Análisis no estándar

Gottfried Wilhelm Leibniz argumentó que se introducen números idealizados que contienen infinitesimals.

La historia del cálculo está plagada de debates filosóficos sobre el significado y la validez lógica de las fluxiones o números infinitesimales. La forma estándar de resolver estos debates es definir las operaciones de cálculo utilizando procedimientos épsilon-delta en lugar de infinitesimales. En cambio, el análisis no estándar reformula el cálculo usando una noción lógicamente rigurosa de números infinitesimales.

El análisis no estándar se originó a principios de la década de 1960 por el matemático Abraham Robinson. El escribio:

... la idea de infinitamente pequeña o infinitesimal las cantidades parecen apelar naturalmente a nuestra intuición. En cualquier caso, el uso de infinitesimals se extendió durante las etapas formativas del Cálculo Diferente e Integral. En cuanto a la objeción... de que la distancia entre dos números reales distintos no puede ser infinitamente pequeña, Gottfried Wilhelm Leibniz argumentó que la teoría de los infinitesimals implica la introducción de números ideales que pueden ser infinitamente pequeños o infinitamente grandes en comparación con los números reales pero que eran poseer las mismas propiedades que este último.

Robinson argumentó que esta ley de continuidad de Leibniz es un precursor del principio de transferencia. Robinson continuó:

Sin embargo, ni él ni sus discípulos y sucesores pudieron dar un desarrollo racional que conduce a un sistema de este tipo. Como resultado, la teoría de los infinitesimals cayó gradualmente en dereputación y fue reemplazada eventualmente por la teoría clásica de los límites.

Robinson continúa:

... Las ideas de Leibniz pueden ser totalmente reivindicadas y... conducen a un enfoque nuevo y fructífero del Análisis clásico y a muchas otras ramas de las matemáticas. La clave de nuestro método es proporcionada por el análisis detallado de la relación entre lenguajes matemáticos y estructuras matemáticas que se encuentra en el fondo de la teoría del modelo contemporáneo.

En 1973, el intuicionista Arend Heyting elogió el análisis no estándar como "un modelo estándar de investigación matemática importante".

Introducción

Un elemento no cero de un campo ordenado ${displaystyle mathbb {F}$ es infinitesimal si y sólo si su valor absoluto es menor que cualquier elemento ${displaystyle mathbb {F}$ de la forma ${fnMicroc} {1}{n}}$, para ${displaystyle n}$ un número natural estándar. Los campos ordenados que tienen elementos infinitesimal también se llaman no armenios. Más generalmente, el análisis no estándar es cualquier forma de matemáticas que se basa en modelos no estándar y el principio de transferencia. Un campo que satisface el principio de transferencia para números reales se llama un campo cerrado real, y el análisis real no estándar utiliza estos campos como modelos no estándar de los números reales.

El enfoque original de Robinson se basaba en estos modelos no estándar del campo de los números reales. Su clásico libro fundacional sobre el tema Análisis no estándar se publicó en 1966 y aún se encuentra en proceso de impresión. En la página 88, Robinson escribe:

Thoralf Skolem (1934) descubrió la existencia de modelos aritméticos no estándar. El método de Skolem predice la construcción de ultrapoder [...]

Se deben abordar varios problemas técnicos para desarrollar un cálculo de infinitesimales. Por ejemplo, no es suficiente construir un campo ordenado con infinitesimales. Vea el artículo sobre números hiperreales para una discusión de algunas de las ideas relevantes.

Definiciones básicas

En esta sección esbozamos uno de los enfoques más simples para definir un campo hiperreal ${displaystyle ^{*}Mathbb {R}$. Vamos ${displaystyle mathbb {R}$ ser el campo de números reales, y dejar ${displaystyle mathbb {N}$ ser la semiringe de números naturales. Denote by ${displaystyle mathbb {R} {N}$ el conjunto de secuencias de números reales. Un campo ${displaystyle ^{*}Mathbb {R}$ se define como un cociente adecuado de ${displaystyle mathbb {R} {N}$, como sigue. Tome un ultrafiltro no principal ${displaystyle Fsubseteq P(mathbb {N}$. En particular, ${displaystyle F}$ contiene el filtro Fréchet. Considere un par de secuencias

${displaystyle u=(u_{n}),v=(v_{n})in mathbb Oh, Dios mío. {N}$

Decimos eso ${displaystyle u}$ y ${displaystyle v}$ son equivalentes si coinciden en un conjunto de índices que es miembro del ultrafiltro, o en fórmulas:

${displaystyle {nin mathbb {N}u_{n}=v_{n}in F.$

El cociente de ${displaystyle mathbb {R} {N}$ por la relación de equivalencia resultante es un campo hiperreal ${displaystyle ^{*}Mathbb {R}$, una situación resumida por la fórmula ${displaystyle ^{*}Mathbb {R} = {fnMithbb Oh, Dios mío. {N} }/{F}$.

Motivación

Hay al menos tres razones para considerar el análisis no estándar: histórico, pedagógico y técnico.

Histórica

Gran parte del primer desarrollo del cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz se formuló usando expresiones como número infinitesimal y cantidad evanescente. Como se señaló en el artículo sobre números hiperreales, estas formulaciones fueron ampliamente criticadas por George Berkeley y otros. El desafío de desarrollar una teoría de análisis consistente y satisfactoria utilizando infinitesimales fue abordado por primera vez por Abraham Robinson.

En 1958, Curt Schmieden y Detlef Laugwitz publicaron un artículo "Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung" ("An Extension of Infinitesimal Calculus") que proponía la construcción de un anillo que contenía infinitesimales. El anillo se construyó a partir de secuencias de números reales. Dos secuencias se consideraban equivalentes si diferían solo en un número finito de elementos. Las operaciones aritméticas se definieron por elementos. Sin embargo, el anillo construido de esta manera contiene divisores de cero y, por lo tanto, no puede ser un campo.

Pedagógica

H. Jerome Keisler, David Tall y otros educadores sostienen que el uso de infinitesimales es más intuitivo y más fácil de entender para los estudiantes que el uso de "épsilon-delta" aproximación a los conceptos analíticos. Este enfoque a veces puede proporcionar pruebas de resultados más fáciles que la correspondiente formulación épsilon-delta de la prueba. Gran parte de la simplificación proviene de la aplicación de reglas muy fáciles de aritmética no estándar, como sigue:

infinitesimal × finito = infinitesimal

infinitesimal + infinitesimal = infinitesimal

junto con el principio de transferencia mencionado a continuación.

Otra aplicación pedagógica del análisis no estándar es el tratamiento de Edward Nelson de la teoría de los procesos estocásticos.

Técnico

Algunos trabajos recientes se han realizado en análisis usando conceptos de análisis no estándar, particularmente en la investigación de procesos limitantes de estadística y física matemática. Sergio Albeverio et al. discutir algunas de estas aplicaciones.

Enfoques al análisis no estándar

Hay dos enfoques diferentes principales para el análisis no estándar: el enfoque semántico o de teoría de modelos y el enfoque sintáctico. Ambos enfoques se aplican a otras áreas de las matemáticas más allá del análisis, incluida la teoría de números, el álgebra y la topología.

La formulación original de Robinson del análisis no estándar cae en la categoría del enfoque semántico. Tal como lo desarrolla en sus artículos, se basa en el estudio de modelos (en particular, modelos saturados) de una teoría. Desde que apareció por primera vez el trabajo de Robinson, se ha desarrollado un enfoque semántico más simple (gracias a Elias Zakon) utilizando objetos puramente teóricos llamados superestructuras. En este enfoque un modelo de una teoría se reemplaza por un objeto llamado superestructura V( S) sobre un conjunto S. A partir de una superestructura V(S) se construye otro objeto * V(S) utilizando la construcción ultrapotente junto con un mapeo V(S) → *V(S) que satisface el principio de transferencia. El mapa * relaciona las propiedades formales de V(S) y * V(S). Además, es posible considerar una forma más simple de saturación llamada saturación contable. Este enfoque simplificado también es más adecuado para que lo utilicen matemáticos que no son especialistas en teoría o lógica de modelos.

El enfoque sintáctico requiere mucha menos lógica y teoría de modelos para entenderlo y usarlo. Este enfoque fue desarrollado a mediados de la década de 1970 por el matemático Edward Nelson. Nelson introdujo una formulación completamente axiomática de análisis no estándar que llamó teoría de conjuntos internos (IST). IST es una extensión de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) en el sentido de que, junto con la relación de pertenencia binaria básica ∈, introduce un nuevo predicado unario estándar, que se puede aplicar a elementos del universo matemático junto con algunos axiomas para razonar con este nuevo predicado.

El análisis sintáctico no estándar requiere mucho cuidado al aplicar el principio de formación de conjuntos (formalmente conocido como el axioma de comprensión), que los matemáticos suelen dar por sentado. Como señala Nelson, una falacia en el razonamiento en IST es la formación ilegal de conjuntos. Por ejemplo, no hay ningún conjunto en IST cuyos elementos sean precisamente los enteros estándar (aquí estándar se entiende en el sentido del nuevo predicado). Para evitar la formación ilegal de conjuntos, solo se deben usar predicados de ZFC para definir subconjuntos.

Otro ejemplo del enfoque sintáctico es la Teoría alternativa de conjuntos presentada por Petr Vopěnka, que intenta encontrar axiomas de la teoría de conjuntos más compatibles con el análisis no estándar que los axiomas de ZF.

El libro de Robinson

El libro Análisis no estándar de Abraham Robinson se publicó en 1966. Algunos de los temas desarrollados en el libro ya estaban presentes en su artículo de 1961 con el mismo título (Robinson 1961). Además de contener el primer tratamiento completo del análisis no estándar, el libro contiene una sección histórica detallada en la que Robinson desafía algunas de las opiniones recibidas sobre la historia de las matemáticas basadas en la percepción anterior al análisis no estándar de los infinitesimales como entidades inconsistentes. Así, Robinson desafía la idea de que el 'teorema de la suma' de Augustin-Louis Cauchy; en Cours d'Analyse sobre la convergencia de una serie de funciones continuas era incorrecta y propone una interpretación infinitesimal de su hipótesis que resulta en un teorema correcto.

Problema del subespacio invariante

Abraham Robinson y Allen Bernstein utilizaron un análisis no estándar para demostrar que todo operador lineal polinomialmente compacto en un espacio de Hilbert tiene un subespacio invariante.

Dado un operador T en el espacio de Hilbert H, considere la órbita de un punto v en H bajo las iteraciones de T. Aplicando Gram-Schmidt se obtiene una base ortonormal (e_i) para H. Sea (H_i) la correspondiente secuencia anidada de "coordinada" subespacios de H. La matriz a_i,j que expresa T con respecto a (e_i) es casi triangular superior, en el sentido de que el los coeficientes a_i+1,i son los únicos coeficientes subdiagonales distintos de cero. Bernstein y Robinson muestran que si T es polinomialmente compacto, entonces hay un índice hiperfinito w tal que el coeficiente de matriz a_{w+1,< i>w} es infinitesimal. A continuación, considere el subespacio H_w de *H. Si y en H_w tiene una norma finita, entonces T(y) está infinitamente cerca de H_w.

Ahora T_w ser el operador ${displaystyle P_{w}circ T}$ Actuando H_w, donde P_w es la proyección ortogonal H_w. Denote by q el polinomio tal que q()T) es compacto. El subespacio H_w es interno de dimensión hiperfinita. Al transferir la triangularización superior de operadores de espacio vectorial complejo-dimensional finito, hay una base espacial ortonormal interna Hilbert ()e_k) para H_w Donde k de carreras 1 a w, tal que cada uno de los correspondientes k- subespacios dimensionales E_k es T- invariante. Denote by ▪_k la proyección al subespacio E_k. Para un vector no cero x de la norma finita en H, uno puede asumir que q()T)x) no es cero, o Silencioq()T)x) 1 para arreglar ideas. Desde q()T) es un operador compacto, ()q()T_w)(x) está infinitamente cerca q()T)x) y por lo tanto uno también tiene Silencioq()T_w)x) 1. Ahora j ser el índice más grande tal que ${fnMicrosoft Sans Serif}$. Luego el espacio de todos los elementos estándar infinitamente cerca E_j es el subespacial invariante deseado.

Al leer una preimpresión del artículo de Bernstein y Robinson, Paul Halmos reinterpretó su prueba utilizando técnicas estándar. Ambos artículos aparecieron uno tras otro en la misma edición del Pacific Journal of Mathematics. Algunas de las ideas utilizadas en Halmos' la prueba reapareció muchos años después en Halmos' propio trabajo sobre operadores cuasi-triangulares.

Otras aplicaciones

Se recibieron otros resultados en la línea de reinterpretar o reprobar resultados previamente conocidos. De particular interés es la demostración de Teturo Kamae del teorema ergódico individual o el tratamiento de L. van den Dries y Alex Wilkie del teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial. Larry Manevitz y Shmuel Weinberger utilizaron el análisis no estándar para demostrar un resultado en topología algebraica.

Sin embargo, las contribuciones reales del análisis no estándar se encuentran en los conceptos y teoremas que utilizan el nuevo lenguaje extendido de la teoría de conjuntos no estándar. Entre la lista de nuevas aplicaciones de las matemáticas se encuentran nuevos enfoques de la probabilidad, hidrodinámica, teoría de la medida, análisis no uniforme y armónico, etc.

También hay aplicaciones de análisis no estándar a la teoría de procesos estocásticos, en particular construcciones de movimiento browniano como paseos aleatorios. Albeverio et al. tienen una excelente introducción a esta área de investigación.

Aplicaciones al cálculo

Como aplicación a la educación matemática, H. Jerome Keisler escribió Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal. Cubriendo el cálculo no estándar, desarrolla el cálculo diferencial e integral utilizando los números hiperreales, que incluyen elementos infinitesimales. Estas aplicaciones de análisis no estándar dependen de la existencia de la parte estándar de una r hiperreal finita. La parte estándar de r, indicada como st(r)< /span>, es un número real estándar infinitamente cercano a r. Uno de los dispositivos de visualización que usa Keisler es el de un microscopio imaginario de aumento infinito para distinguir puntos infinitamente cercanos entre sí. El libro de Keisler ahora está agotado, pero está disponible gratuitamente en su sitio web; consulte las referencias a continuación.

Crítica

A pesar de la elegancia y el atractivo de algunos aspectos del análisis no estándar, también se han expresado críticas, como las de Errett Bishop, Alain Connes y Paul Halmos, como se documenta en la crítica del análisis no estándar.

Marco lógico

Dado cualquier conjunto S, la superestructura sobre un conjunto S es el conjunto V(S) definido por las condiciones

${displaystyle V_{0}(S)=S,}$

${displaystyle V_{n+1}(S)=V_{n}(S)cup wp (V_{n}(S)}$

${displaystyle V(S)=bigcup _{nin mathbf {N}V_{n}(S). }$

Así, la superestructura sobre S se obtiene a partir de S e iterar la operación de unir el conjunto de potencia de S y tomar la unión de los secuencia resultante. La superestructura sobre los números reales incluye una gran cantidad de estructuras matemáticas: por ejemplo, contiene copias isomórficas de todos los espacios métricos separables y espacios vectoriales topológicos metrizables. Prácticamente todas las matemáticas que interesan a un analista se desarrollan dentro de V(R).

La vista de trabajo del análisis no estándar es un conjunto *R y una asignación *: V (R) → V(*R) que satisface algunas propiedades adicionales. Para formular estos principios primero establecemos algunas definiciones.

Una fórmula tiene cuantificación acotada si y solo si los únicos cuantificadores que aparecen en la fórmula tienen un rango restringido sobre conjuntos, es decir, son todos de la forma:

${displaystyle forall xin A,Phi (x,alpha _{1},ldotsalpha _{n}) }$

${displaystyle exists xin A,Phi (x,alpha _{1},ldotsalpha _{n})}$

Por ejemplo, la fórmula

${displaystyle forall xin A, exists yin 2^{B},quad xin y}$

tiene una cuantificación acotada, la variable cuantificada universalmente x oscila entre A, la variable existencialmente cuantificada y oscila sobre el conjunto de potencia de B. Por otro lado,

${displaystyle forall xin A, exists y,quad xin y}$

no tiene cuantificación acotada porque la cuantificación de y no está restringida.

Conjuntos internos

Un conjunto x es interno si y solo si x es un elemento de *A para algún elemento A de V(R). *A en sí mismo es interno si A pertenece a V(R)< /lapso>.

Ahora formulamos el marco lógico básico del análisis no estándar:

• Principio de prórroga: El mapeo * es la identidad en R.
• Principio de transferencia: Para cualquier fórmula P()x₁,... x_n) con cuantificación atada y con variables libres x₁,... x_n, y para cualquier elemento A₁,... A_n de V()R), la siguiente equivalencia sostiene:

${displaystyle P(A_{1},ldotsA_{n}iff P(*A_{1},ldots*A_{n})}$

• Saturación contable: SiA_k}_{k ▪ N} es una secuencia decreciente de conjuntos internos no vacíos, con k que van sobre los números naturales, entonces

${displaystyle bigcap _{k}A_{k}neq emptyset$

Usando ultraproductos se puede mostrar que tal mapa * existe. Los elementos de V(R) se denominan estándar. Los elementos de *R se denominan números hiperreales.

Primeras consecuencias

El símbolo *N indica los números naturales no estándar. Por el principio de extensión, este es un superconjunto de N. El conjunto *N − N no está vacío. Para ver esto, aplique la saturación contable a la secuencia de conjuntos internos

${displaystyle ¿Qué? {N}:kgeq n}$

La secuencia {A_n}_{n ∈ N} tiene una intersección no vacía, lo que prueba el resultado.

Empezamos con algunas definiciones: Hiperreales r, s son infinitamente cercanos si y solo si

${displaystyle rcong siff forall theta in mathbf {R} ^{+}, prehensir-s habitleq theta }$

Un hiperreal r es infinitesimal si y solo si es infinitamente cercano a 0. Para ejemplo, si n es un hiperentero, es decir, un elemento de *N − N, entonces 1/n es un infinitesimal. Un hiperreal r es limitado (o finito) si y solo si su valor absoluto está dominado por (menor que) un número entero estándar. Los hiperreales limitados forman un subanillo de *R que contiene los reales. En este anillo, los hiperreales infinitesimales son un ideal.

El conjunto de hiperreales limitados o el conjunto de hiperreales infinitesimales son subconjuntos externos de V(*R); lo que esto significa en la práctica es que la cuantificación acotada, donde el límite es un conjunto interno, nunca se extiende sobre estos conjuntos.

Ejemplo: El plano (x, y) con x y y abarcando *R es interno y es un modelo de geometría euclidiana plana. El plano con x y y restringido a valores limitados (análogo al plano de Dehn) es externo, y en este plano limitado se viola el postulado de las paralelas. Por ejemplo, cualquier línea que pase por el punto (0, 1) en la y y que tiene una pendiente infinitesimal es paralelo al eje x.

Teorema. Para cualquier hiperreal limitado r existe un real estándar único denominado st(r) infinitamente cerca de r. El mapeo st es un homomorfismo de anillo del anillo de hiperreales limitados a R.

La asignación st también es externa.

Una forma de pensar en la parte estándar de un hiperreal es en términos de cortes de Dedekind; cualquier hiperrealismo limitado s define un corte considerando el par de conjuntos (L< /i>, U) donde L es el conjunto de racionales estándar a menor que s y < span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U es el conjunto de racionales estándar b< /span> mayor que s. Se puede ver que el número real correspondiente a (L, U) satisface la condición de ser la parte estándar de < span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">s.

Una caracterización intuitiva de la continuidad es la siguiente:

Teorema. Una función de valor real f en el intervalo [a, b] es continuo si y solo si para cada hiperreal x en el intervalo *[a, b], tenemos: *f(x) ≅ *f(st(x)).

(ver microcontinuidad para más detalles). Similarmente,

Teorema. Una función de valor real f es diferenciable en el valor real x si y solo si para todo número hiperreal infinitesimal h , el valor

${displaystyle f'(x)=operatorname {st} left({frac {{}f}(x+h)-{*}f}(x)}{h}right)}$

existe y es independiente de h. En este caso f′(x) es un número real y es la derivada de f en x.

Κ-saturación

Es posible "mejorar" la saturación permitiendo la intersección de colecciones de mayor cardinalidad. Un modelo es κ- saturado si ${displaystyle {fnK} {fnfnfnfn} I}$ es una colección de conjuntos internos con la propiedad de intersección finita y ${displaystyle TENIDO TERRITORIOleq kappa }$,

${displaystyle bigcap _{iin I'A_{i}neq emptyset$

Esto es útil, por ejemplo, en un espacio topológico X, donde podemos querer |2^X|-saturación para garantizar que la intersección de una base de vecindario estándar no esté vacía.

Para cualquier cardinal κ, un κ.