Análisis armónico

Análisis armónico es una rama de las matemáticas que se ocupa de la representación de funciones o señales como la superposición de ondas básicas, y el estudio y la generalización de las nociones de series de Fourier y transformadas de Fourier (es decir, una forma extendida del análisis de Fourier). En los últimos dos siglos, se ha convertido en un vasto tema con aplicaciones en áreas tan diversas como la teoría de números, la teoría de representaciones, el procesamiento de señales, la mecánica cuántica, el análisis de mareas y la neurociencia.

El término "armónicos" se originó como la palabra griega antigua harmonikos, que significa "experto en música". En problemas de valores propios físicos, comenzó a significar ondas cuyas frecuencias son múltiplos enteros entre sí, como lo son las frecuencias de los armónicos de las notas musicales, pero el término se ha generalizado más allá de su significado original.

La transformada clásica de Fourier en Rⁿ sigue siendo un área de investigación en curso, en particular en lo que respecta a la transformación de Fourier en objetos más generales, como objetos templados. distribuciones. Por ejemplo, si imponemos algunos requisitos a una distribución f, podemos intentar traducir estos requisitos en términos de la transformada de Fourier de f. El teorema de Paley-Wiener es un ejemplo de esto. El teorema de Paley-Wiener implica inmediatamente que si f es una distribución distinta de cero de soporte compacto (estas incluyen funciones de soporte compacto), entonces su transformada de Fourier nunca se admite de forma compacta (es decir, si una señal está limitada en uno dominio, es ilimitado en el otro). Esta es una forma muy elemental de un principio de incertidumbre en un entorno de análisis armónico.

Las series de Fourier se pueden estudiar convenientemente en el contexto de los espacios de Hilbert, que proporciona una conexión entre el análisis armónico y el análisis funcional. Hay cuatro versiones de la transformada de Fourier, dependiendo de los espacios mapeados por la transformación (discreta/periódica–discreta/periódica: transformada de Fourier discreta, continua/periódica–discreta/aperiódica: serie de Fourier, discreta/aperiódica–continua/periódica: transformada de Fourier en tiempo discreto, continua/aperiódica–continua/aperiódica: transformada de Fourier).

Análisis armónico abstracto

Una de las ramas más modernas del análisis armónico, que tiene sus raíces a mediados del siglo XX, es el análisis de grupos topológicos. Las ideas motivadoras centrales son las diversas transformadas de Fourier, que se pueden generalizar a una transformada de funciones definidas en grupos topológicos localmente compactos de Hausdorff.

La teoría de los grupos abelianos localmente compactos se denomina dualidad de Pontryagin.

El análisis armónico estudia las propiedades de esa dualidad y la transformada de Fourier e intenta extender esas características a diferentes escenarios, por ejemplo, al caso de grupos de Lie no abelianos.

Para grupos generales no abelianos localmente compactos, el análisis armónico está estrechamente relacionado con la teoría de representaciones de grupos unitarios. Para grupos compactos, el teorema de Peter-Weyl explica cómo se pueden obtener armónicos eligiendo una representación irreducible de cada clase de representaciones de equivalencia. Esta elección de armónicos disfruta de algunas de las propiedades útiles de la transformada de Fourier clásica en términos de llevar convoluciones a productos puntuales o, de lo contrario, mostrar una cierta comprensión de la estructura del grupo subyacente. Ver también: Análisis armónico no conmutativo.

Si el grupo no es ni abeliano ni compacto, actualmente no se conoce ninguna teoría general satisfactoria ('satisfactorio' significa al menos tan fuerte como el teorema de Plancherel). Sin embargo, se han analizado muchos casos específicos, por ejemplo SLn. En este caso, las representaciones en infinitas dimensiones juegan un papel crucial.

Otras sucursales

• El estudio de los eigenvalues y eigenvectores del laplaciano sobre dominios, manifolds y (en menor medida) gráficos también se considera una rama de análisis armónico. Por ejemplo, escuchar la forma de un tambor.
• Análisis armónico sobre espacios euclidianos trata de propiedades de la transformación Fourier Rⁿ que no tienen análogo en grupos generales. Por ejemplo, el hecho de que la transformación Fourier sea invariante en la rotación. La descomposición de los Fourier se transforma en sus componentes radiales y esféricos conduce a temas como las funciones de Bessel y los armónicos esféricos.
• El análisis armónico en los dominios de los tubos se ocupa de generalizar las propiedades de los espacios de Hardy a dimensiones superiores.

Análisis armónico aplicado

Base-guitar señal de tiempo de apertura Una nota (55 Hz)

Fourier transform of bass-guitar time signal of open-string A note (55 Hz)

Muchas aplicaciones del análisis armónico en ciencia e ingeniería comienzan con la idea o hipótesis de que un fenómeno o señal se compone de una suma de componentes oscilatorios individuales. Las mareas oceánicas y las cuerdas vibrantes son ejemplos comunes y sencillos. El enfoque teórico suele tratar de describir el sistema mediante una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones para predecir las características esenciales, incluidas la amplitud, la frecuencia y las fases de los componentes oscilatorios. Las ecuaciones específicas dependen del campo, pero las teorías generalmente intentan seleccionar ecuaciones que representen principios importantes que sean aplicables.

El enfoque experimental suele ser adquirir datos que cuantifiquen con precisión el fenómeno. Por ejemplo, en un estudio de las mareas, el experimentador adquiriría muestras de la profundidad del agua en función del tiempo a intervalos lo suficientemente espaciados para ver cada oscilación y durante una duración lo suficientemente larga como para incluir múltiples períodos de oscilación. En un estudio sobre cuerdas vibrantes, es común que el experimentador adquiera una forma de onda de sonido muestreada a una velocidad de al menos el doble de la frecuencia más alta esperada y con una duración muchas veces mayor que el período de la frecuencia más baja esperada.

Por ejemplo, la señal superior a la derecha es una forma de onda de sonido de un bajo tocando una cuerda al aire correspondiente a una nota A con una frecuencia fundamental de 55 Hz. La forma de onda parece oscilatoria, pero es más compleja que una simple onda sinusoidal, lo que indica la presencia de ondas adicionales. Los diferentes componentes de onda que contribuyen al sonido pueden revelarse aplicando una técnica de análisis matemático conocida como transformada de Fourier, cuyo resultado se muestra en la figura inferior. Tenga en cuenta que hay un pico destacado a 55 Hz, pero que hay otros picos a 110 Hz, 165 Hz y a otras frecuencias que corresponden a múltiplos enteros de 55 Hz. En este caso, 55 Hz se identifica como la frecuencia fundamental de la vibración de la cuerda, y los múltiplos enteros se conocen como armónicos.