Ángulo

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En geometría euclidiana, un ángulo es la figura formada por dos rayos, llamados lados del ángulo, que comparten un extremo común, llamado vértice del ángulo. Los ángulos formados por dos rayos se encuentran en el plano que contiene los rayos. Los ángulos también se forman por la intersección de dos planos. Estos se llaman ángulos diédricos. Dos curvas que se cortan también pueden definir un ángulo, que es el ángulo de los rayos que se encuentran tangentes a las respectivas curvas en su punto de intersección.

Ángulo también se usa para designar la medida de un ángulo o de una rotación. Esta medida es la relación entre la longitud de un arco circular y su radio. En el caso de un ángulo geométrico, el arco está centrado en el vértice y delimitado por los lados. En el caso de una rotación, el arco está centrado en el centro de la rotación y delimitado por cualquier otro punto y su imagen por la rotación.

Historia y etimología

La palabra ángulo proviene de la palabra latina angulus , que significa "esquina"; Las palabras afines son el griego ἀγκύλος (ankylοs) , que significa "torcido, curvado", y la palabra inglesa "tobillo". Ambos están conectados con la raíz protoindoeuropea *ank- , que significa "doblar" o "inclinarse".

Euclides define un ángulo plano como la inclinación entre sí, en un plano, de dos líneas que se encuentran y no son rectas entre sí. Según Proclo, un ángulo debe ser una cualidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, quien consideraba un ángulo como una desviación de una línea recta; el segundo por Carpo de Antioquía, quien lo consideró como el intervalo o espacio entre las líneas que se cruzan; Euclides adoptó el tercer concepto.

Identificando ángulos

En expresiones matemáticas, es común usar letras griegas ( α , β , γ , θ , φ , . . . ) como variables que indican el tamaño de algún ángulo (para evitar confusiones con su otro significado, el símbolo π normalmente no se usa para este propósito). También se utilizan letras romanas en minúsculas ( a , b , c , . . . ), así como letras romanas en mayúsculas en el contexto de los polígonos. Vea las figuras en este artículo para ver ejemplos.

En las figuras geométricas, los ángulos también pueden identificarse por las etiquetas adheridas a los tres puntos que los definen. Por ejemplo, el ángulo en el vértice A encerrado por los rayos AB y AC (es decir, las líneas del punto A al punto B y del punto A al punto C) se denota ∠BAC (en Unicode U+2220 ∠ ÁNGULO ) o ${\widehat {\rm {BAC}}}$ . Cuando no hay riesgo de confusión, a veces se puede hacer referencia al ángulo simplemente por su vértice (en este caso, "ángulo A").

Potencialmente, un ángulo denotado como, por ejemplo, ∠BAC, podría referirse a cualquiera de los cuatro ángulos: el ángulo en el sentido de las agujas del reloj de B a C, el ángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj de B a C, el ángulo en el sentido de las agujas del reloj de C a B o el ángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj de C a B, donde la dirección en la que se mide el ángulo determina su signo (ver Ángulos positivos y negativos). Sin embargo, en muchas situaciones geométricas, es obvio por el contexto que se quiere decir el ángulo positivo menor o igual a 180 grados, en cuyo caso no surge ninguna ambigüedad. De lo contrario, se puede adoptar una convención de modo que ∠BAC siempre se refiera al ángulo antihorario (positivo) de B a C, y ∠CAB al ángulo antihorario (positivo) de C a B.

Tipos de ángulos

Ángulos individuales

Existe una terminología común para los ángulos, cuya medida siempre es no negativa (ver § Ángulos positivos y negativos ):

Un ángulo igual a 0° o no girado se llama ángulo cero.
Un ángulo más pequeño que un ángulo recto (menos de 90°) se llama ángulo agudo ("agudo" que significa "agudo").
Un ángulo igual a1/4 giro (90° oπ/2radianes) se llama ángulo recto . Se dice que dos rectas que forman un ángulo recto son normales , ortogonales o perpendiculares .
Un ángulo mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano (entre 90° y 180°) se denomina ángulo obtuso ("obtuso" que significa "romo").
Un ángulo igual a1/2 giro (180° o π radianes) se llama ángulo llano .
Un ángulo mayor que un ángulo llano pero menor de 1 vuelta (entre 180° y 360°) se llama ángulo reflejo .
Un ángulo igual a 1 vuelta (360° o 2 π radianes) se llama ángulo completo , ángulo completo , ángulo redondo o perigón .
Un ángulo que no es múltiplo de un ángulo recto se llama ángulo oblicuo .

Los nombres, intervalos y unidades de medida se muestran en la siguiente tabla:

Unidad	Intervalo
Nombre	cero	agudo	ángulo recto	obtuso	derecho	reflejo	perigón
turno	0 turno	(0,1/4) turno	1/4turno	(1/4,1/2) turno	1/2turno	(1/2, 1 turno	1 turno
radián	0 rad	(0,1/2π ) rad	1/2π rad	(1/2π , π ) radianes	π rad	( π , 2 π ) rad	2 π rad
la licenciatura	0°	(0, 90)°	90°	(90, 180)°	180°	(180, 360)°	360°
gon	0	(0, 100)	100	(100, 200)	200	(200, 400)	400

Pares de ángulos de equivalencia

Se dice que los ángulos que tienen la misma medida (es decir, la misma magnitud) son iguales o congruentes . Un ángulo se define por su medida y no depende de las longitudes de los lados del ángulo (p. ej., todos los ángulos rectos tienen la misma medida).
Dos ángulos que comparten lados terminales, pero difieren en tamaño en un múltiplo entero de una vuelta, se llaman ángulos coterminales .
Un ángulo de referencia es la versión aguda de cualquier ángulo determinado restando o sumando repetidamente un ángulo recto (1/2giro, 180°, o π radianes), a los resultados según sea necesario, hasta que la magnitud del resultado sea un ángulo agudo, un valor entre 0 y1/4giro, 90°, oπ/2radianes Por ejemplo, un ángulo de 30 grados tiene un ángulo de referencia de 30 grados y un ángulo de 150 grados también tiene un ángulo de referencia de 30 grados (180–150). Un ángulo de 750 grados tiene un ángulo de referencia de 30 grados (750–720).

Pares de ángulos verticales y adyacentes

Cuando dos rectas se cortan en un punto, se forman cuatro ángulos. En pares, estos ángulos se nombran de acuerdo con su ubicación relativa entre sí.

Un par de ángulos opuestos entre sí, formados por dos rectas que se cortan y que forman una forma de "X", se denominan ángulos verticales o ángulos opuestos o ángulos verticalmente opuestos . Se abrevian como vert. opp. ∠s .

La igualdad de ángulos verticalmente opuestos se llama teorema del ángulo vertical . Eudemo de Rodas atribuyó la prueba a Tales de Mileto. La proposición mostraba que, dado que los dos ángulos verticales de un par son suplementarios de los ángulos adyacentes, los ángulos verticales tienen la misma medida. Según una nota histórica, cuando Tales visitó Egipto, observó que cada vez que los egipcios dibujaban dos líneas que se cruzaban, medían los ángulos verticales para asegurarse de que fueran iguales. Tales concluyó que se podría probar que todos los ángulos verticales son iguales si se aceptaran algunas nociones generales como:

Todos los ángulos rectos son iguales.
Iguales sumados a iguales son iguales.
Iguales restados de iguales son iguales.

Cuando dos ángulos adyacentes forman una línea recta, son suplementarios. Por lo tanto, si asumimos que la medida del ángulo A es igual a x , entonces la medida del ángulo C sería 180° − x . De manera similar, la medida del ángulo D sería 180° − x . Tanto el ángulo C como el ángulo D tienen medidas iguales a 180° − x y son congruentes. Dado que el ángulo B es complementario de los ángulos C y D , cualquiera de estas medidas de ángulo puede usarse para determinar la medida del ángulo B. Usando la medida del ángulo C o del ángulo D , encontramos que la medida del ángulo B es 180° − (180° − x ) = 180° − 180° + x = x . Por lo tanto, tanto el ángulo A como el ángulo B tienen medidas iguales ax y son iguales en medida.

Ángulos adyacentes , a menudo abreviados como adj. ∠s , son ángulos que comparten un vértice y una arista en común, pero no comparten ningún punto interior. En otras palabras, son ángulos que están uno al lado del otro, o adyacentes, que comparten un "brazo". Los ángulos adyacentes que suman un ángulo recto, un ángulo llano o un ángulo completo son especiales y se denominan respectivamente ángulos complementarios , suplementarios y complementarios (ver § Combinación de pares de ángulos a continuación).

Una transversal es una línea que se cruza con un par de líneas (a menudo paralelas) y está asociada con ángulos interiores alternos , ángulos correspondientes , ángulos interiores y ángulos exteriores .

Combinando pares de ángulos

Tres pares de ángulos especiales involucran la suma de ángulos:

Los ángulos complementarios son pares de ángulos cuyas medidas suman un ángulo recto (1/4giro, 90°, oπ/2radianes). Si los dos ángulos complementarios son adyacentes, sus lados no compartidos forman un ángulo recto. En la geometría euclidiana, los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180 grados, y el ángulo recto mismo da 90 grados.

El adjetivo complementario es del latín complementum , asociado al verbo complere , "llenar". Un ángulo agudo se "llena" con su complemento para formar un ángulo recto.La diferencia entre un ángulo y un ángulo recto se denomina complemento del ángulo.Si los ángulos A y B son complementarios, se cumplen las siguientes relaciones: ${\begin{alineado}&\sin ^{2}A+\sin ^{2}B=1&&\cos ^{2}A+\cos ^{2}B=1\\[3pt]&\tan A=\cot B&&\sec A=\csc B\end{alineado}}$ (La tangente de un ángulo es igual a la cotangente de su complemento y su secante es igual a la cosecante de su complemento).El prefijo "co-" en los nombres de algunas razones trigonométricas se refiere a la palabra "complementario".

Dos ángulos que suman un ángulo llano (1/2giro, 180° o π radianes) se llaman ángulos suplementarios .

Si los dos ángulos suplementarios son adyacentes (es decir, tienen un vértice común y comparten solo un lado), sus lados no compartidos forman una línea recta. Tales ángulos se llaman un par lineal de ángulos . Sin embargo, los ángulos suplementarios no tienen que estar en la misma línea y pueden estar separados en el espacio. Por ejemplo, los ángulos adyacentes de un paralelogramo son suplementarios y los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico (cuyos vértices caen todos en un solo círculo) son suplementarios.Si un punto P es exterior a un círculo con centro O, y si las líneas tangentes desde P tocan el círculo en los puntos T y Q, entonces ∠TPQ y ∠TOQ son suplementarios.Los senos de los ángulos suplementarios son iguales. Sus cosenos y tangentes (a menos que no estén definidos) son iguales en magnitud pero tienen signos opuestos.En geometría euclidiana, toda suma de dos ángulos de un triángulo es suplementaria del tercero, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo es un ángulo llano.

Dos ángulos que suman un ángulo completo (1 vuelta, 360° o 2 π radianes) se llaman ángulos complementarios o ángulos conjugados .La diferencia entre un ángulo y un ángulo completo se denomina complemento del ángulo o conjugado de un ángulo.

Ángulos relacionados con polígonos

Un ángulo que forma parte de un polígono simple se llama ángulo interior si se encuentra en el interior de ese polígono simple. Un polígono cóncavo simple tiene al menos un ángulo interior que es un ángulo reflejo.En geometría euclidiana, las medidas de los ángulos interiores de un triángulo suman π radianes, 180°, o1/2turno; las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo simple suman 2 π radianes, 360° o 1 vuelta. En general, las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo simple de n lados suman ( n − 2) π radianes, o ( n − 2)180 grados, ( n − 2)2 ángulos rectos, o ( n − 2)1/2 turno.
El suplemento de un ángulo interior se llama ángulo exterior , es decir, un ángulo interior y un ángulo exterior forman un par de ángulos lineales. Hay dos ángulos exteriores en cada vértice del polígono, cada uno determinado por la extensión de uno de los dos lados del polígono que se encuentran en el vértice; estos dos ángulos son verticales y por lo tanto son iguales. Un ángulo exterior mide la cantidad de rotación que uno tiene que hacer en un vértice para trazar el polígono. Si el ángulo interior correspondiente es un ángulo reflejo, el ángulo exterior debe considerarse negativo. Incluso en un polígono que no sea simple, puede ser posible definir el ángulo exterior, pero habrá que elegir una orientación del plano (o superficie) para decidir el signo de la medida del ángulo exterior.En geometría euclidiana, la suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo simple, si solo se supone uno de los dos ángulos exteriores en cada vértice, será una vuelta completa (360°). El ángulo exterior aquí podría llamarse un ángulo exterior suplementario . Los ángulos exteriores se usan comúnmente en los programas de Logo Turtle cuando se dibujan polígonos regulares.
En un triángulo, las bisectrices de dos ángulos exteriores y la bisectriz del otro ángulo interior son concurrentes (se encuentran en un solo punto).
En un triángulo, tres puntos de intersección, cada uno de la bisectriz de un ángulo externo con el lado extendido opuesto, son colineales.
En un triángulo son colineales tres puntos de intersección, dos de ellos entre la bisectriz de un ángulo interior y el lado opuesto, y el tercero entre la bisectriz del otro ángulo exterior y la prolongación del lado opuesto.
Algunos autores usan el nombre de ángulo exterior de un polígono simple para referirse simplemente al ángulo exterior complemento ( ¡ no suplemento!) del ángulo interior. Esto entra en conflicto con el uso anterior.

Ángulos relacionados con el plano

El ángulo entre dos planos (como dos caras adyacentes de un poliedro) se llama ángulo diedro . Puede definirse como el ángulo agudo entre dos rectas normales a los planos.
El ángulo entre un plano y una línea recta que se corta es igual a noventa grados menos el ángulo entre la línea que se corta y la línea que pasa por el punto de intersección y es normal al plano.

Ángulos de medición

El tamaño de un ángulo geométrico generalmente se caracteriza por la magnitud de la rotación más pequeña que mapea uno de los rayos en el otro. Se dice que los ángulos que tienen el mismo tamaño son iguales o congruentes o de igual medida .

En algunos contextos, como identificar un punto en un círculo o describir la orientación de un objeto en dos dimensiones en relación con una orientación de referencia, los ángulos que difieren en un múltiplo exacto de una vuelta completa son efectivamente equivalentes. En otros contextos, como identificar un punto en una curva en espiral o describir la rotación acumulativa de un objeto en dos dimensiones en relación con una orientación de referencia, los ángulos que difieren en un múltiplo distinto de cero de una vuelta completa no son equivalentes.

Para medir un ángulo θ , se dibuja un arco circular centrado en el vértice del ángulo, por ejemplo, con un compás. La razón de la longitud s del arco por el radio r del círculo es el número de radianes en el ángulo. Convencionalmente, en matemáticas y en el SI, el radián se trata como si fuera igual al valor adimensional 1.

El ángulo expresado en otra unidad angular se puede obtener multiplicando el ángulo por una constante de conversión adecuada de la formak/2 pi, donde k es la medida de una vuelta completa expresada en la unidad elegida (por ejemplo, k = 360° para grados o 400 grad para gradianes): $\theta ={\frac {k}{2\pi }}\cdot {\frac {s}{r}}.$

El valor de θ así definido es independiente del tamaño del círculo: si se cambia la longitud del radio entonces la longitud del arco cambia en la misma proporción, por lo que la relación s / r permanece inalterada.

En particular, la medida del ángulo en radianes también puede interpretarse como la longitud del arco de su círculo unitario correspondiente:

Postulado de la suma de ángulos

El postulado de la suma de ángulos establece que si B está en el interior del ángulo AOC, entonces $m\ángulo \mathrm {AOC} =m\ángulo \mathrm {AOB} +m\ángulo \mathrm {BOC}$

La medida del ángulo AOC es la suma de la medida del ángulo AOB y la medida del ángulo BOC.

Unidades

A lo largo de la historia, los ángulos se han medido en varias unidades. Estas se conocen como unidades angulares , siendo las unidades más contemporáneas el grado (°), el radián (rad) y el gradian (grad), aunque se han utilizado muchas otras a lo largo de la historia.

En el Sistema Internacional de Magnitudes, el ángulo se define como una cantidad adimensional. Esto afecta la forma en que se trata el ángulo en el análisis dimensional.

La mayoría de las unidades de medida angular se definen de manera que una vuelta (es decir, un círculo completo) es igual a n unidades, para algún número entero n . Dos excepciones son el radián (y sus submúltiplos decimales) y la parte del diámetro.

Un radián es el ángulo subtendido por un arco de círculo que tiene la misma longitud que el radio del círculo. El radián es la unidad derivada de medida angular en el sistema SI. Por definición, no tiene dimensiones, aunque se puede especificar como rad para evitar ambigüedades. Los ángulos medidos en grados, se muestran con el símbolo °. Las subdivisiones del grado son minuto (símbolo ′, 1′ = 1/60°) y segundo (símbolo ″, 1″ = 1/3600°). Un ángulo de 360° corresponde al ángulo subtendido por un círculo completo y es igual a 2 π radianes, o 400 gradianes.

En la siguiente tabla se enumeran otras unidades utilizadas para representar ángulos. Estas unidades se definen de tal manera que el número de vueltas es equivalente a un círculo completo.

nombre	número en un turno	en grados	descripción
Turno	1	360°	El giro , también ciclo , círculo completo , revolución y rotación , es movimiento circular completo o medida (como para volver al mismo punto) con círculo o elipse. Un giro se abrevia cyc , rev o rot según la aplicación. Un giro es igual a 2 π radianes o 360 grados.
múltiplos de π	2	180°	La unidad múltiplos de π radianes (MUL π ) está implementada en la calculadora científica RPN WP 43S. Ver también: Operaciones recomendadas IEEE 754
Cuadrante	4	90°	Un cuadrante es un1/4 giro y también conocido como ángulo recto . El cuadrante es la unidad utilizada en los Elementos de Euclides. En alemán, el símbolo se ha utilizado para indicar un cuadrante. 1 cuadrante = 90° =π/2 rad =1/4vuelta = 100 grados.
Sextante	6	60°	El sextante era la unidad utilizada por los babilonios. El grado, el minuto de arco y el segundo de arco son subunidades sexagesimales de la unidad babilónica. Es especialmente fácil de construir con regla y compás. Es el ángulo del triángulo equilátero o es1/6 turno. 1 unidad babilónica = 60° = π /3 rad ≈ 1,047197551 rad.
Radián	2 pi	57°17′	El radián está determinado por la circunferencia de un círculo que tiene una longitud igual al radio del círculo ( n = 2 π = 6,283...). Es el ángulo subtendido por un arco de círculo que tiene la misma longitud que el radio del círculo. El símbolo de radián es rad . Un giro es 2 π radianes, y un radian es180°/π, o alrededor de 57,2958 grados. En los textos matemáticos, los ángulos a menudo se tratan como adimensionales con el radián igual a uno, lo que da como resultado que la unidad rad a menudo se omita. El radián se utiliza prácticamente en todos los trabajos matemáticos más allá de la simple geometría práctica, debido, por ejemplo, a las propiedades agradables y "naturales" que muestran las funciones trigonométricas cuando sus argumentos están en radianes. El radián es la unidad (derivada) de medida angular en el SI, que también trata al ángulo como adimensional.
hexacontada	60	6°	La hexacontada es una unidad utilizada por Eratóstenes. Es igual a 6°, por lo que toda una vuelta se dividió en 60 hexacontadas.
grado binario	256	1°33'45"	El grado binario , también conocido como radián binario o brad o medida angular binaria (BAM) . El grado binario se usa en computación para que un ángulo se pueda representar de manera eficiente en un solo byte (aunque con una precisión limitada). Otras medidas de ángulo utilizadas en computación pueden basarse en dividir un giro completo en 2 partes iguales para otros valores de n .Está1/256de un turno
La licenciatura	360	1°	Una ventaja de esta antigua subunidad sexagesimal es que muchos ángulos comunes en la geometría simple se miden como un número entero de grados. Las fracciones de grado pueden escribirse en notación decimal normal (p. ej., 3,5° para tres grados y medio), pero también se utilizan las subunidades sexagesimales "minuto" y "segundo" del sistema "grado-minuto-segundo", especialmente para coordenadas geográficas y en astronomía y balística ( n = 360) El grado , indicado por un pequeño círculo en superíndice (°), es 1/360 de una vuelta, por lo que una vuelta es 360°. El caso de los grados para la fórmula dada anteriormente, se obtiene un grado de n = unidades de 360° haciendo k =360°/2 pi.
Graduado	400	0°54′	El grad , también llamado grado , gradian o gon . un ángulo recto es de 100 grados. Es una subunidad decimal del cuadrante. Históricamente, un kilómetro se definió como un centigrado de arco a lo largo de un meridiano de la Tierra, por lo que el kilómetro es el análogo decimal de la milla náutica sexagesimal ( n = 400). El graduado se utiliza principalmente en triangulación y topografía continental.
minuto de arco	21,600	0°1′	El minuto de arco (o MOA , minuto de arco o simplemente minuto ) es1/60de un grado Históricamente, una milla náutica se definió como un minuto de arco a lo largo de un gran círculo de la Tierra ( n = 21,600). El minuto de arco es1/60de un grado =1/21,600turno. Se denota por un solo número primo ( ′ ). Por ejemplo, 3° 30′ es igual a 3 × 60 + 30 = 210 minutos o 3 + 30/60= 3,5 grados. A veces también se usa un formato mixto con fracciones decimales, por ejemplo, 3° 5.72′ = 3 + 5.72/60grados Una milla náutica se definió históricamente como un minuto de arco a lo largo de un gran círculo de la Tierra.
segundo de arco	1,296,000	0°0′1″	El segundo de arco (o segundo de arco , o simplemente segundo ) es1/60de un minuto de arco y1/3600de un grado ( n = 1.296.000). El segundo de arco (o segundo de arco , o simplemente segundo ) es1/60de un minuto de arco y1/3600de un grado Se denota por un doble primo ( ″ ). Por ejemplo, 3° 7′ 30″ es igual a 3 +7/60+30/3600grados, o 3,125 grados.

Otros descriptores

Ángulo horario ( n = 24): El ángulo horario astronómico es1/24 turno. Como este sistema es apto para medir objetos que ciclan una vez al día (como la posición relativa de las estrellas), las subunidades sexagesimales se denominan minutos de tiempo y segundos de tiempo . Estos son distintos y 15 veces más grandes que los minutos y segundos de arco. 1 hora = 15° =π/12 rad =1/6 cuádruple =1/24 turno = 16+2/3 graduado
(Brújula) punto o viento ( n = 32): El punto , utilizado en la navegación, es1/32de un turno 1 punto =1/8de un ángulo recto = 11,25° = 12,5 grad. Cada punto se subdivide en cuatro cuartos de punto, de modo que 1 vuelta equivale a 128 cuartos de punto.
Pechus ( n = 144–180): El pechus era una unidad babilónica equivalente a aproximadamente 2° o 2+1/2°.
Tau, el número de radianes en una vuelta (1 vuelta = τ rad), τ = 2 π .
Chi, una antigua medida de ángulo china.
Parte del diámetro ( n = 376.99...): La parte del diámetro (usada ocasionalmente en las matemáticas islámicas) es1/60radián. Una "parte de diámetro" es aproximadamente 0,95493°. Hay alrededor de 376,991 piezas de diámetro por vuelta.
Miliradianes y definiciones derivadas: el verdadero milirradián se define como una milésima de radián, lo que significa que una rotación de una vuelta equivaldría exactamente a 2000π mil (o aproximadamente 6283,185 mil), y casi todas las miras telescópicas para armas de fuego están calibradas según esta definición. Además, existen otras tres definiciones derivadas utilizadas para la artillería y la navegación que son aproximadamente iguales a un milirradián. Según estas otras tres definiciones, un giro compensa exactamente 6000, 6300 o 6400 mils, lo que equivale a abarcar el rango de 0,05625 a 0,06 grados (3,375 a 3,6 minutos). En comparación, el milirradián verdadero es aproximadamente 0,05729578 grados (3,43775 minutos). Un "mil de la OTAN" se define como1/6400de un circulo Al igual que con el milirradián verdadero, cada una de las otras definiciones explota la útil propiedad de las subtensiones de mil, es decir, que el valor de un milirradián es aproximadamente igual al ángulo subtendido por un ancho de 1 metro visto desde 1 km de distancia (2 pi/6400= 0.0009817... ≈1/1000).
Akhnam y zam. En la antigua Arabia, un turno se subdividía en 32 Akhnam y cada akhnam se subdividía en 7 zam, de modo que un turno es 224 zam.

Ángulos firmados

Aunque la definición de la medida de un ángulo no soporta el concepto de ángulo negativo, frecuentemente es útil imponer una convención que permita valores angulares positivos y negativos para representar orientaciones y/o rotaciones en direcciones opuestas relativas a alguna referencia.

En un sistema de coordenadas cartesianas bidimensional, un ángulo generalmente se define por sus dos lados, con su vértice en el origen. El lado inicial está en el eje x positivo, mientras que el otro lado o lado terminal está definido por la medida del lado inicial en radianes, grados o vueltas. Con ángulos positivos que representan rotaciones hacia el eje y positivo y ángulos negativos que representan rotaciones hacia el eje y negativo . Cuando las coordenadas cartesianas se representan mediante la posición estándar , definida por el eje x hacia la derecha y el eje y hacia arriba, las rotaciones positivas son en sentido contrario a las agujas del reloj y las rotaciones negativas en el sentido de las agujas del reloj.

En muchos contextos, un ángulo de − θ es efectivamente equivalente a un ángulo de "una vuelta completa menos θ ". Por ejemplo, una orientación representada como −45° es efectivamente equivalente a una orientación representada como 360° − 45° o 315°. Aunque la posición final es la misma, no es lo mismo una rotación física (movimiento) de −45° que una rotación de 315° (por ejemplo, la rotación de una persona sosteniendo una escoba apoyada en un suelo polvoriento dejaría huellas visualmente diferentes de regiones barridas en el suelo).

En geometría tridimensional, "horario" y "antihorario" no tienen un significado absoluto, por lo que la dirección de los ángulos positivos y negativos debe definirse en relación con alguna referencia, que suele ser un vector que pasa por el vértice del ángulo y es perpendicular al plano en que se encuentran los rayos del ángulo.

En la navegación, los rumbos o el azimut se miden en relación con el norte. Por convención, vistos desde arriba, los ángulos de rumbo son positivos en el sentido de las agujas del reloj, por lo que un rumbo de 45° corresponde a una orientación noreste. Los rumbos negativos no se utilizan en la navegación, por lo que una orientación noroeste corresponde a un rumbo de 315°.

Formas alternativas de medir el tamaño de un ángulo

Hay varias alternativas para medir el tamaño de un ángulo por el ángulo de rotación. La pendiente o gradiente es igual a la tangente del ángulo, oa veces (raramente) al seno; un gradiente a menudo se expresa como un porcentaje. Para valores muy pequeños (menos del 5%), la pendiente de una pendiente es aproximadamente la medida del ángulo en radianes.

En geometría racional, la extensión entre dos líneas se define como el cuadrado del seno del ángulo entre las líneas. Como el seno de un ángulo y el seno de su ángulo suplementario son iguales, cualquier ángulo de rotación que mapee una de las líneas en la otra conduce al mismo valor para la extensión entre las líneas.

Aproximaciones astronómicas

Los astrónomos miden la separación angular de los objetos en grados desde su punto de observación.

0,5° es aproximadamente el ancho del sol o la luna.
1° es aproximadamente el ancho de un dedo meñique con el brazo extendido.
10° es aproximadamente el ancho de un puño cerrado con el brazo extendido.
20° es aproximadamente el ancho de un palmo con el brazo extendido.

Estas medidas dependen claramente del sujeto individual, y lo anterior debe tratarse solo como aproximaciones aproximadas de la regla general.

En astronomía, la ascensión recta y la declinación generalmente se miden en unidades angulares, expresadas en términos de tiempo, con base en un día de 24 horas.

Unidad	Símbolo	La licenciatura	radianes	Circulo	Otro
Hora	h	15°	^π ⁄₁₂	¹ ⁄ ₂₄
Minuto	metro	0°15'	^π ⁄₇₂₀	¹ ⁄ _1,440	¹ ⁄ ₆₀ hora
Segundo	s	0°0'15"	^π ⁄₄₃₂₀₀	¹ ⁄ _86,400	¹ ⁄ ₆₀ minutos

Medidas que no son unidades angulares

No todas las medidas de ángulos son unidades angulares, para una medida angular, es definitorio que se cumple el postulado de la suma de ángulos.

Algunas medidas de ángulos donde el postulado de la suma de ángulos no se cumple incluyen:

Funciones trigonométricas
Pendiente

Ángulos entre curvas

El ángulo entre una línea y una curva (ángulo mixto) o entre dos curvas que se cruzan (ángulo curvilíneo) se define como el ángulo entre las tangentes en el punto de intersección. Se han dado varios nombres (que ahora se usan raramente, si es que se usan alguna vez) a casos particulares:— anficírtico (Gr. ἀμφί , en ambos lados, κυρτός, convexo) o cissoidal (Gr. κισσός, hiedra), biconvexo; xistroidal o sistroidal (del gr. ξυστρίς, una herramienta para raspar), cóncavo-convexa; anficélico (del gr. κοίλη, un hueco) o angulus lunularis , bicóncavo.

Bisección y trisección de ángulos

Los antiguos matemáticos griegos sabían cómo bisecar un ángulo (dividirlo en dos ángulos de igual medida) usando solo un compás y una regla, pero solo podían trisecar ciertos ángulos. En 1837, Pierre Wantzel demostró que para la mayoría de los ángulos no se puede realizar esta construcción.

Producto escalar y generalizaciones

En el espacio euclidiano, el ángulo θ entre dos vectores euclidianos u y v está relacionado con su producto escalar y sus longitudes mediante la fórmula $\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.$

Esta fórmula proporciona un método sencillo para encontrar el ángulo entre dos planos (o superficies curvas) a partir de sus vectores normales y entre líneas oblicuas a partir de sus ecuaciones vectoriales.

Producto Interno

Para definir ángulos en un espacio de producto interior real abstracto, reemplazamos el producto escalar euclidiano ( · ) por el producto interior $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ , es decir $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right \|.$

En un espacio de producto interno complejo, la expresión del coseno anterior puede dar valores no reales, por lo que se reemplaza con $\operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\ izquierda\|\mathbf {v} \derecha\|.$

o, más comúnmente, usando el valor absoluto, con $\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\| \izquierda\|\mathbf {v} \derecha\|.$

La última definición ignora la dirección de los vectores y, por lo tanto, describe el ángulo entre subespacios unidimensionales $\operatorname {span} (\mathbf {u} )$ y $\operatorname {span} (\mathbf {v} )$ atravesado por los vectores $\mathbf{u}$ y $\matemáticas {v}$ correspondientemente

Ángulos entre subespacios

La definición del ángulo entre subespacios unidimensionales $\operatorname {span} (\mathbf {u} )$ y $\operatorname {span} (\mathbf {v} )$ dada por $\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\| \izquierda\|\mathbf {v} \derecha\|$

en un espacio de Hilbert se puede extender a subespacios de cualquier dimensión finita. Dados dos subespacios ${\ matemáticas {U}}$ , ${\ matemáticas {W}}$ con $\dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l$ , esto conduce a una definición de $k$ ángulos llamados ángulos canónicos o principales entre subespacios.

Ángulos en la geometría de Riemann

En la geometría de Riemann, el tensor métrico se usa para definir el ángulo entre dos tangentes. Donde U y V son vectores tangentes y g _ij son las componentes del tensor métrico G , $\cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right |\izquierda|g_{ij}V^{i}V^{j}\derecha|}}}.$

Ángulo hiperbólico

Un ángulo hiperbólico es un argumento de una función hiperbólica al igual que el ángulo circular es el argumento de una función circular. La comparación se puede visualizar como el tamaño de las aberturas de un sector hiperbólico y un sector circular ya que las áreas de estos sectores corresponden a las magnitudes de los ángulos en cada caso. A diferencia del ángulo circular, el ángulo hiperbólico no tiene límites. Cuando las funciones circulares e hiperbólicas se ven como series infinitas en su argumento de ángulo, las circulares son solo formas de series alternas de las funciones hiperbólicas. Este tejido de los dos tipos de ángulo y función fue explicado por Leonhard Euler en Introducción al Análisis del Infinito .

Ángulos en geografía y astronomía.

En geografía, la ubicación de cualquier punto de la Tierra se puede identificar mediante un sistema de coordenadas geográficas . Este sistema especifica la latitud y la longitud de cualquier ubicación en términos de ángulos subtendidos en el centro de la Tierra, usando el ecuador y (generalmente) el meridiano de Greenwich como referencias.

En astronomía, un punto dado en la esfera celeste (es decir, la posición aparente de un objeto astronómico) se puede identificar utilizando cualquiera de varios sistemas de coordenadas astronómicas , donde las referencias varían según el sistema en particular. Los astrónomos miden la separación angular de dos estrellas imaginando dos líneas a través del centro de la Tierra, cada una de las cuales se cruza con una de las estrellas. El ángulo entre esas líneas se puede medir y es la separación angular entre las dos estrellas.

Tanto en geografía como en astronomía, la dirección de avistamiento se puede especificar en términos de un ángulo vertical, como la altitud/elevación con respecto al horizonte, así como el acimut con respecto al norte.

Los astrónomos también miden el tamaño aparente de los objetos como un diámetro angular. Por ejemplo, la luna llena tiene un diámetro angular de aproximadamente 0,5°, cuando se ve desde la Tierra. Se podría decir: "El diámetro de la Luna subtiende un ángulo de medio grado". La fórmula de ángulo pequeño se puede utilizar para convertir una medida angular de este tipo en una relación de distancia/tamaño.

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