Amortiguamiento

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El amortiguamiento o amortiguación es una influencia dentro o sobre un sistema oscilatorio que tiene el efecto de reducir o prevenir su oscilación. En los sistemas físicos, el amortiguamiento se produce mediante procesos que disipan la energía almacenada en la oscilación. Los ejemplos incluyen arrastre viscoso (la viscosidad de un líquido puede obstaculizar un sistema oscilatorio, lo que hace que disminuya su velocidad; consulte amortiguación viscosa) en sistemas mecánicos, resistencia en osciladores electrónicos y absorción y dispersión de luz en osciladores ópticos. La amortiguación que no se basa en la pérdida de energía puede ser importante en otros sistemas oscilantes, como los que se producen en los sistemas biológicos y las bicicletas (por ejemplo, Suspensión (mecánica)). No debe confundirse con la fricción, que es una fuerza disipativa que actúa sobre un sistema. La fricción puede causar o ser un factor de amortiguamiento.

La relación de amortiguamiento es una medida adimensional que describe cómo decaen las oscilaciones en un sistema después de una perturbación. Muchos sistemas exhiben un comportamiento oscilatorio cuando son perturbados desde su posición de equilibrio estático. Una masa suspendida de un resorte, por ejemplo, podría, si se tira y suelta, rebotar hacia arriba y hacia abajo. En cada rebote, el sistema tiende a volver a su posición de equilibrio, pero la sobrepasa. A veces, las pérdidas (p. ej., por fricción) amortiguan el sistema y pueden hacer que las oscilaciones disminuyan gradualmente en amplitud hacia cero o se atenúen. La relación de amortiguamiento es una medida que describe qué tan rápido decaen las oscilaciones de un rebote al siguiente.

La relación de amortiguamiento es un parámetro del sistema, denotado por ζ (zeta), que puede variar desde no amortiguado (ζ = 0), subamortiguado (ζ < 1) pasando por críticamente amortiguado (ζ = 1) hasta sobreamortiguado (ζ > 1).

El comportamiento de los sistemas oscilantes a menudo es de interés en una amplia gama de disciplinas que incluyen ingeniería de control, ingeniería química, ingeniería mecánica, ingeniería estructural e ingeniería eléctrica. La cantidad física que oscila varía mucho y podría ser el balanceo de un edificio alto con el viento o la velocidad de un motor eléctrico, pero un enfoque normalizado o no dimensional puede ser conveniente para describir aspectos comunes del comportamiento.

Casos de oscilación

Dependiendo de la cantidad de amortiguamiento presente, un sistema exhibe diferentes velocidades y comportamientos oscilatorios.

Donde el sistema resorte-masa es completamente sin pérdidas, la masa oscilaría indefinidamente, con cada rebote de igual altura que el último. Este caso hipotético se llama no amortiguado.
Si el sistema contenía grandes pérdidas, por ejemplo, si el experimento masa-resorte se realizara en un fluido viscoso, la masa podría volver lentamente a su posición de reposo sin sobrepasarse nunca. Este caso se llama sobreamortiguado.
Comúnmente, la masa tiende a rebasar su posición inicial y luego regresar, rebasándose nuevamente. Con cada sobreimpulso, se disipa algo de energía en el sistema y las oscilaciones mueren hacia cero. Este caso se llama subamortiguado.
Entre los casos sobreamortiguado y subamortiguado, existe un cierto nivel de amortiguamiento en el que el sistema simplemente fallará en sobrepasar y no hará una sola oscilación. Este caso se llama amortiguamiento crítico. La diferencia clave entre el amortiguamiento crítico y el sobreamortiguamiento es que, en el amortiguamiento crítico, el sistema vuelve al equilibrio en la cantidad mínima de tiempo.

Onda sinusoidal amortiguada

Una onda sinusoidal amortiguada o sinusoide amortiguada es una función sinusoidal cuya amplitud se aproxima a cero a medida que aumenta el tiempo. Corresponde al caso subamortiguado de sistemas amortiguados de segundo orden, o ecuaciones diferenciales subamortiguadas de segundo orden. Las ondas sinusoidales amortiguadas se ven comúnmente en la ciencia y la ingeniería, dondequiera que un oscilador armónico pierda energía más rápido de lo que se suministra. Una onda sinusoidal verdadera que comienza en el tiempo = 0 comienza en el origen (amplitud = 0). Una onda coseno comienza en su valor máximo debido a su diferencia de fase con la onda sinusoidal. Una forma de onda sinusoidal dada puede ser de fase intermedia, con componentes seno y coseno. El término "onda sinusoidal amortiguada" describe todas esas formas de onda amortiguadas, cualquiera que sea su fase inicial.

La forma más común de amortiguamiento, que generalmente se supone, es la forma que se encuentra en los sistemas lineales. Esta forma es el amortiguamiento exponencial, en el que la envolvente exterior de los picos sucesivos es una curva de caída exponencial. Es decir, cuando conecta el punto máximo de cada curva sucesiva, el resultado se asemeja a una función de decaimiento exponencial. La ecuación general para una sinusoide amortiguada exponencialmente se puede representar como: ${displaystyle y(t)=Acdot e^{-lambda t}cdot cos(omega t-phi)}$

dónde: $y(t)$ es la amplitud instantánea en el tiempo t; $A$ es la amplitud inicial de la envolvente; $lambda$ es la tasa de decaimiento, en el recíproco de las unidades de tiempo de la variable independiente t; $fi$ es el ángulo de fase en t = 0; $omega$ es la frecuencia angular.

Otros parámetros importantes incluyen:

Frecuencia: ${displaystyle f=omega /(2pi)}$ , el número de ciclos por unidad de tiempo. Se expresa en unidades de tiempo inversas $t^{-1}$ , o hercios.
Constante de tiempo: ${ estilo de visualización tau = 1/ lambda}$ , el tiempo para que la amplitud disminuya por el factor de e.
La vida media es el tiempo que tarda la envolvente de amplitud exponencial en disminuir por un factor de 2. Es igual a ${ estilo de visualización ln (2) / lambda}$ lo que es aproximadamente ${ estilo de visualización 0,693/ lambda}$ .
Relación de amortiguamiento: $zeta$ es una caracterización no dimensional de la tasa de decaimiento relativa a la frecuencia, aproximadamente ${ estilo de visualización zeta = lambda / omega}$ o exactamente ${ estilo de visualización zeta = lambda / { sqrt { lambda ^ {2} + omega ^ {2}}} <1}$ .
Factor Q: ${ estilo de visualización Q = 1/(2 zeta)}$ es otra caracterización no dimensional de la cantidad de amortiguamiento; una Q alta indica una amortiguación lenta en relación con la oscilación.

Definición de relación de amortiguamiento

La relación de amortiguamiento es un parámetro, generalmente indicado por ζ (letra griega zeta), que caracteriza la respuesta de frecuencia de una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Es particularmente importante en el estudio de la teoría del control. También es importante en el oscilador armónico. En general, los sistemas con índices de amortiguamiento más altos (uno o más) demostrarán un mayor efecto de amortiguamiento. Los sistemas subamortiguados tienen un valor de menos de uno. Los sistemas críticamente amortiguados tienen una relación de amortiguamiento de exactamente 1, o al menos muy cercana.

La relación de amortiguamiento proporciona un medio matemático para expresar el nivel de amortiguamiento en un sistema en relación con el amortiguamiento crítico. Para un oscilador armónico amortiguado con masa m, coeficiente de amortiguamiento c y constante de resorte k, se puede definir como la relación entre el coeficiente de amortiguamiento en la ecuación diferencial del sistema y el coeficiente de amortiguamiento crítico: ${displaystyle zeta ={frac {c}{c_{c}}}={frac {text{amortiguación real}}{text{amortiguación crítica}}},}$

donde la ecuación de movimiento del sistema es $m{frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+c{frac {dx}{dt}}+kx=0$

y el coeficiente de amortiguamiento crítico correspondiente es ${displaystyle c_{c}=2{sqrt {km}}}$

o ${displaystyle c_{c}=2m{sqrt {frac {k}{m}}}=2momega _{n}}$

dónde ${displaystyle omega _{n}={sqrt {frac {k}{m}}}}$ es la frecuencia natural del sistema.

La relación de amortiguamiento es adimensional, siendo la relación de dos coeficientes de unidades idénticas.

Derivación

Usando la frecuencia natural de un oscilador armónico ${textstyle omega _{n}={sqrt {{k}/{m}}}}$ y la definición de la relación de amortiguamiento anterior, podemos reescribir esto como: ${frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2zeta omega _{n}{frac {dx}{dt}}+omega _{n}^{2} x=0.$

Esta ecuación es más general que solo el sistema masa-resorte y también se aplica a los circuitos eléctricos y a otros dominios. Se puede resolver con el enfoque. ${ Displaystyle x (t) = Ce ^ {st},}$

donde C y s son ambas constantes complejas, y s satisface ${displaystyle s=-omega _{n}left(zeta pm i{sqrt {1-zeta ^{2}}}right).}$

Dos de estas soluciones, para los dos valores de s que satisfacen la ecuación, se pueden combinar para formar las soluciones reales generales, con propiedades oscilatorias y decrecientes en varios regímenes:sin amortiguarEs el caso donde ${ estilo de visualización zeta = 0}$ corresponde al oscilador armónico simple no amortiguado, y en ese caso la solución se parece a $exp(iomega _{n}t)$ la esperada. Este caso es extremadamente raro en el mundo natural y los ejemplos más cercanos son casos en los que la fricción se redujo a propósito a valores mínimos.subamortiguadoSi s es un par de valores complejos, entonces cada término de solución compleja es un exponencial decreciente combinado con una parte oscilatoria que se parece a ${textstyle exp left(iomega _{n}{sqrt {1-zeta ^{2}}}tright)}$ . Este caso ocurre para ${ estilo de visualización 0 leq zeta <1}$ , y se denomina subamortiguado (p. ej., cable elástico).sobreamortiguadoSi s es un par de valores reales, entonces la solución es simplemente una suma de dos exponenciales decrecientes sin oscilación. Este caso ocurre para $zeta >1$ , y se denomina sobreamortiguado. Las situaciones en las que la sobreamortiguación es práctica tienden a tener resultados trágicos si se produce un sobreimpulso, generalmente eléctrico en lugar de mecánico. Por ejemplo, aterrizar un avión en piloto automático: si el sistema se pasa y suelta el tren de aterrizaje demasiado tarde, el resultado sería un desastre.críticamente amortiguadoEl caso donde $zeta =1$ es el límite entre los casos sobreamortiguado y subamortiguado, y se denomina críticamente amortiguado. Esto resulta ser un resultado deseable en muchos casos donde se requiere el diseño de ingeniería de un oscilador amortiguado (por ejemplo, un mecanismo de cierre de puerta).

Factor Q y tasa de decaimiento

El factor Q, la relación de amortiguamiento ζ y la tasa de decaimiento exponencial α están relacionados de tal manera que ${displaystyle zeta ={frac {1}{2Q}}={alpha over omega _{n}}.}$

Cuando un sistema de segundo orden tiene $zeta <1$ (es decir, cuando el sistema está subamortiguado), tiene dos polos conjugados complejos que tienen cada uno una parte real de $-alfa$ ; es decir, el parámetro de tasa de caída $alfa$ representa la tasa de caída exponencial de las oscilaciones. Una relación de amortiguamiento más baja implica una tasa de caída más baja, por lo que los sistemas muy subamortiguados oscilan durante mucho tiempo. Por ejemplo, un diapasón de alta calidad, que tiene una relación de amortiguación muy baja, tiene una oscilación que dura mucho tiempo y decae muy lentamente después de ser golpeado por un martillo.

Decremento logarítmico

Para vibraciones subamortiguadas, la relación de amortiguamiento también está relacionada con el decremento logarítmico $delta$ . La relación de amortiguamiento se puede encontrar para dos picos cualesquiera, incluso si no son adyacentes. Para picos adyacentes: ${displaystyle zeta ={frac {delta }{sqrt {delta ^{2}+left(2pi right)^{2}}}}}$ dónde ${displaystyle delta =ln {frac {x_{0}}{x_{1}}}}$

donde x ₀ y x ₁ son amplitudes de dos picos sucesivos cualesquiera.

Como se muestra en la figura de la derecha: ${displaystyle delta =ln {frac {x_{1}}{x_{3}}}=ln {frac {x_{2}}{x_{4}}}=ln {frac { x_{1}-x_{2}}{x_{3}-x_{4}}}}$

donde $x_{1}$ , $x_{3}$ son amplitudes de dos picos positivos sucesivos y $x_{2}$ , $x_{4}$ son amplitudes de dos picos negativos sucesivos.

Sobrepaso porcentual

En la teoría de control, el sobreimpulso se refiere a una salida que excede su valor final de estado estable. Para una entrada de paso, el porcentaje de sobreimpulso (PO) es el valor máximo menos el valor de paso dividido por el valor de paso. En el caso del escalón unitario, el sobreimpulso es solo el valor máximo de la respuesta al escalón menos uno.

El sobreimpulso porcentual (PO) está relacionado con la relación de amortiguamiento (ζ) por: ${displaystyle mathrm {PO} =100exp left({-{frac {zeta pi }{sqrt {1-zeta ^{2}}}}}right)}$

Por el contrario, la relación de amortiguamiento (ζ) que produce un sobreimpulso porcentual dado está dada por: ${displaystyle zeta ={frac {-ln left({frac {rm {PO}}{100}}right)}{sqrt {pi ^{2}+ln ^{2 }left({frac {rm {PO}}{100}}right)}}}}$

Ejemplos y Aplicaciones

Arrastre viscoso

Cuando un objeto cae por el aire, la única fuerza que se opone a su caída libre es la resistencia del aire. Un objeto que cae a través del agua o del aceite se desaceleraría a un ritmo mayor, hasta que eventualmente alcanzaría una velocidad de estado estable a medida que la fuerza de arrastre llega al equilibrio con la fuerza de la gravedad. Este es el concepto de arrastre viscoso, que por ejemplo se aplica en puertas automáticas o puertas antiportazo.

Amortiguación en Sistemas Eléctricos

Los sistemas eléctricos que funcionan con corriente alterna (CA) utilizan resistencias para amortiguar la corriente eléctrica, ya que son periódicas. Los interruptores de atenuación o las perillas de volumen son ejemplos de amortiguación en un sistema eléctrico.

Amortiguación magnética

La energía cinética que provoca las oscilaciones se disipa en forma de calor mediante corrientes de Foucault eléctricas que se inducen al atravesar los polos de un imán, ya sea mediante una bobina o una placa de aluminio. En otras palabras, la resistencia causada por las fuerzas magnéticas ralentiza un sistema. Un ejemplo de la aplicación de este concepto son los frenos de las montañas rusas.

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