Análisis funcional

Uno de los posibles modos de vibración de una cabeza de tambor circular idealizada. Estos modos son eigenfunctions de un operador lineal en un espacio de función, una construcción común en análisis funcional.

El análisis funcional es una rama del análisis matemático, cuyo núcleo está formado por el estudio de espacios vectoriales dotados de algún tipo de estructura relacionada con los límites (por ejemplo, producto interno, norma, topología, etc..) y las funciones lineales definidas sobre estos espacios y respetando estas estructuras en un sentido adecuado. Las raíces históricas del análisis funcional se encuentran en el estudio de espacios de funciones y la formulación de propiedades de transformaciones de funciones como la transformada de Fourier como transformaciones que definen operadores continuos, unitarios, etc. entre espacios de funciones. Este punto de vista resultó ser particularmente útil para el estudio de ecuaciones diferenciales e integrales.

El uso de la palabra funcional como sustantivo se remonta al cálculo de variaciones, implicando una función cuyo argumento es una función. El término se utilizó por primera vez en el libro de Hadamard de 1910 sobre ese tema. Sin embargo, el concepto general de funcional había sido introducido previamente en 1887 por el matemático y físico italiano Vito Volterra. Los estudiantes de Hadamard, en particular Fréchet y Lévy, continuaron la teoría de los funcionales no lineales. Hadamard también fundó la escuela moderna de análisis funcional lineal desarrollada por Riesz y el grupo de matemáticos polacos en torno a Stefan Banach.

En los textos introductorios modernos sobre análisis funcional, el tema se considera como el estudio de espacios vectoriales dotados de una topología, en particular, espacios de dimensión infinita. Por el contrario, el álgebra lineal se ocupa principalmente de espacios de dimensión finita y no utiliza topología. Una parte importante del análisis funcional es la extensión de la teoría de la medida, la integración y la probabilidad a espacios de dimensión infinita, también conocido como análisis de dimensión infinita.

Espacios vectoriales normados

La clase básica e históricamente primera de espacios estudiados en análisis funcional son espacios vectoriales normados completos sobre los números reales o complejos. Estos espacios se denominan espacios de Banach. Un ejemplo importante es un espacio de Hilbert, donde la norma surge de un producto interno. Estos espacios son de fundamental importancia en muchas áreas, incluida la formulación matemática de la mecánica cuántica, el aprendizaje automático, las ecuaciones diferenciales parciales y el análisis de Fourier.

Más generalmente, el análisis funcional incluye el estudio de los espacios de Fréchet y otros espacios vectoriales topológicos no dotados de una norma.

Un importante objeto de estudio en el análisis funcional son los operadores lineales continuos definidos en los espacios de Banach y Hilbert. Estos conducen naturalmente a la definición de C*-álgebras y otras álgebras de operadores.

Espacios de Hilbert

Los espacios de Hilbert pueden ser completamente clasificados: hay un espacio único de Hilbert hasta el isomorfismo para cada cardinalidad de la base ortonormal. Los espacios de Hilbert de dimensión finita se entienden completamente en álgebra lineal, y los espacios separables de infinita dimensión Hilbert son isomorfos a l l 2()א א 0){displaystyle ell ^{,2}(aleph _{0},}. La estabilidad es importante para aplicaciones, el análisis funcional de los espacios de Hilbert en consecuencia se ocupa principalmente de este espacio. Uno de los problemas abiertos en el análisis funcional es probar que cada operador lineal vinculado en un espacio Hilbert tiene un subespacio invariable adecuado. Muchos casos especiales de este problema subespacial invariante ya han sido probados.

Espacios de Banach

Los espacios de General Banach son más complicados que los espacios de Hilbert y no se pueden clasificar de una manera tan simple como esos. En particular, muchos espacios de Banach carecen de una noción análoga a una base ortonormal.

Ejemplos de espacios de Banach son Lp{displaystyle L^{p}- espacios para cualquier número real p≥ ≥ 1{displaystyle pgeq 1}. Dada también una medida μ μ {displaystyle mu } on set X{displaystyle X}, entonces Lp()X){displaystyle L^{p}(X)}, a veces también denotado Lp()X,μ μ ){displaystyle L^{p}(X,mu)} o Lp()μ μ ){displaystyle L^{p}(mu)}, tiene como sus clases de equivalencia vectorial [f]{displaystyle [,f,f]} de funciones mensurables cuyo valor absoluto p{displaystyle p}-la potencia tiene integral finita; es decir, funciones f{displaystyle f} para el cual uno tiene

<math alttext="{displaystyle int _{X}left|f(x)right|^{p},dmu (x)∫ ∫ XSilenciof()x)Silenciopdμ μ ()x).+JUEGO JUEGO .{displaystyle int _{X}left WordPressf(x)right sobre la vida actualp},dmu (x) won+infty.}<img alt="{displaystyle int _{X}left|f(x)right|^{p},dmu (x)

Si μ μ {displaystyle mu } es la medida contable, entonces la integral puede ser reemplazada por una suma. Es decir, necesitamos

<math alttext="{displaystyle sum _{xin X}left|f(x)right|^{p}.. x▪ ▪ XSilenciof()x)Silenciop.+JUEGO JUEGO .{displaystyle sum _{xin X}left sometidaf(x)right WordPress^{p}Seleccionado+infty.}<img alt="{displaystyle sum _{xin X}left|f(x)right|^{p}

Entonces no es necesario tratar con clases de equivalencia, y el espacio es denotado l l p()X){displaystyle ell ^{p}(X)}, escrito más simplemente l l p{displaystyle ell ^{p} en el caso cuando X{displaystyle X} es el conjunto de enteros no negativos.

En los espacios de Banach, una gran parte del estudio involucra el espacio dual: el espacio de todos los mapas lineales continuos desde el espacio hasta su campo subyacente, los llamados funcionales. Un espacio de Banach se puede identificar canónicamente con un subespacio de su bidual, que es el dual de su espacio dual. El mapa correspondiente es una isometría pero en general no sobre. Un espacio de Banach general y su bidual ni siquiera necesitan ser isométricamente isomórficos de ninguna manera, al contrario de la situación de dimensión finita. Esto se explica en el artículo de doble espacio.

Además, la noción de derivada se puede extender a funciones arbitrarias entre espacios de Banach. Véase, por ejemplo, el artículo derivado de Fréchet.

Análisis funcional lineal

Resultados principales y fundamentales

Hay cuatro teoremas principales que a veces se denominan los cuatro pilares del análisis funcional: el teorema de Hahn-Banach, el teorema de mapeo abierto, el teorema del gráfico cerrado y el principio de acotación uniforme, también conocido como el teorema de Banach-Steinhaus. Los resultados importantes del análisis funcional incluyen:

Principio de acotación uniforme

El principio de acotación uniforme o teorema de Banach-Steinhaus es uno de los resultados fundamentales del análisis funcional. Junto con el teorema de Hahn-Banach y el teorema de mapeo abierto, se considera una de las piedras angulares del campo. En su forma básica, afirma que para una familia de operadores lineales continuos (y, por lo tanto, operadores acotados) cuyo dominio es un espacio de Banach, la acotación puntual es equivalente a la acotación uniforme en la norma del operador.

El teorema fue publicado por primera vez en 1927 por Stefan Banach y Hugo Steinhaus, pero también fue probado de forma independiente por Hans Hahn.

Theorem (Uniform Boundedness Principle). Vamos X{displaystyle X} ser un espacio de Banach y Y{displaystyle Sí. ser un espacio vectorial normal. Supongamos que F{displaystyle F} es una colección de operadores lineales continuos de X{displaystyle X} a Y{displaystyle Sí.. Si para todos x{displaystyle x} dentro X{displaystyle X} uno tiene

<math alttext="{displaystyle sup nolimits _{Tin F}|T(x)|_{Y}SupT▪ ▪ F.. T()x).. Y.JUEGO JUEGO ,{displaystyle sup nolimits _{Tin F} eternaT(x) sufrimiento_{Y} buscadoinfty}<img alt="supnolimits_{T in F} |T(x)|_Y

entonces

<math alttext="{displaystyle sup nolimits _{Tin F}|T|_{B(X,Y)}SupT▪ ▪ F.. T.. B()X,Y).JUEGO JUEGO .{displaystyle sup nolimits _{Tin F} sufrimiento_{B(X,Y)} buscadoinfty.}<img alt="supnolimits_{T in F} |T|_{B(X,Y)}

Teorema espectral

Hay muchos teoremas conocidos como el teorema espectral, pero uno en particular tiene muchas aplicaciones en el análisis funcional.

Teorema espectral. Vamos A{displaystyle A} ser un operador auto-adjunto consolidado en un espacio Hilbert H{displaystyle H.. Entonces hay un espacio de medida ()X,.. ,μ μ ){displaystyle (X,Sigmamu)} y una función medible esencialmente atada f{displaystyle f} on X{displaystyle X} y un operador unitario U:H→ → Lμ μ 2()X){displaystyle U:Hto L_{mu } {2}(X)} tales que

UAlternativa Alternativa TU=A{displaystyle U^{*}TU=A;}

Donde T es el operador de multiplicación:

[Tφ φ ]()x)=f()x)φ φ ()x).{displaystyle [Tvarphi ](x)=f(x)varphi (x).;}

y .. T.. =.. f.. JUEGO JUEGO {displaystyle 'infty }.

Este es el comienzo de la vasta área de investigación del análisis funcional llamada teoría de operadores; véase también la medida espectral.

También hay un teorema espectral analógico para operadores normales ligados en los espacios de Hilbert. La única diferencia en la conclusión es que ahora f{displaystyle f} puede ser de valor complejo.

Teorema de Hahn-Banach

El teorema de Hahn-Banach es una herramienta central en el análisis funcional. Permite la extensión de funcionales lineales acotados definidos en un subespacio de algún espacio vectorial a todo el espacio, y también muestra que hay "suficientes" Funcionales lineales continuos definidos en cada espacio vectorial normado para hacer "interesante" el estudio del espacio dual.

Teorema de Hahn-Banach: Si p:V→ → R{displaystyle p:Vto mathbb {R} es una función sublinear, y φ φ :U→ → R{displaystyle varphi: Uto mathbb {R} es un funcional lineal en un subespacio lineal U⊆ ⊆ V{displaystyle Usubseteq V} que está dominada p{displaystyle p} on U{displaystyle U}; es decir,

φ φ ()x)≤ ≤ p()x)О О x▪ ▪ U{displaystyle varphi (x)leq p(x)qquad forall xin U}

entonces existe una extensión lineal ↑ ↑ :V→ → R{displaystyle psi:Vto mathbb {R} de φ φ {displaystyle varphi } a todo el espacio V{displaystyle V} que está dominada p{displaystyle p} on V{displaystyle V}; es decir, existe una funcionalidad lineal ↑ ↑ {displaystyle psi } tales que

↑ ↑ ()x)=φ φ ()x)О О x▪ ▪ U,{displaystyle psi (x)=varphi (x)qquad forall xin U,}

↑ ↑ ()x)≤ ≤ p()x)О О x▪ ▪ V.{displaystyle psi (x)leq p(x)qquad forall xin V.}

Teorema de mapeo abierto

El teorema de mapeo abierto, también conocido como teorema de Banach-Schauder (llamado así por Stefan Banach y Juliusz Schauder), es un resultado fundamental que establece que si un operador lineal continuo entre espacios de Banach es sobreyectivo, entonces es un mapa abierto. Más precisamente,:

Teorema de mapeo abierto. Si X{displaystyle X} y Y{displaystyle Sí. son espacios de Banach y A:X→ → Y{displaystyle A:Xto Y} es un operador lineal continuo subjetivo, entonces A{displaystyle A} es un mapa abierto (es decir, si U{displaystyle U} es un juego abierto X{displaystyle X}, entonces A()U){displaystyle A(U)} está abierto Y{displaystyle Sí.).

La prueba utiliza el teorema de la categoría Baire, y la integridad de ambos X{displaystyle X} y Y{displaystyle Sí. es esencial para el teorema. La declaración del teorema ya no es verdad si el espacio se supone que es un espacio normal, pero es cierto si X{displaystyle X} y Y{displaystyle Sí. son llevados a ser espacios Fréchet.

Teorema del gráfico cerrado

El teorema de gráfico cerrado establece lo siguiente: Si X{displaystyle X} es un espacio topológico y Y{displaystyle Sí. es un espacio Hausdorff compacto, luego el gráfico de un mapa lineal T{displaystyle T} desde X{displaystyle X} a Y{displaystyle Sí. está cerrado si T{displaystyle T} es continuo.

Otros temas

Fundamentos de consideraciones matemáticas

La mayoría de los espacios considerados en el análisis funcional tienen una dimensión infinita. Para mostrar la existencia de una base de espacio vectorial para tales espacios puede requerirse el lema de Zorn. Sin embargo, un concepto algo diferente, la base de Schauder, suele ser más relevante en el análisis funcional. Muchos teoremas muy importantes requieren el teorema de Hahn-Banach, generalmente probado usando el axioma de elección, aunque el teorema del ideal primo booleano estrictamente más débil es suficiente. El teorema de la categoría de Baire, necesario para probar muchos teoremas importantes, también requiere una forma de axioma de elección.

Puntos de vista

El análisis funcional en su forma actual incluye las siguientes tendencias:

• Análisis abstracto. Un acercamiento al análisis basado en grupos topológicos, anillos topológicos y espacios vectoriales topológicos.
• Geometría de espacios de Banach contiene muchos temas. Se trata de un enfoque combinatorio conectado con Jean Bourgain; otro es una caracterización de espacios de Banach en los que se mantienen diversas formas de la ley de grandes números.
• Geometría no recíproca. Desarrollado por Alain Connes, en parte a partir de nociones anteriores, como el enfoque de George Mackey a la teoría ergonódica.
• Conexión con mecánica cuántica. O bien definido de forma estrecha como en la física matemática, o ampliamente interpretado por, por ejemplo, Israel Gelfand, para incluir la mayoría de los tipos de teoría de la representación.