Análisis reales

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Matemáticas de números reales y funciones reales

En matemáticas, la rama del análisis real estudia el comportamiento de los números reales, las sucesiones y series de números reales y las funciones reales. Algunas propiedades particulares de las sucesiones y funciones de valores reales que estudia el análisis real incluyen la convergencia, los límites, la continuidad, la suavidad, la diferenciabilidad y la integrabilidad.

El análisis real se distingue del análisis complejo, que se ocupa del estudio de los números complejos y sus funciones.

Alcance

Construcción de los números reales

Los teoremas de análisis reales dependen de las propiedades del sistema de números reales, que debe establecerse. El sistema de números reales consta de un conjunto incontable ( $mathbb {R}$ ), junto con dos operaciones binarias denotadas $+$ y $\cdot$ , y un orden denotado $.$ . Las operaciones hacen de los números reales un campo, y, junto con el orden, un campo ordenado. El sistema de números verdaderos es el único campo completo ordenado, en el sentido de que cualquier otro campo ordenado completo es isomorfo a él. Intuitivamente, la integridad significa que no hay "gaps" en los números reales. Esta propiedad distingue los números reales de otros campos ordenados (por ejemplo, los números racionales $mathbb {Q}$ ) y es crítico para la prueba de varias propiedades clave de las funciones de los números reales. La integridad de los reinos a menudo se expresa convenientemente como propiedad inferior (véase infra).

Propiedades de orden de los números reales

Los números reales tienen varias propiedades teóricas de celosía que están ausentes en los números complejos. Además, los números reales forman un campo ordenado, en el que las sumas y los productos de números positivos también son positivos. Además, el orden de los números reales es total, y los números reales tienen la propiedad de límite superior mínimo:

Cada subconjunto no vacío $mathbb {R}$ que tiene un límite superior tiene un límite mínimo superior que es también un número real.

Estas propiedades de la teoría del orden conducen a una serie de resultados fundamentales en el análisis real, como el teorema de la convergencia monótona, el teorema del valor intermedio y el teorema del valor medio.

Sin embargo, aunque los resultados del análisis real se expresan para números reales, muchos de estos resultados se pueden generalizar a otros objetos matemáticos. En particular, muchas ideas en el análisis funcional y la teoría de operadores generalizan las propiedades de los números reales; tales generalizaciones incluyen las teorías de los espacios de Riesz y los operadores positivos. Además, los matemáticos consideran partes reales e imaginarias de secuencias complejas, o mediante evaluación puntual de secuencias de operadores.

Propiedades topológicas de los números reales

Muchos de los teoremas de análisis reales son consecuencias de las propiedades topológicas de la línea de números reales. Las propiedades del orden de los números reales descritos anteriormente están estrechamente relacionadas con estas propiedades topológicas. Como espacio topológico, los números reales tienen un topología estándar, que es la orden topología inducida por orden $<math alttext="{displaystyle .{displaystyle] <img alt="$ . Alternativamente, definiendo el métrica o función de distancia ${displaystyle d:mathbb {R} times mathbb {R} to mathbb {R} _{geq 0}}$ usando la función de valor absoluto como ${displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ , los números reales se convierten en el ejemplo prototípico de un espacio métrico. La topología inducida por métrica $d$ resulta ser idéntico a la topología estándar inducida por orden $<math alttext="{displaystyle .{displaystyle] <img alt="$ . Teoremas como el teorema de valor intermedio que son esencialmente topológico en la naturaleza a menudo se puede probar en el entorno más general de los espacios métricos o topológicos en lugar de en $mathbb {R}$ sólo. A menudo, tales pruebas tienden a ser más cortas o más simples en comparación con las pruebas clásicas que aplican métodos directos.

Secuencias

Una secuencia es una función cuyo dominio es un conjunto numerable y totalmente ordenado. El dominio suele tomarse como los números naturales, aunque en ocasiones es conveniente considerar también secuencias bidireccionales indexadas por el conjunto de todos los números enteros, incluidos los índices negativos.

De interés en el análisis real, un secuencia de valor real, aquí indexado por los números naturales, es un mapa ${displaystyle a:mathbb {N} to mathbb {R}:nmapsto a_{n}}$ . Cada uno ${displaystyle a(n)=a_{n}}$ se denomina a mandato (o, menos comúnmente, un elemento) de la secuencia. Una secuencia raramente se denota explícitamente como una función; en cambio, por convención, casi siempre se notifica como si se tratara de un ∞-tuple ordenado, con términos individuales o un término general encerrado en paréntesis:

{displaystyle (a_{n})=(a_{n})_{nin mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},dots).}

{textstyle lim _{nto infty }a_{n}}

convergentedivergenteVea la sección sobre límites y convergencia para detalles.

(a_{n})

atado

{displaystyle Min mathbb {R} }

<math alttext="{displaystyle |a_{n}|SilencioanSilencio.M{displaystyle Silencio.<img alt="{displaystyle |a_{n}|

nin mathbb {N}

(a_{n})

monotonicamente aumentandodisminución

{displaystyle a_{1}leq a_{2}leq a_{3}leq cdots }

{displaystyle a_{1}geq a_{2}geq a_{3}geq cdots }

monotónicoestricto

leq

geq

Dada una secuencia $(a_{n})$ , otra secuencia ${displaystyle (b_{k})}$ es un subsequence de $(a_{n})$ si ${displaystyle b_{k}=a_{n_{k}}}$ para todos los enteros positivos $k$ y ${displaystyle (n_{k})}$ es una secuencia estrictamente creciente de números naturales.

Límites y convergencia

Roughly speaking, a límite es el valor que una función o una secuencia "aplica" como la entrada o el índice se acerca a algún valor. (Este valor puede incluir los símbolos $pm infty$ al abordar el comportamiento de una función o secuencia a medida que la variable aumenta o disminuye sin límites.) La idea de un límite es fundamental para el cálculo (y el análisis matemático en general) y su definición formal se utiliza a su vez para definir nociones como continuidad, derivados e integrales. (De hecho, el estudio de limitar el comportamiento se ha utilizado como una característica que distingue cálculo y análisis matemático de otras ramas de la matemática.)

Newton y Leibniz introdujeron informalmente el concepto de límite para las funciones a fines del siglo XVII, para construir el cálculo infinitesimal. Para las sucesiones, el concepto fue introducido por Cauchy, y se hizo riguroso a fines del siglo XIX por Bolzano y Weierstrass, quienes dieron la definición moderna de ε-δ, que se muestra a continuación.

Definición. Vamos $f$ ser una función de valor real definida en $Esubsetmathbb{R}$ . Decimos eso $f(x)$ tiende a $L$ como $x$ enfoques $x_{0}$ , o eso el límite $f(x)$ como $x$ enfoques $x_{0}$ es $L$ si, para cualquier $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ , existe $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ ■0{displaystyle delta >0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>$ tal que para todos $xin E$ , $<math alttext="{displaystyle 0<|x-x_{0}|0.Silenciox− − x0Silencio.δ δ {displaystyle 0 interpretado habitx-x_{0}<img alt="{displaystyle 0<|x-x_{0}|$ implica que $<math alttext="{displaystyle |f(x)-L|Silenciof()x)- - LSilencio.ε ε {displaystyle Silenciof(x)-L invisiblevarepsilon } <img alt="|f(x) - L|$ . Escribimos esto simbólicamente como

{displaystyle f(x)to L {text{as}} xto x_{0},}

{displaystyle lim _{xto x_{0}}f(x)=L.}

{displaystyle f(x)to L}

{displaystyle xto x_{0}}

varepsilon

delta

f(x)

L

varepsilon

x

f

delta

x_{0}

x_{0}

<math alttext="{displaystyle 00.Silenciox− − x0Silencio{displaystyle 0 interpretado habitx-x_{0}<img alt="{displaystyle 0

{textstyle lim _{xto x_{0}}f(x)=L}

f(x_{0})

x_{0}

f

{textstyle lim _{xto x_{0}}f(x)}

En un contexto ligeramente diferente pero relacionado, el concepto de un límite se aplica al comportamiento de una secuencia $(a_{n})$ cuando $n$ se hace grande.

Definición. Vamos $(a_{n})$ ser una secuencia de valor real. Decimos eso. $(a_{n})$ convergencias a $a$ si, para cualquier $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ , existe un número natural $N$ tales que $ngeq N$ implica que $<math alttext="{displaystyle |a-a_{n}|Silencioa− − anSilencio.ε ε {displaystyle Silencio.<img alt="{displaystyle |a-a_{n}|$ . Escribimos esto simbólicamente como

{displaystyle a_{n}to a {text{as}} nto infty}

{displaystyle lim _{nto infty }a_{n}=a;}

(a_{n})

(a_{n})

diverges

Generalizar a una función de valor real de una variable real, una ligera modificación de esta definición (sustitución de secuencia $(a_{n})$ y plazo $a_{n}$ por función $f$ y valor $f(x)$ y números naturales $N$ y $n$ por números reales $M$ y $x$ , respectivamente) produce la definición de la límite $f(x)$ como $x$ aumentos sin límites, notado ${textstyle lim _{xto infty }f(x)}$ . Revertir la desigualdad ${displaystyle xgeq M}$ a ${displaystyle xleq M}$ da la definición correspondiente del límite $f(x)$ como $x$ disminuciones sin límites, ${textstyle lim _{xto -infty }f(x)}$ .

A veces, es útil concluir que una secuencia converge, aunque el valor al que converge sea desconocido o irrelevante. En estos casos, el concepto de sucesión de Cauchy es útil.

Definición. Vamos $(a_{n})$ ser una secuencia de valor real. Decimos eso. $(a_{n})$ es un Secuencia de caqui si, para cualquier $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ , existe un número natural $N$ tales que ${displaystyle m,ngeq N}$ implica que $<math alttext="{displaystyle |a_{m}-a_{n}|Silencioam− − anSilencio.ε ε {displaystyle Silencio.<img alt="{displaystyle |a_{m}-a_{n}|$ .

Se puede demostrar que una secuencia de valor real es Cauchy si y sólo si es convergente. Esta propiedad de los números reales se expresa diciendo que los números reales dotados con la métrica estándar, ${displaystyle (mathbb {R}|cdot |)}$ , es un espacio métrico completo. En un espacio métrico general, sin embargo, una secuencia Cauchy no necesita converger.

Además, para sucesiones de valores reales que son monótonas, se puede demostrar que la sucesión está acotada si y solo si es convergente.

Convergencia uniforme y puntual para sucesiones de funciones

Además de las secuencias de números, uno también puede hablar de secuencias de funciones on ${displaystyle Esubset mathbb {R} }$ , es decir, infinitas familias ordenadas de funciones ${displaystyle f_{n}:Eto mathbb {R} }$ , denotado $(f_{n})_{n=1}^{infty }$ , y sus propiedades de convergencia. Sin embargo, en el caso de secuencias de funciones, hay dos tipos de convergencia, conocidas como convergencia puntual y convergencia uniformeEso tiene que ser distinguido.

Roughly speaking, pointwise convergence of functions $f_{n}$ a una función limitante ${displaystyle f:Eto mathbb {R} }$ , denotado ${displaystyle f_{n}rightarrow f}$ , simplemente significa que dado $xin E$ , $f_n(x)to f(x)$ como $nto infty$ . En cambio, la convergencia uniforme es un tipo más fuerte de convergencia, en el sentido de que una secuencia convergente uniforme de funciones también converge de forma puntual, pero no transversal. La convergencia uniforme requiere miembros de la familia de funciones, $f_{n}$ , para caer dentro de algún error $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ de $f$ para cada valor de $xin E$ , siempre $ngeq N$ , para algunos enteros $N$ . Para que una familia de funciones confluya uniformemente, a veces denotada ${displaystyle f_{n}rightrightarrows f}$ , tal valor $N$ debe existir para cualquier $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ dado, no importa cuán pequeño. Intuitivamente, podemos visualizar esta situación imaginando que, por lo suficientemente grande $N$ , las funciones ${displaystyle f_{N},f_{N+1},f_{N+2},ldots }$ están todos encerrados dentro de un 'tube' de ancho $2varepsilon$ sobre $f$ (es decir, entre ${displaystyle f-varepsilon }$ y ${displaystyle f+varepsilon }$ ) por cada valor en su dominio $E$ .

La distinción entre convergencia puntual y convergencia uniforme es importante cuando se desea intercambiar el orden de dos operaciones limitantes (por ejemplo, tomar un límite, una derivada o una integral): para que el intercambio se comporte bien, muchos teoremas de el análisis real exige una convergencia uniforme. Por ejemplo, se garantiza que una secuencia de funciones continuas (ver más abajo) convergerá a una función límite continua si la convergencia es uniforme, mientras que la función límite puede no ser continua si la convergencia es solo puntual. A Karl Weierstrass generalmente se le atribuye la definición clara del concepto de convergencia uniforme y la investigación completa de sus implicaciones.

Compacidad

La compactidad es un concepto de topología general que juega un papel importante en muchos de los teoremas de análisis real. La propiedad de la compactidad es una generalización de la noción de un conjunto de ser cerrado y atado. (En el contexto del análisis real, estas nociones son equivalentes: un conjunto en el espacio Euclideano es compacto si y sólo si está cerrado y atado.) En resumen, un conjunto cerrado contiene todos sus puntos de límite, mientras que un conjunto está atado si existe un número real de tal manera que la distancia entre dos puntos del conjunto es menor que ese número. In $mathbb {R}$ , conjuntos que están cerrados y atados, y por lo tanto compactos, incluyen el conjunto vacío, cualquier número finito de puntos, intervalos cerrados, y sus uniones finitas. Sin embargo, esta lista no es exhaustiva; por ejemplo, el conjunto ${displaystyle {1/n:nin mathbb {N} }cup {0}}$ es un conjunto compacto; el conjunto ternario Cantor ${displaystyle {mathcal {C}}subset [0,1]}$ es otro ejemplo de un conjunto compacto. Por otro lado, el conjunto ${displaystyle {1/n:nin mathbb {N} }}$ no es compacto porque está atado pero no cerrado, ya que el punto límite 0 no es un miembro del conjunto. El set $[0,infty)$ tampoco es compacto porque está cerrado, pero no atado.

Para subconjuntos de números reales, hay varias definiciones equivalentes de compacidad.

Definición. Un juego $Esubsetmathbb{R}$ es compacto si está cerrado y atado.

Esta definición también sostiene para el espacio euclidiano de cualquier dimensión finita, $mathbb {R} ^{n}$ , pero no es válido para los espacios métricos en general. La equivalencia de la definición con la definición de compactidad basada en subcovers, dada más adelante en esta sección, se conoce como el teorema Heine-Borel.

Una definición más general que se aplica a todos los espacios métricos utiliza la noción de una subsecuencia (ver arriba).

Definición. Un juego $E$ en un espacio métrico es compacto si cada secuencia en $E$ tiene una subsequencia convergente.

Esta propiedad particular se conoce como compactación posterior. In $mathbb {R}$ , un conjunto es posteriormente compacto si y sólo si está cerrado y vinculado, haciendo que esta definición sea equivalente a la anterior. La compactación subsecuente equivale a la definición de compactidad basada en subcovers para espacios métricos, pero no para espacios topológicos en general.

La definición más general de compactidad se basa en la noción de cubiertas abiertas y subcovers, que es aplicable a los espacios topológicos (y así a los espacios métricos y $mathbb {R}$ como casos especiales). En resumen, una colección de conjuntos abiertos $U_{alpha }$ se dice que es un cubierta abierta de conjunto $X$ si la unión de estos conjuntos es un superconjunto $X$ . Esta cubierta abierta se dice que tiene tapado finito si una subcoleccion finita de la $U_{alpha }$ se puede encontrar que también cubre $X$ .

Definición. Un juego $X$ en un espacio topológico es compacto si cada cubierta abierta $X$ tiene un subcubrimiento finito.

Los conjuntos compactos se comportan bien con respecto a propiedades como la convergencia y la continuidad. Por ejemplo, cualquier sucesión de Cauchy en un espacio métrico compacto es convergente. Como otro ejemplo, la imagen de un espacio métrico compacto bajo un mapa continuo también es compacta.

Continuidad

Una función del conjunto de números reales a los números reales se puede representar mediante un gráfico en el plano cartesiano; dicha función es continua si, en términos generales, el gráfico es una única curva continua sin "agujeros" o "salta".

Hay varias maneras de hacer esta intuición matemáticamente rigurosa. Se pueden dar varias definiciones de diferentes niveles de generalidad. En los casos en que se apliquen dos o más definiciones, se muestran fácilmente equivalentes unos a otros, por lo que la definición más conveniente puede utilizarse para determinar si una función determinada es continua o no. En la primera definición que figura a continuación, ${displaystyle f:Ito mathbb {R} }$ es una función definida en un intervalo no degenerado $I$ del conjunto de números reales como su dominio. Algunas posibilidades incluyen ${displaystyle I=mathbb {R} }$ , todo el conjunto de números reales, un intervalo abierto $<math alttext="{displaystyle I=(a,b)={xin mathbb {R} mid a<x I=()a,b)={}x▪ ▪ R▪ ▪ a.x.b},{displaystyle I=(a,b)={xin mathbb {R} mid a wonx secuestró <img alt="{displaystyle I=(a,b)={xin mathbb {R} mid a<x$ o un intervalo cerrado ${displaystyle I=[a,b]={xin mathbb {R} mid aleq xleq b}.}$ Aquí, $a$ y $b$ son números reales distintos, y excluimos el caso de $I$ estar vacío o consta de un solo punto, en particular.

Definición. Si $Isubset mathbb{R}$ es un intervalo no degenerado, decimos que ${displaystyle f:Ito mathbb {R} }$ es continuo ${displaystyle pin I}$ si ${textstyle lim _{xto p}f(x)=f(p)}$ . Decimos eso $f$ es un mapa continuo si $f$ es continuo en cada ${displaystyle pin I}$ .

A diferencia de las necesidades $f$ tener un límite en un punto $p$ , que no limitan el comportamiento de $f$ a $p$ en sí, las dos condiciones siguientes, además de la existencia de ${textstyle lim _{xto p}f(x)}$ , también debe mantener en orden $f$ para ser continuo $p$ : i) $f$ debe definirse $p$ , es decir, $p$ está en el dominio de $f$ ; y ii) ${displaystyle f(x)to f(p)}$ como ${displaystyle xto p}$ . La definición anterior realmente se aplica a cualquier dominio $E$ que no contiene un punto aislado, o equivalentemente, $E$ donde cada ${displaystyle pin E}$ es un punto límite $E$ . Una definición más general aplicable a $f:Xtomathbb{R}$ con un dominio general $Xsubset {mathbb {R}}$ es el siguiente:

Definición. Si $X$ es un subconjunto arbitrario de $mathbb {R}$ , decimos eso $f:Xtomathbb{R}$ es continuo $pin X$ si, para cualquier $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ , existe $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ ■0{displaystyle delta >0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>$ tal que para todos $xin X$ , $<math alttext="{displaystyle |x-p|Silenciox- - pSilencio.δ δ {displaystyle tenciónx-p confidencial } <img alt="|x-p|$ implica que $<math alttext="{displaystyle |f(x)-f(p)|Silenciof()x)- - f()p)Silencio.ε ε {displaystyle Silenciof(x)-f(p) <img alt="{displaystyle |f(x)-f(p)|$ . Decimos eso $f$ es un mapa continuo si $f$ es continuo en cada $pin X$ .

Una consecuencia de esta definición es que $f$ es trivialmente continuo en cualquier punto aislado $pin X$ . Este tratamiento un tanto intuitivo de puntos aislados es necesario para asegurar que nuestra definición de continuidad para las funciones en la línea real sea consistente con la definición más general de continuidad para los mapas entre espacios topológicos (que incluye espacios métricos y $mathbb {R}$ en particular como casos especiales). Esta definición, que se extiende más allá del alcance de nuestro análisis real, se da a continuación para su integridad.

Definición. Si $X$ y $Y$ son espacios topológicos, decimos que $f:Xto Y$ es continuo $pin X$ si ${displaystyle f^{-1}(V)}$ es un barrio $p$ dentro $X$ por cada barrio $V$ de $f(p)$ dentro $Y$ . Decimos eso $f$ es un mapa continuo si $f^{-1}(U)$ está abierto $X$ para todos $U$ abierto $Y$ .

(Aquí, $f^{-1}(S)$ se refiere a la preimage de ${displaystyle Ssubset Y}$ menores $f$ .)

Continuidad uniforme

Definición. Si $X$ es un subconjunto de los números reales, decimos una función $f:Xtomathbb{R}$ es uniformemente continuo on $X$ si, para cualquier $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ , existe un $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ ■0{displaystyle delta >0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>$ tal que para todos $x,yin X$ , $<math alttext="{displaystyle |x-y|Silenciox- - Sí.Silencio.δ δ {displaystyle tenciónx-y silencioso <img alt="{displaystyle |x-y|$ implica que $<math alttext="{displaystyle |f(x)-f(y)|Silenciof()x)- - f()Sí.)Silencio.ε ε {displaystyle tenciónf(x)-f(y) intimidad <img alt="{displaystyle |f(x)-f(y)|$ .

Explícitamente, cuando una función es uniformemente continua $X$ , la elección de $delta$ necesario para cumplir la definición debe trabajar para todos $X$ para una $varepsilon$ . En contraste, cuando una función es continua en cada punto $pin X$ (o dijo que era continuo $X$ ), la elección de $delta$ puede depender de ambos $varepsilon$ y $p$ . En contraste con la simple continuidad, la continuidad uniforme es una propiedad de una función que sólo tiene sentido con un dominio especificado; hablar de continuidad uniforme en un solo punto $p$ no tiene sentido.

En un conjunto compacto, se muestra fácilmente que todas las funciones continuas son uniformemente continuas. Si $E$ es un subconjunto ilimitado de $mathbb {R}$ , entonces existe ${displaystyle f:Eto mathbb {R} }$ que es continuo pero no uniformemente continuo. Como ejemplo simple, considerar ${displaystyle f:(0,1)to mathbb {R} }$ definidas por $f(x)=1/x$ . Al elegir puntos cerca de 0, siempre podemos hacer $varepsilon }" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Silenciof()x)− − f()Sí.)Silencio■ε ε {displaystyle Silenciof(x)-f(y)varepsilon }" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5aa395fff48c9bc8784e5e4d1fc685503950f2b" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.977ex; height:2.843ex;"/>$ para cualquier opción de $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ ■0{displaystyle delta >0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>$ , para un dado $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ .

Continuidad absoluta

Definición. Vamos ${displaystyle Isubset mathbb {R} }$ ser un intervalo en la línea real. Una función ${displaystyle f:Ito mathbb {R} }$ se dice que absolutamente continuo on $I$ si por cada número positivo $varepsilon$ , hay un número positivo $delta$ tal que cuando una secuencia finita de subintervalos descomunales pares ${displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),ldots(x_{n},y_{n})}$ de $I$ satisfizo

$<math alttext="{displaystyle sum _{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k}).. k=1n()Sí.k− − xk).δ δ {displaystyle sum _{k=1}{n}(y_{k}-x_{k}) }<img alt="{displaystyle sum _{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})$

entonces

$<math alttext="{displaystyle sum _{k=1}^{n}|f(y_{k})-f(x_{k})|.. k=1nSilenciof()Sí.k)− − f()xk)Silencio.ε ε .{displaystyle sum _{k=1}{n}Principf(y_{k})-f(x_{k})<img alt="{displaystyle sum _{k=1}^{n}|f(y_{k})-f(x_{k})|$

Las funciones absolutamente continuas son continuas: considere el caso n = 1 en esta definición. La colección de todas las funciones absolutamente continuas en I se denota AC(I). La continuidad absoluta es un concepto fundamental en la teoría de integración de Lebesgue, que permite la formulación de una versión generalizada del teorema fundamental del cálculo que se aplica a la integral de Lebesgue.

Diferenciación

La noción de la derivados de una función o diferenciabilidad se origina desde el concepto de aproximar una función cerca de un punto dado utilizando la "mejor" aproximación lineal. Esta aproximación, si existe, es única y es dada por la línea que es tangente a la función en el punto dado $a$ , y la pendiente de la línea es el derivado de la función en $a$ .

Una función ${displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {R} }$ es diferenciable en $a$ si el límite

$f'(a)=lim _{hto 0}{frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

existe. Este límite es conocido como derivado de $f$ a $a$ , y la función $f'$ , posiblemente definido en un subconjunto de $mathbb {R}$ , es el derivados (o función derivada) de $f$ . Si el derivado existe en todas partes, se dice que la función es diferentes.

Como consecuencia simple de la definición, $f$ es continuo $a$ si es diferente allí. Por lo tanto, la diferenciación es una condición de regularidad más fuerte (condición que describe la "smoothness" de una función) que la continuidad, y es posible que una función sea continua en toda la línea real pero no diferenciable en ningún lugar (véase la función continua de Weierstrass). Es posible discutir la existencia de derivados de mayor orden también, encontrando el derivado de una función derivada, y así sucesivamente.

Uno puede clasificar las funciones por sus clase de diferenciabilidad. La clase $C^0$ (a veces ${displaystyle C^{0}([a,b])}$ indicar el intervalo de aplicabilidad) consiste en todas las funciones continuas. La clase $C^{1}$ consiste en todas las funciones diferenciables cuyo derivado es continuo; tales funciones se llaman continuamente diferenciable. Así, a $C^{1}$ función es exactamente una función cuyo derivado existe y es de clase $C^0$ . En general, las clases $C^{k}$ puede definirse recursivamente declarando $C^0$ ser el conjunto de todas las funciones continuas y declarar $C^{k}$ para cualquier entero positivo $k$ para ser el conjunto de todas las funciones diferenciables cuyo derivado está en ${displaystyle C^{k-1}}$ . En particular, $C^{k}$ figura en ${displaystyle C^{k-1}}$ para todos $k$ , y hay ejemplos para demostrar que esta contención es estricta. Clase $C^{infty }$ es la intersección de los conjuntos $C^{k}$ como $k$ varía sobre los enteros no negativos, y los miembros de esta clase son conocidos como Funciones. Clase $C^{omega }$ consiste en todas las funciones analíticas, y está estrictamente contenida en $C^{infty }$ (ver función de golpe para una función lisa que no es analítica).

Serie

Una serie formaliza la noción imprecisa de tomar la suma de una secuencia interminable de números. La idea de que tomar la suma de un número "infinito" de términos puede llevar a un resultado finito fue contraintuitivo para los antiguos griegos y llevó a la formulación de una serie de paradojas por Zeno y otros filósofos. La noción moderna de asignar un valor a una serie evita tratar con la noción mal definida de añadir un número "infinito" de términos. En cambio, la suma finita de la primera $n$ términos de la secuencia, conocida como una suma parcial, se considera, y el concepto de un límite se aplica a la secuencia de sumas parciales como $n$ crece sin límites. La serie se asigna el valor de este límite, si existe.

Dada una secuencia (infinita) $(a_{n})$ , podemos definir un asociado serie como el objeto matemático formal ${textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+cdots =sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$ , a veces simplemente escrito como ${textstyle sum a_{n}}$ . El sumas parciales de una serie ${textstyle sum a_{n}}$ son los números ${textstyle s_{n}=sum _{j=1}^{n}a_{j}}$ . Una serie ${textstyle sum a_{n}}$ se dice que convergente si la secuencia consta de sus sumas parciales, $(s_n)$ , es convergente; de lo contrario es divergente. El suma de una serie convergente se define como el número ${textstyle s=lim _{nto infty }s_{n}}$ .

La palabra "suma" se usa aquí en un sentido metafórico como una abreviatura para tomar el límite de una secuencia de sumas parciales y no debe interpretarse como simplemente "agregar" un número infinito de términos. Por ejemplo, en contraste con el comportamiento de las sumas finitas, reorganizar los términos de una serie infinita puede dar como resultado la convergencia a un número diferente (consulte el artículo sobre el teorema de reordenamiento de Riemann para obtener más información).

Un ejemplo de una serie convergente es una serie geométrica que forma la base de una de las famosas paradojas de Zeno:

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{2^{n}}}={frac {1}{2}}+{frac {1}{4}}+{frac {1}{8}}+cdots =1.}$

Por el contrario, la serie armónica se conoce desde la Edad Media como una serie divergente:

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n}}=1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+cdots =infty.}$

(Aquí, " $=infty$ "es simplemente una convención notacional para indicar que las sumas parciales de la serie crecen sin límites.)

Una serie ${textstyle sum a_{n}}$ se dice que converge absolutamente si ${textstyle sum |a_{n}|}$ es convergente. Una serie convergente ${textstyle sum a_{n}}$ para la cual ${textstyle sum |a_{n}|}$ divergencias se dice que convergencia no abiertamente. Se muestra fácilmente que la convergencia absoluta de una serie implica su convergencia. Por otro lado, un ejemplo de una serie que converge no-absolutamente es

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n-1}}{n}}=1-{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}-{frac {1}{4}}+cdots =ln 2.}$

Serie Taylor

La serie de Taylor de una función real o de valor complejo ƒ(x) que es infinitamente diferenciable en un número real o complejo a es la serie de potencias

${displaystyle f(a)+{frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+cdots.}$

que se puede escribir en la notación sigma más compacta como

$sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(a)}{n!}},(x-a)^{n}$

donde n! denota el factorial de n y ƒ⁽ⁿ⁾(a) denota el nésima derivada de ƒ evaluada en el punto a. La derivada de orden cero ƒ se define como ƒ misma y (x − a)⁰ y 0! ambos están definidos como 1. En el caso de que a = 0, la serie también se denomina serie de Maclaurin.

Una serie Taylor f acerca del punto a puede divergir, converger en sólo el punto a, convergen para todos x tales que $<math alttext="{displaystyle |x-a|Silenciox- - aSilencio.R{displaystyle Silenciox-a escondidaR} <img alt="{displaystyle |x-a|$ (el más grande R para el cual se garantiza la convergencia se llama radio de convergencia), o converger en toda la línea real. Incluso una serie Taylor convergente puede converger a un valor diferente del valor de la función en ese punto. Si la serie Taylor en un punto tiene un radio no cero de convergencia, y suma a la función en el disco de convergencia, entonces la función es analítica. Las funciones analíticas tienen muchas propiedades fundamentales. En particular, una función analítica de una variable real se extiende naturalmente a una función de una variable compleja. Es de esta manera que la función exponencial, el logaritmo, las funciones trigonométricas y sus inversos se extienden a funciones de una variable compleja.

Serie de Fourier

Las primeras cuatro sumas parciales de la serie Fourier para una onda cuadrada. Las series Fourier son una herramienta importante en análisis real.

La serie de Fourier descompone funciones periódicas o señales periódicas en la suma de un conjunto (posiblemente infinito) de funciones oscilantes simples, a saber, senos y cosenos (o exponenciales complejos). El estudio de las series de Fourier normalmente ocurre y se maneja dentro de la rama matemáticas > análisis matemático > Análisis de Fourier.

Integración

La integración es una formalización del problema de encontrar el área limitada por una curva y los problemas relacionados de determinar la longitud de una curva o volumen encerrado por una superficie. La estrategia básica para resolver problemas de este tipo era conocida por los antiguos griegos y chinos, y se conocía como el método del agotamiento. En términos generales, el área deseada está delimitada desde arriba y desde abajo, respectivamente, mediante aproximaciones poligonales de circunscripción e inscripción cada vez más precisas cuyas áreas exactas pueden calcularse. Al considerar aproximaciones que consisten en un número cada vez mayor ("infinito") de piezas más pequeñas y más pequeñas ("infinitesimal"), se puede deducir el área delimitada por la curva, como el superior y el los límites inferiores definidos por las aproximaciones convergen alrededor de un valor común.

El espíritu de esta estrategia básica se puede ver fácilmente en la definición de la integral de Riemann, en la que se dice que la integral existe si las sumas superior e inferior de Riemann (o Darboux) convergen en un valor común como rebanadas rectangulares cada vez más delgadas. ("refinamientos"). Aunque la maquinaria utilizada para definirla es mucho más elaborada en comparación con la integral de Riemann, la integral de Lebesgue se definió con ideas básicas similares en mente. En comparación con la integral de Riemann, la integral de Lebesgue, más sofisticada, permite definir y calcular el área (o la longitud, el volumen, etc., denominada "medida" en general) para subconjuntos mucho más complicados e irregulares del espacio euclidiano., aunque todavía existen "no medibles" subconjuntos para los que no se puede asignar un área.

Integración de Riemann

El Riemann integral se define en términos de Riemann sumas de funciones con respecto a tabiques etiquetadas de un intervalo. Vamos $[a,b]$ ser un intervalo cerrado de la línea real; luego un partición etiquetada ${displaystyle {cal {P}}}$ de $[a,b]$ es una secuencia finita

$a=x_{0}leq t_{1}leq x_{1}leq t_{2}leq x_{2}leq cdots leq x_{n-1}leq t_{n}leq x_{n}=b.,!$

Esta particiones el intervalo $[a,b]$ en $n$ subintervalos $[x_{i-1},x_{i}]$ indexado por $i=1,ldots, n$ , cada uno de los cuales es "marcado" con un punto distinguido ${displaystyle t_{i}in [x_{i-1},x_{i}]}$ . Para una función $f$ atado $[a,b]$ , definimos el Riemann sum de $f$ con respecto a la partición etiquetada ${displaystyle {cal {P}}}$ como

${displaystyle sum _{i=1}^{n}f(t_{i})Delta _{i},}$

Donde ${displaystyle Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}}$ es el ancho de la subintervalación $i$ . Por lo tanto, cada término de la suma es el área de un rectángulo con altura igual al valor de la función en el punto distinguido de la subintervalación dada, y ancho igual que el ancho subintervalo. El Mesh de tal partición etiquetada es el ancho del subintervalo más grande formado por la partición, ${textstyle |Delta _{i}|=max _{i=1,ldotsn}Delta _{i}}$ . Decimos que Riemann integral de $f$ on $[a,b]$ es $S$ si para cualquier $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ existe $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ ■0{displaystyle delta >0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/>$ tal que, para cualquier partición etiquetada ${displaystyle {cal {P}}}$ con malla $<math alttext="{displaystyle |Delta _{i}|.. Δ Δ i.. .δ δ {displaystyle "Principalidad" }<img alt="{displaystyle |Delta _{i}|$ , tenemos

$<math alttext="{displaystyle left|S-sum _{i=1}^{n}f(t_{i})Delta _{i}right|SilencioS− − .. i=1nf()ti)Δ Δ iSilencio.ε ε .{displaystyle left habitS-sum "Delta"<img alt="left|S-sum _{i=1}^{n}f(t_{i})Delta _{i}right|$

Esto a veces se denota. ${textstyle {mathcal {R}}int _{a}^{b}f=S}$ . Cuando las etiquetas elegidas dan el valor máximo (respectivamente, mínimo) de cada intervalo, la suma Riemann se conoce como la parte superior (respectivamente, inferior) Darboux sum. Una función es Darboux integradoble si las sumas de Darboux superior e inferior se pueden hacer para estar arbitrariamente cerca uno del otro para una malla suficientemente pequeña. Aunque esta definición da al Darboux integral la apariencia de ser un caso especial de la integral Riemann, son, de hecho, equivalentes, en el sentido de que una función es Darboux integradoble si y sólo si es Riemann integrador, y los valores de las integrales son iguales. De hecho, los libros de cálculo y análisis reales a menudo conflan a los dos, introduciendo la definición de la integral Darboux como la de la integral Riemann, debido a la ligeramente más fácil de aplicar la definición de la anterior.

El teorema fundamental del cálculo afirma que la integración y la diferenciación son operaciones inversas en cierto sentido.

Integración y medida de Lebesgue

La integración de Lebesgue es una construcción matemática que extiende la integral a una clase más grande de funciones; también amplía los dominios en los que se pueden definir estas funciones. El concepto de medida, una abstracción de longitud, área o volumen, es fundamental para la teoría de probabilidad integral de Lebesgue.

Distribuciones

Distribuciones (o funciones generalizadas) son objetos que generalizan funciones. Las distribuciones permiten diferenciar funciones cuyas derivadas no existen en el sentido clásico. En particular, cualquier función localmente integrable tiene una derivada distribucional.

Relación con el análisis complejo

El análisis real es un área de análisis que estudia conceptos tales como secuencias y sus límites, continuidad, diferenciación, integración y secuencias de funciones. Por definición, el análisis real se enfoca en los números reales, a menudo incluyendo el infinito positivo y negativo para formar la línea real extendida. El análisis real está estrechamente relacionado con el análisis complejo, que estudia en términos generales las mismas propiedades de los números complejos. En el análisis complejo, es natural definir la diferenciación a través de funciones holomorfas, que tienen una serie de propiedades útiles, como diferenciabilidad repetida, expresabilidad como serie de potencias y satisfacción de la fórmula integral de Cauchy.

En el análisis real, suele ser más natural considerar funciones diferenciables, suaves o armónicas, que son de aplicación más amplia, pero pueden carecer de algunas propiedades más poderosas de las funciones holomorfas. Sin embargo, resultados como el teorema fundamental del álgebra son más simples cuando se expresan en términos de números complejos.

Las técnicas de la teoría de funciones analíticas de una variable compleja se utilizan a menudo en el análisis real, como la evaluación de integrales reales mediante el cálculo de residuos.

Resultados importantes

Los resultados importantes incluyen los teoremas de Bolzano-Weierstrass y Heine-Borel, el teorema del valor intermedio y el teorema del valor medio, el teorema de Taylor, el teorema fundamental del cálculo, el teorema de Arzelà-Ascoli, el teorema de Stone-Weierstrass, El lema de Fatou y los teoremas de convergencia monótona y convergencia dominada.

Generalizaciones y áreas relacionadas de las matemáticas

Varias ideas del análisis real se pueden generalizar desde la línea real a contextos más amplios o más abstractos. Estas generalizaciones vinculan el análisis real con otras disciplinas y subdisciplinas. Por ejemplo, la generalización de ideas como funciones continuas y compacidad del análisis real a espacios métricos y espacios topológicos conecta el análisis real con el campo de la topología general, mientras que la generalización de espacios euclidianos de dimensión finita a análogos de dimensión infinita condujo a los conceptos de espacios de Banach. y espacios de Hilbert y, más en general, al análisis funcional. La investigación de Georg Cantor sobre los conjuntos y la secuencia de los números reales, las asignaciones entre ellos y las cuestiones fundamentales del análisis real dieron origen a la teoría de conjuntos ingenua. El estudio de los problemas de convergencia de secuencias de funciones finalmente dio lugar al análisis de Fourier como una subdisciplina del análisis matemático. La investigación de las consecuencias de generalizar la diferenciabilidad de las funciones de una variable real a las de una variable compleja dio lugar al concepto de funciones holomorfas y al inicio del análisis complejo como otra subdisciplina distinta del análisis. Por otro lado, la generalización de la integración del sentido de Riemann al de Lebesgue condujo a la formulación del concepto de espacios abstractos de medida, concepto fundamental en la teoría de la medida. Finalmente, la generalización de la integración de la línea real a las curvas y superficies en un espacio dimensional superior trajo consigo el estudio del cálculo vectorial, cuya mayor generalización y formalización jugaron un papel importante en la evolución de los conceptos de formas diferenciales y variedades suaves (diferenciables). en geometría diferencial y otras áreas estrechamente relacionadas de geometría y topología.

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