, se llama un dominio integral (o dominio). Un elemento a{displaystyle a} satisfacción an=0{displaystyle a^{n}=0} para algunos enteros positivos n{displaystyle n} se llama nilpotente.

Localizaciones

El localización de un anillo es un proceso en el que algunos elementos se hacen invertibles, es decir, inversos multiplicadores se añaden al anillo. Concretamente, si S{displaystyle S. es un subconjunto multiplicativamente cerrado R{displaystyle R. (es decir, cada vez que s,t▪ ▪ S{displaystyle s,tin S} entonces lo es st{displaystyle st}) entonces el localización de R{displaystyle R. a S{displaystyle S., o anillo de fracciones con denominadores en S{displaystyle S., generalmente denotado S− − 1R{displaystyle S^{-1}R} consiste en símbolos

rs{displaystyle {frac {}{s}} {fn}} {fnMicroc {fn}} {fn}}}} {fn}}} {fnK}}}}}}} {fnK}}}}}}}} con r▪ ▪ R,s▪ ▪ S{displaystyle rin R,sin S.

sujeto a ciertas reglas que imitan la cancelación familiar de números racionales. De hecho, en este idioma Q{displaystyle mathbb {Q} es la localización de Z{displaystyle mathbb {Z} en todos los enteros no cero. Esta construcción funciona para cualquier dominio integral R{displaystyle R. en lugar de Z{displaystyle mathbb {Z}. La localización ()R∖ ∖ {}0})− − 1R{displaystyle left(Rbackslash left{0right}right)^{-1}R} es un campo, llamado el campo cociente R{displaystyle R..

Ideales y módulos

Muchas de las siguientes nociones también existen para anillos no necesariamente conmutativos, pero las definiciones y propiedades suelen ser más complicadas. Por ejemplo, todos los ideales en un anillo conmutativo son automáticamente de dos caras, lo que simplifica considerablemente la situación.

Módulos

Para un anillo R{displaystyle R., un R{displaystyle R.-módulo M{displaystyle M} es como lo que un espacio vectorial es para un campo. Es decir, se pueden añadir elementos en un módulo; pueden ser multiplicados por elementos de R{displaystyle R. sujeto a los mismos axiomas que para un espacio vectorial.

El estudio de los módulos es bastante más complicado que el de los espacios vectoriales, ya que existen módulos que no tienen base, es decir, no contienen un conjunto generador cuyos elementos son linealmente independientes. Un módulo que tiene una base se llama módulo libre y un submódulo de un módulo libre no necesita ser libre.

Un módulo de tipo finito es un módulo que tiene un conjunto generador finito. Los módulos de tipo finito juegan un papel fundamental en la teoría de los anillos conmutativos, similar al papel de los espacios vectoriales de dimensión finita en el álgebra lineal. En particular, los anillos noetherianos (ver también § Anillos noetherianos, a continuación) se pueden definir como los anillos tales que cada submódulo de un módulo de tipo finito también es de tipo finito.

Ideales

Ideales de un anillo R{displaystyle R. son los submódulos de R{displaystyle R., es decir, los módulos contenidos en R{displaystyle R.. En más detalle, un ideal I{displaystyle Yo... es un subconjunto no vacío R{displaystyle R. tal que para todos r{displaystyle r} dentro R{displaystyle R., i{displaystyle i} y j{displaystyle j} dentro I{displaystyle Yo..., ambos ri{displaystyle ri} y i+j{displaystyle i+j} están dentro I{displaystyle Yo.... Para varias aplicaciones, entender los ideales de un anillo es de particular importancia, pero a menudo uno procede estudiando módulos en general.

Cualquier anillo tiene dos ideales, a saber, el cero ideal {}0}{displaystyle left{0right}} y R{displaystyle R., todo el anillo. Estos dos ideales son los únicos precisamente si R{displaystyle R. es un campo. Dado cualquier subconjunto F={}fj}j▪ ▪ J{displaystyle F=left{j}derecha J. de R{displaystyle R. (donde) J{displaystyle J} es un conjunto de índice, el ideal generados por F{displaystyle F} es el ideal más pequeño que contiene F{displaystyle F}. Equivalentemente, se da por combinaciones lineales finitas

r1f1+r2f2+⋯ ⋯ +rnfn.{displaystyle r_{1}f_{1}+r_{2}f_{2}+dots ¿Qué?

Principales dominios ideales

Si F{displaystyle F} consiste en un único elemento r{displaystyle r}, el ideal generado por F{displaystyle F} consiste en los múltiplos de r{displaystyle r}, es decir, los elementos de la forma rs{displaystyle rs} para elementos arbitrarios s{displaystyle s}. Tal ideal se llama ideal principal. Si cada ideal es un ideal principal, R{displaystyle R. se llama anillo ideal principal; dos casos importantes Z{displaystyle mathbb {Z} y k[X]{displaystyle kleft[Xright], el anillo polinomio sobre un campo k{displaystyle k}. Estos dos son dominios adicionales, por lo que se llaman dominios ideales principales.

A diferencia de los anillos generales, para un dominio ideal principal, las propiedades de los elementos individuales están fuertemente ligadas a las propiedades del anillo en su conjunto. Por ejemplo, cualquier dominio ideal principal R{displaystyle R. es un dominio único de factorización (UFD) que significa que cualquier elemento es un producto de elementos irreducibles, de una manera única (hasta reordenar los factores). Aquí, un elemento a en un dominio se llama irreducible si la única manera de expresarlo como un producto

a=bc,{displaystyle a=bc,}

b{displaystyle b}

c{displaystyle c}

k[X]{displaystyle kleft[Xright]

k{displaystyle k}

Z{displaystyle mathbb {Z}

Un elemento a{displaystyle a} es un elemento primario si cada vez a{displaystyle a} divide un producto bc{displaystyle bc}, a{displaystyle a} divideciones b{displaystyle b} o c{displaystyle c}. En un dominio, ser primordial implica ser irreducible. El contrario es cierto en un dominio de factorización único, pero falso en general.

El factor anillo

La definición de ideales es tal que "dividir" I{displaystyle Yo... "fuera" da otro anillo, el factor anillo R{displaystyle R. / I{displaystyle Yo...: es el conjunto de cosets de I{displaystyle Yo... junto con las operaciones

()a+I)+()b+I)=()a+b)+I{displaystyle left(a+Iright)+left(b+Iright)=left(a+bright)+I}

()a+I)()b+I)=ab+I{displaystyle left(a+Iright)left(b+Iright)=ab+I}

Z/nZ{displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z}

Zn{displaystyle mathbb {Z} _{n}

n{displaystyle n}

n{displaystyle n}

Un ideal apropiado si es estrictamente más pequeño que todo el anillo. Un ideal que no está estrictamente contenido en cualquier ideal adecuado se llama maximal. Un ideal m{displaystyle m} es maximal si y sólo si R{displaystyle R. / m{displaystyle m} es un campo. Excepto por el anillo cero, cualquier anillo (con identidad) posee por lo menos un ideal máximo; esto se deriva de la lema de Zorn.

Anillos noetherianos

Un anillo se llama Noetherian (en honor a Emmy Noether, quien desarrolló este concepto) si cada cadena ascendente de ideales

0⊆ ⊆ I0⊆ ⊆ I1⊆ ⊆ ⋯ ⋯ ⊆ ⊆ In⊆ ⊆ In+1...... {displaystyle 0subseteq I_{0}subseteq I_{1}subseteq dots subseteq I_{n}subseteq Yo...

n{displaystyle n}

Ser Noetherian es una condición de finiteness muy importante, y la condición se conserva bajo muchas operaciones que ocurren frecuentemente en geometría. Por ejemplo, si R{displaystyle R. es Noetherian, entonces también es el anillo polinomio R[X1,X2,...... ,Xn]{displaystyle Rleft[X_{1},X_{2},dotsX_{n}right] (por el teorema de base de Hilbert), cualquier localización S− − 1R{displaystyle S^{-1}R}, y también cualquier anillo factorial R{displaystyle R. / I{displaystyle Yo....

Cualquier anillo no-noterano R{displaystyle R. es la unión de sus submarinos noetherianos. Este hecho, conocido como aproximación noetheriana, permite la extensión de ciertos teoremas a anillos no-noetherianos.

Anillos artinianos

Un anillo se llama artiniano (después de Emil Artin), si cada cadena descendente de ideales

R⊇ ⊇ I0⊇ ⊇ I1⊇ ⊇ ⋯ ⋯ ⊇ ⊇ In⊇ ⊇ In+1...... {displaystyle Rsupseteq I_{0}supseteq I_{1}supseteq dots supseteq I_{n}supseteq Yo...

Z{displaystyle mathbb {Z}

Z⊋ ⊋ 2Z⊋ ⊋ 4Z⊋ ⊋ 8Z...... {displaystyle mathbb {Z} supsetneq 2mathbb {Z} supsetneq 4mathbb {Z} supsetneq 8mathbb {Z} dots }

El espectro de un anillo conmutativo

Principales ideales

Como se mencionó anteriormente, Z{displaystyle mathbb {Z} es un dominio de factorización único. Esto no es cierto para los anillos más generales, como algebraistas realizados en el siglo XIX. Por ejemplo, en

Z[− − 5]{displaystyle mathbb {Z} left[{sqrt {-5}right]

6=2⋅ ⋅ 3=()1+− − 5)()1− − − − 5).{displaystyle 6=2cdot 3=left(1+{sqrt {-5}right)left(1-{sqrt {-5}right). }

R{displaystyle R.

p{displaystyle p}

ab{displaystyle ab}

a{displaystyle a}

b{displaystyle b}

p,{displaystyle p,}

p.{displaystyle p.}

Z[− − 5],{displaystyle mathbb {Z} left[{sqrt {-5}right],}

Z[− − 5]{displaystyle mathbb {Z} left[{sqrt {-5}right]

Cualquier ideal máximo es un ideal primario o, más brevemente, es primo. Además, un ideal I{displaystyle Yo... es primo si y sólo si el anillo factor R/I{displaystyle R/I} es un dominio integral. Probar que un ideal es primo, o equivalentemente que un anillo no tiene cero visores puede ser muy difícil. Otra forma de expresar lo mismo es decir que el complemento R∖ ∖ p{displaystyle Rsetminus p} está multiplicativamente cerrado. La localización ()R∖ ∖ p)− − 1R{displaystyle left(Rsetminus pright)}{-1}R} es lo suficientemente importante para tener su propia notación: Rp{displaystyle R_{p}. Este anillo tiene sólo un ideal máximo, a saber pRp{displaystyle PR_{p}. Tales anillos se llaman locales.

El espectro

EspectáculosZ) contiene un punto para el cero ideal. El cierre de este punto es todo el espacio. Los puntos restantes son los correspondientes a los ideales (p), donde p es un número primo. Estos puntos están cerrados.

El espectro de un anillo R{displaystyle R., denotado por EspecíficoR{displaystyle {text{Spec} R., es el conjunto de todos los ideales principales de R{displaystyle R.. Está equipado con una topología, la topología de Zariski, que refleja las propiedades algebraicas de R{displaystyle R.: una base de subconjuntos abiertos es dada por

D()f)={}p▪ ▪ EspecíficoR,f∉p}{displaystyle Dleft(fright)=left{pin {text{Spec} R,fnot in pright}

f{displaystyle f}

f{displaystyle f}

El espectro contiene el conjunto de ideales máximos, que en ocasiones se denomina mSpec (R). Para un campo algebraicamente cerrado k, mSpec (k[T₁,..., T _n] / (f₁,..., f _m)) está en biyección con el conjunto

Por lo tanto, los ideales maximales reflejan las propiedades geométricas de los conjuntos de solución de polinomios, lo cual es una motivación inicial para el estudio de los anillos conmutativos. Sin embargo, la consideración de ideales no máximos como parte de las propiedades geométricas de un anillo es útil por varias razones. Por ejemplo, los ideales primos mínimos (es decir, los que no contienen estrictamente los más pequeños) corresponden a los componentes irreducibles de Spec R. Para un anillo noetheriano R, Spec R tiene solo un número finito de componentes irreducibles. Esta es una reformulación geométrica de la descomposición primaria, según la cual cualquier ideal puede descomponerse como producto de un número finito de ideales primarios. Este hecho es la última generalización de la descomposición en ideales primos en los anillos de Dedekind.

Esquemas afines

La noción de un espectro es la base común de álgebra conmutativa y geometría algebraica. Geometría algebraica procede por endowing Spec R con una hoja O{displaystyle {fnMithcal}} (una entidad que reúne funciones definidas localmente, es decir, en subconjuntos abiertos variables). El dato del espacio y la hoja se llama un esquema de afinidad. Dado un esquema de afinidad, el anillo subyacente R se puede recuperar como las secciones globales O{displaystyle {fnMithcal}}. Además, esta correspondencia única entre anillos y esquemas afines también es compatible con homomorfismos de anillo: cualquier f: R → S da lugar a un mapa continuo en la dirección opuesta

La equivalencia resultante de las dos categorías mencionadas refleja acertadamente las propiedades algebraicas de los anillos de una manera geométrica.

Al igual que el hecho de que las variedades están dadas localmente por subconjuntos abiertos de Rⁿ, los esquemas afines son modelos locales para esquemas, que son el objeto de estudio de la geometría algebraica. Por tanto, varias nociones relativas a los anillos conmutativos se derivan de la intuición geométrica.

Dimensión

La dimensión Krull (o dimensión) dim R de un anillo R mide el "tamaño" de un anillo, en términos generales, contando elementos independientes en R. La dimensión de las álgebras sobre un campo k se puede axiomatizar mediante cuatro propiedades:

• La dimensión es una propiedad local: dim R Sup_{p ∊ Spec R} dim R_p.
• La dimensión es independiente de elementos nilpotent: si I ⊆ R es nilpotent entonces dim R = dim R / I.
• La dimensión sigue siendo constante bajo una extensión finita: si S es un R- álgebra que se genera finitamente como R- ¿Qué? S = dim R.
• La dimensión está calibrada por dim k[X₁,... X_n= n. Este axioma está motivado por el anillo polinomio en n variables como analogía algebraica del espacio n-dimensional.

La dimensión se define, para cualquier anillo R, como el supremo de longitudes n de cadenas de ideales primos

Por ejemplo, un campo es de dimensión cero, ya que el único ideal primo es el ideal cero. Los enteros son unidimensionales, ya que las cadenas son de la forma (0) ⊊ (p), donde p es un número primo. Para anillos no noetherianos, y también para anillos no locales, la dimensión puede ser infinita, pero los anillos locales noetherianos tienen una dimensión finita. Entre los cuatro axiomas anteriores, los dos primeros son consecuencias elementales de la definición, mientras que los dos restantes dependen de hechos importantes en el álgebra conmutativa, el teorema de la subida y el teorema del ideal principal de Krull.

Homomorfismos de anillos

Un homomorfismo de anillos o, más coloquialmente, simplemente un mapa, es un mapa f : R → S tal que

Estas condiciones aseguran que f(0) = 0. De manera similar a otras estructuras algebraicas, un homomorfismo de anillos es, por lo tanto, un mapa que es compatible con la estructura de los objetos algebraicos en cuestión. En tal situación, S también se denomina R-álgebra, al entender que s en S se puede multiplicar por alguna r de R, estableciendo

El núcleo y la imagen de f están definidos por ker (f) = {r ∈ R, f(r) = 0} e im (f) = f(R) = {f(r), r ∈ R }. El núcleo es un ideal de R y la imagen es un subanillo de S.

Un homomorfismo de anillos se llama isomorfismo si es biyectivo. Un ejemplo de un isomorfismo de anillos, conocido como el teorema chino del resto, es

Z/n=⨁ ⨁ i=0kZ/pi{displaystyle mathbf {Z} /n=bigoplus ¿Qué? {Z} /p_{i}

Los anillos conmutativos, junto con los homomorfismos de anillos, forman una categoría. El anillo Z es el objeto inicial en esta categoría, lo que significa que para cualquier anillo conmutativo R, hay un homomorfismo de anillo único Z → R. Mediante este mapa, un entero n puede considerarse como un elemento de R. Por ejemplo, la fórmula binomial

()a+b)n=.. k=0n()nk)akbn− − k{displaystyle (a+b)}=sum ¿Qué? {n}a}a} {k}b} {n-k}

La propiedad universal S ⊗_R T declara que para cualquier dos mapas S → W y T → W que hacen que el cuadrángulo exterior coma, hay un mapa único S ⊗_R T → W que hace que todo el diagrama se comporte.

Dadas dos R-álgebras S y T, su producto tensorial

es de nuevo un R-álgebra conmutativa. En algunos casos, el producto tensorial puede servir para encontrar una T-álgebra que se relaciona con Z como S se relaciona con R. Por ejemplo,

Generación finita

Una R-álgebra S se llama finitamente generada (como un álgebra) si hay un número finito de elementos s₁,..., s_n tales que cualquier elemento de s es expresable como un polinomio en los s_i. De manera equivalente, S es isomorfo a

Una condición mucho más fuerte es que S se genera finitamente como un módulo R, lo que significa que cualquier s se puede expresar como una R-combinación lineal de algún conjunto finito s₁,..., s_n.

Anillos locales

Un anillo se llama local si tiene un único ideal maximal, denotado por m. Para cualquier anillo (no necesariamente local) R, la localización

en un ideal primo p es local. Esta localización refleja las propiedades geométricas de Spec R "alrededor de p". Varias nociones y problemas en álgebra conmutativa pueden reducirse al caso cuando R es local, lo que hace que los anillos locales sean una clase de anillos particularmente estudiada en profundidad. El campo de residuos de R se define como

Cualquier módulo R M produce un espacio vectorial k dado por M / mM . El lema de Nakayama muestra que este pasaje preserva información importante: un módulo M generado finitamente es cero si y solo si M / mM es cero.

Anillos locales regulares

La curva del plano cúbico (rojo) definida por la ecuación Sí.² = x²()x + 1) es singular en el origen, es decir, el anillo k[x, Sí.♪ Sí.² − x²()x + 1), no es un anillo regular. El cono tangente (azul) es una unión de dos líneas, que también refleja la singularidad.

El k-espacio vectorial m/m² es una encarnación algebraica del espacio cotangente. Informalmente, los elementos de m se pueden considerar como funciones que desaparecen en el punto p, mientras que m² contiene los que desaparecen con orden de al menos 2. Para cualquier anillo local noetheriano R, la desigualdad

es cierto, reflejando la idea de que el espacio cotangente (o equivalentemente la tangente) tiene al menos la dimensión del espacio Spec R. Si la igualdad se cumple en esta estimación, R se denomina anillo local regular. Un anillo local noetheriano es regular si y solo si el anillo (que es el anillo de funciones en el cono tangente)

⨁ ⨁ nmn/mn+1{displaystyle bigoplus _{n}m^{n}/m^{n+1}

k

Los anillos de valoración discretos están equipados con una función que asigna un número entero a cualquier elemento r. Este número, llamado la valoración de r, puede considerarse informalmente como un orden cero o polar de r. Los anillos de valoración discretos son precisamente los anillos locales regulares unidimensionales. Por ejemplo, el anillo de gérmenes de funciones holomorfas en una superficie de Riemann es un anillo de valoración discreto.

Intersecciones completas

El cúbico retorcido (verde) es una intersección completa teórica de conjunto, pero no una intersección completa.

Según el teorema ideal principal de Krull, un resultado fundamental en la teoría de la dimensión de los anillos, la dimensión de

R = k[T₁,... T_r♪f₁,... f_n)

es al menos r − n. Un anillo R se denomina anillo de intersección completo si se puede presentar de forma que alcance este límite mínimo. Esta noción también se estudia principalmente para anillos locales. Cualquier anillo local regular es un anillo de intersección completo, pero no a la inversa.

Un anillo R es una intersección completa en teoría de conjuntos si el anillo reducido asociado a R, es decir, el que se obtiene al dividir todos los elementos nilpotentes, es una intersección completa. A partir de 2017, en general se desconoce si las curvas en el espacio tridimensional son intersecciones completas de teoría de conjuntos.

Anillos Cohen-Macaulay

La profundidad de un anillo local R es el número de elementos en alguna (o, como se puede mostrar, cualquiera) secuencia regular máxima, es decir, una secuencia a ₁,..., a_n ∈ m tal que todo a_i son divisores distintos de cero en

R /a₁,... a_i−1).

Para cualquier anillo noetheriano local, la desigualdad

profundidadR≤ dimR)

espera. Un anillo local en el que tiene lugar la igualdad se llama anillo Cohen-Macaulay. Los anillos de intersección completos locales y, a fortiori, los anillos locales regulares son Cohen-Macaulay, pero no a la inversa. Cohen-Macaulay combinan las propiedades deseables de los anillos regulares (como la propiedad de ser anillos catenarios universales, lo que significa que la (co)dimensión de los números primos se comporta bien), pero también son más robustos al asumir cocientes que los anillos locales regulares.

Construcción de anillos conmutativos

Hay varias formas de construir nuevos anillos a partir de los dados. El objetivo de tales construcciones es a menudo mejorar ciertas propiedades del anillo para hacerlo más fácilmente comprensible. Por ejemplo, un dominio integral que es integralmente cerrado en su campo de fracciones se llama normal. Esta es una propiedad deseable, por ejemplo, cualquier anillo unidimensional normal es necesariamente regular. Hacer que un anillo sea normal se conoce como normalización.

Terminaciones

Si I es un ideal en un anillo conmutativo R, las potencias de I forman vecindarios topológicos de 0 que permiten ver R como un anillo topológico. Esta topología se denomina topología I-ádica. R puede entonces completarse con respecto a esta topología. Formalmente, la terminación I-ádica es el límite inverso de los anillos R/Iⁿ. Por ejemplo, si k es un campo, k[[X]], la serie de potencias formales suena en una variable sobre k , es la terminación I-ádica de k[X] donde I es el ideal principal generado por X. Este anillo sirve como un análogo algebraico del disco. Análogamente, el anillo de enteros p-ádicos es la terminación de Z con respecto al ideal principal (p). Todo anillo que es isomorfo a su propia terminación se llama completo.

Los anillos locales completos satisfacen el lema de Hensel, que en términos generales permite extender las soluciones (de varios problemas) sobre el campo residual k a R.

Nociones homológicas

Se han estudiado varios aspectos más profundos de los anillos conmutativos utilizando métodos del álgebra homológica. Hochster (2007) enumera algunas preguntas abiertas en esta área de investigación activa.

Módulos proyectivos y funtores Ext

Los módulos proyectivos pueden definirse como sumandos directos de módulos libres. Si R es local, cualquier módulo proyectivo generado finitamente es en realidad libre, lo que da contenido a una analogía entre módulos proyectivos y paquetes vectoriales. El teorema de Quillen-Suslin afirma que cualquier módulo proyectivo generado finitamente sobre k[T₁,..., T_n] (k un campo) es libre, pero en general estos dos conceptos difieren. Un anillo noetheriano local es regular si y solo si su dimensión global es finita, digamos n, lo que significa que cualquier módulo R generado finitamente tiene una resolución por módulos proyectivos de longitud como máximo n.

La prueba de esta y otras afirmaciones relacionadas se basa en el uso de métodos homológicos, como el funtor ext. Este funtor es el funtor derivado del funtor

Hom_R()M, −).

El último funtor es exacto si M es proyectivo, pero no en caso contrario: para una aplicación sobreyectiva E → F de R -módulos, un mapa M → F no necesita extenderse a un mapa M → E. Los funtores Ext superiores miden la falta de exactitud del funtor Hom. La importancia de esta construcción estándar en el álgebra homológica se puede ver en el hecho de que un anillo noetheriano local R con campo residual k es regular si y solo si

Extⁿ()k, k)

desaparece para todos los n suficientemente grandes. Además, las dimensiones de estos grupos Ext, conocidos como números de Betti, crecen polinómicamente en n si y solo si R es un anillo de intersección completo local. Un argumento clave en tales consideraciones es el complejo de Koszul, que proporciona una resolución libre explícita del campo residual k de un anillo local R en términos de una secuencia regular.

Planitud

El producto tensorial es otro funtor no exacto relevante en el contexto de los anillos conmutativos: para un módulo general R M, el funtor

M ⊗_R −

es sólo exacto. Si es exacto, M se llama bemol. Si R es local, cualquier módulo plano finitamente presentado está libre de rango finito, por lo tanto proyectivo. A pesar de estar definida en términos de álgebra homológica, la planitud tiene profundas implicaciones geométricas. Por ejemplo, si una R-álgebra S es plana, las dimensiones de las fibras

S / pS = S ⊗_R R / p

(para ideales primos p en R) tienen el "esperado" dimensión, a saber, dim S − dim R + dim (R / p).

Propiedades

Según el teorema de Wedderburn, todo anillo de división finito es conmutativo y, por lo tanto, un campo finito. Otra condición que asegura la conmutatividad de un anillo, debida a Jacobson, es la siguiente: para cada elemento r de R existe un número entero n > 1 tal que rⁿ = r. Si, r² = r para cada r, el anillo se llama anillo booleano. También se conocen condiciones más generales que garantizan la conmutatividad de un anillo.

Generalizaciones

Anillos conmutativos graduados

Un par de pantalones es un cobordismo entre un círculo y dos círculos disjoint. Clases de cobordismo, con el producto cartesiano como multiplicación y unión descomunada como la suma, forman el anillo de cobordismo.

Un anillo graduado R = ⨁_i∊Z R_i se llama conmutativo graduado si, para todos los elementos homogéneos a y b,

ab = (1)−^{deg a ⋅ deg b} ba.

Si las R_i están conectadas por diferenciales ∂ tales que se cumple una forma abstracta de la regla del producto, es decir,

ab.a)b + (1)^{deg a} b),

R se llama álgebra graduada diferencial conmutativa (cdga). Un ejemplo es el complejo de formas diferenciales sobre una variedad, con la multiplicación dada por el producto exterior, es una cdga. La cohomología de un cdga es un anillo conmutativo graduado, a veces denominado anillo de cohomología. De esta manera surge una amplia gama de ejemplos de anillos graduados. Por ejemplo, el anillo de Lazard es el anillo de clases de cobordismo de variedades complejas.

Un anillo conmutativo graduado con respecto a una calificación por Z/2 (a diferencia de Z) se denomina superálgebra.

Una noción relacionada es un anillo casi conmutativo, lo que significa que R se filtra de tal manera que el anillo graduado asociado

gr R:= F_iR / ⨁ F_i−1R

es conmutativo. Un ejemplo es el álgebra de Weyl y anillos más generales de operadores diferenciales.

Anillos conmutativos simples

Un anillo conmutativo simplicial es un objeto simplicial en la categoría de anillos conmutativos. Son bloques de construcción para la geometría algebraica derivada (conectiva). Una noción estrechamente relacionada pero más general es la de anillo E∞.

Aplicaciones de los anillos conmutativos

• Funciones holomorfas
• Teoría Algebraica K
• Teoría K Topológica
• Estructuras de poder divididas
• Witt vectores
• Álgebra de Hecke (utilizada en la prueba de Wiles del último teorema de Fermat)
• Anillos de período de Fontaine
• Álgebra de racimo
• Álgebra convolutiva (de un grupo comunicativo)
• Álgebra Fréchet