Anillo artiniano

En matemáticas, específicamente en álgebra abstracta, un anillo artiniano (a veces anillo Artin) es un anillo que satisface la condición de cadena descendente en ideales (unilaterales); es decir, no existe una secuencia descendente infinita de ideales. Los anillos artinianos llevan el nombre de Emil Artin, quien descubrió por primera vez que la condición de cadena descendente para ideales generaliza simultáneamente anillos finitos y anillos que son espacios vectoriales de dimensión finita sobre campos. La definición de anillos artinianos puede reformularse intercambiando la condición de la cadena descendente con una noción equivalente: la condición mínima.

Precisamente, un anillo es Artiniano de izquierda si satisface la condición de cadena descendente en ideales de izquierda, Artiniano de derecha si satisface la condición de cadena descendente en ideales de derecha, y Artiniano de derecha si satisface la condición de cadena descendente en ideales de derecha, y < b>Artiniano o Artiniano de dos caras si es artiniano tanto de izquierda como de derecha. Para los anillos conmutativos, las definiciones de izquierda y derecha coinciden, pero en general son distintas entre sí.

El teorema de Wedderburn-Artin caracteriza cada anillo artiniano simple como un anillo de matrices sobre un anillo de división. Esto implica que un anillo simple es artiniano izquierdo si y sólo si es artiniano derecho.

La misma definición y terminología se puede aplicar a los módulos, reemplazando los ideales por submódulos.

Aunque la condición de cadena descendente parece dual a la condición de cadena ascendente, en los anillos es de hecho la condición más fuerte. Específicamente, una consecuencia del teorema de Akizuki-Hopkins-Levitzki es que un anillo artiniano izquierdo (o derecho) es automáticamente un anillo noetheriano izquierdo (o derecho). Esto no es cierto para los módulos generales; es decir, un módulo artiniano no tiene por qué ser un módulo noetheriano.

Ejemplos y contraejemplos

• Un dominio integral es Artinian si y sólo si es un campo.
• Un anillo con finitos muchos, dicen a la izquierda, ideales se deja Artinian. En particular, un anillo finito (por ejemplo, ${displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z}$) es izquierda y derecha Artinian.
• Vamos k Sé un campo. Entonces... ${displaystyle k[t]/(t^{n}$ es Artinian para cada entero positivo n.
• Análogamente, ${displaystyle k[x,y]/(x^{2},y^{3},xy^{2})=koplus kcdot xoplus kcdot yoplus kcdot xyoplus kcdot y^{2}}}$ es un anillo Artiniano con el máximo ideal ${displaystyle (x,y)}$.
• Vamos ${displaystyle x}$ ser un endomorfismo entre un espacio vectorial finito-dimensional V. Entonces el subalgebra ${displaystyle Asubset operatorname {End} (V)}$ generados por ${displaystyle x}$ es un anillo artiniano conmutativo.
• Si I es un no cero ideal de un dominio Dedekind A, entonces ${displaystyle A/I}$ es un anillo Artiniano principal.
• Para cada uno ${displaystyle ngeq 1}$, el anillo de matriz completo ${displaystyle M_{n}(R)}$ sobre un anillo Artiniano izquierdo (resp. izquierda Noetherian) R queda Artinian (resp. izquierda Noetherian).

Los dos siguientes son ejemplos de anillos no artinianos.

• Si R es cualquier anillo, entonces el anillo polinomio R[x] no es Artinian, ya que el ideal generado por ${displaystyle x^{n+1}$ es (properly) contenida en el ideal generado por ${displaystyle x^{n}$ para todos los números naturales n. En contraste, si R Noetherian así es R[xPor el teorema de base de Hilbert.
• El anillo de los enteros ${displaystyle mathbb {Z}$ es un anillo noetheriano pero no es Artiniano.

Módulos sobre anillos artinianos

Sea M un módulo izquierdo sobre un anillo artiniano izquierdo. Entonces los siguientes son equivalentes (teorema de Hopkins): (i) M se genera de forma finita, (ii) M tiene una longitud finita (es decir, tiene series de composición), (iii) M es noetheriano, (iv) M es artiniano.

Anillos artinianos conmutativos

Sea A un anillo noetheriano conmutativo con unidad. Entonces los siguientes son equivalentes.

• A Es Artinian.
• A es un producto finito de anillos locales artinianos conmutativos.
• A/ nil(A) es un anillo semisimple, donde nil(A) es el nilradical de A.
• Cada módulo generado finitomente sobre A tiene longitud finita. (véase supra)
• A tiene la dimensión de Krull cero. (En particular, el nilradical es el radical Jacobson ya que los ideales primos son maximal.)
• ${displaystyle operatorname {Spec} A}$ es finito y discreto.
• ${displaystyle operatorname {Spec} A}$ es discreto.

Sea k un campo y A álgebra k finitamente generada. Entonces A es artiniano si y sólo si A se genera finitamente como módulo k.

Un anillo local artiniano está completo. Un cociente y localización de un anillo artiniano es artiniano.

Anillo artiniano sencillo

Una versión del teorema de Wedderburn–Artin indica que un simple anillo Artiniano A es un anillo de matriz sobre un anillo de división. De hecho, vamos I ser un mínimo (no cero) ideal derecho de A, que existe desde entonces A es Artiniano (y el resto de la prueba no utiliza el hecho de que A es Artiniano). Entonces, desde ${displaystyle ¡Sí!$ es un ideal de dos caras, ${displaystyle AI=A}$ desde entonces A es simple. Así, podemos elegir ${displaystyle a_{i}in A}$ así ${displaystyle 1in a_{1}I+cdots Yo...$. Assume k es mínimo con respecto a esa propiedad. Considerar el mapa de la derecha A-módulos:

${displaystyle {begin{cases}I^{oplus k}to A,(y_{1},dotsy_{k})mapsto a_{1}y_{1}+cdots - Sí.$

Es subjetivo. Si no es inyectable, digamos: ${displaystyle a_{1}y_{1}=a_{2}y_{2}+cdots - Sí.$ con nonzero ${displaystyle Y...$. Entonces, por la mínimaidad I, tenemos: ${displaystyle y_{1}A=I}$. A continuación:

${displaystyle A_{1}I=a_{1}y_{1}Asubset a_{2}I+cdots Yo...$,

que contradice la mínimaidad k. Por lo tanto, ${displaystyle I^{oplus k}simeq A}$ y así ${displaystyle Asimeq operatorname {End} _{A}(A)simeq M_{k}(operatorname {End} _{A}(I)}}}$.