Amortiguación Landau

En física, el amortiguamiento de Landau, llamado así en honor a su descubridor, el físico soviético Lev Davidovich Landau (1908–68), es el efecto del amortiguamiento (disminución exponencial en función del tiempo) de la carga espacial longitudinal. ondas en plasma o un entorno similar. Este fenómeno evita que se desarrolle una inestabilidad y crea una región de estabilidad en el espacio de parámetros. Más tarde, Donald Lynden-Bell argumentó que estaba ocurriendo un fenómeno similar en la dinámica galáctica, donde el gas de electrones que interactúan mediante fuerzas electrostáticas es reemplazado por un "gas de estrellas" interactuando por fuerzas gravitacionales. La amortiguación de Landau se puede manipular exactamente en simulaciones numéricas, como la simulación de partículas en celda. Malmberg y Wharton demostraron experimentalmente su existencia en 1964, casi dos décadas después de su predicción por Landau en 1946.

Interacciones onda-partícula

El amortiguamiento ocurre debido al intercambio de energía entre una onda electromagnética con velocidad de fase ${\displaystyle - ¿Qué?$ y partículas en el plasma con velocidad aproximadamente igual a ${\displaystyle - ¿Qué?$, que puede interactuar fuertemente con la onda. Esas partículas que tienen velocidades ligeramente inferiores a las ${\displaystyle - ¿Qué?$ será acelerada por el campo eléctrico de la onda para moverse con la velocidad de la fase de onda, mientras que aquellas partículas con velocidades ligeramente mayores que ${\displaystyle - ¿Qué?$ se desacelerará perdiendo energía a la onda: las partículas tienden a sincronizarse con la onda. Esto se prueba experimentalmente con un tubo de onda de viaje.

En un plasma magnetohidrodinámico ideal (MHD), las velocidades de las partículas a menudo se consideran aproximadamente una función de distribución de Maxwell. Si la pendiente de la función es negativa, el número de partículas con velocidades ligeramente menores que la velocidad de la fase de onda es mayor que el número de partículas con velocidades ligeramente mayores. Por lo tanto, hay más partículas que ganan energía de la onda que la que pierden, lo que conduce a la amortiguación de la onda. Sin embargo, si la pendiente de la función es positiva, el número de partículas con velocidades ligeramente menores que la velocidad de la fase de onda es menor que el número de partículas con velocidades ligeramente mayores. Por lo tanto, hay más partículas que pierden energía con la onda que las que la ganan, lo que conduce a un aumento resultante en la energía de la onda. Luego, el amortiguamiento de Landau se sustituye por el crecimiento de Landau.

Interpretación física

La teoría matemática del amortiguamiento de Landau es algo complicada (ver § Tratamiento matemático). Sin embargo, en el caso de ondas de amplitud finita, existe una interpretación física sencilla que, aunque no es estrictamente correcta, ayuda a visualizar este fenómeno.

Es posible imaginar ondas Langmuir como ondas en el mar, y las partículas como surfistas tratando de atrapar la ola, todo en movimiento en la misma dirección. Si el surfista se está moviendo sobre la superficie del agua a una velocidad ligeramente inferior a las olas, eventualmente serán atrapados y empujados a lo largo de la ola (recogiendo energía), mientras que un surfista se mueve ligeramente más rápido que una ola empujará sobre la ola mientras se mueven cuesta arriba (perder energía a la ola).

Cabe señalar que sólo los surfistas juegan un papel importante en estas interacciones energéticas con las olas; una pelota de playa flotando en el agua (velocidad cero) subirá y bajará a medida que pasa la ola, sin ganar energía en absoluto. Además, un barco que se mueve más rápido que las olas no intercambia mucha energía con la ola.

Se obtiene una imagen algo más detallada considerando las partículas' trayectorias en el espacio de fase, en el marco de referencia de la onda. Las partículas cercanas a la velocidad de fase quedan atrapadas y se ven obligadas a moverse con los frentes de onda, a la velocidad de fase. De este modo, todas las partículas que inicialmente estaban por debajo de la velocidad de fase se han acelerado, mientras que las partículas que inicialmente estaban por encima de la velocidad de fase se han desacelerado. Debido a que, para un plasma maxwelliano, inicialmente hay más partículas por debajo de la velocidad de fase que por encima de ella, el plasma ha ganado energía neta y, por lo tanto, la onda ha perdido energía.

Una descripción mecánica simple de la dinámica de partículas proporciona una estimación cuantitativa de la sincronización de partículas con la onda. Un enfoque más riguroso muestra la sincronización más fuerte ocurre para las partículas con una velocidad en el marco de onda proporcional a la tasa de amortiguación e independiente de la amplitud de onda. Puesto que el amortiguamiento de Landau ocurre para las olas con amplitudes arbitrariamente pequeñas, esto muestra las partículas más activas en este amortiguamiento están lejos de estar atrapados. Esto es natural, ya que el atraque implica la desviación de escalas de tiempo para tales ondas (específicamente ${\displaystyle T_{\text{trap}\sim A^{-1/2}$ para una amplitud de onda ${\displaystyle A}$).

Tratamiento matemático

Teoría de perturbación en un marco Vlasoviano

El tratamiento teórico comienza con la ecuación Vlasov en el límite de campo no relativista cero-magnético, el conjunto Vlasov-Poisson de ecuaciones. Se obtienen soluciones explícitas en el límite de un pequeño ${\displaystyle E}$-campo. Función de distribución ${\displaystyle f}$ y sobre el terreno ${\displaystyle E}$ se expanden en una serie: ${\displaystyle f=f_{0}(v)+f_{1}(x,v,t)+\cdots }$, ${\displaystyle E=E_{1}(x,t)+E_{2}(x,t)+\cdots }$ y los términos de igual orden se recogen.

A primer orden las ecuaciones Vlasov–Poisson leer

$${\displaystyle (\partial _{t}+v\partial ¿Por qué? \over m}E_{1}f'_{0}=0,\quad \partial _{x}E_{1}={e \over \epsilon _{0}\int f_{1}\mathrm {d} v.}$$

Landau calculó la ola causada por una perturbación inicial ${\displaystyle f_{1}(x,v,0)=g(v)\exp(ikx)}$ y encontrado por ayuda de Laplace transformar y contorno integración una onda de viaje amortiguada de la forma ${\displaystyle \exp[ik(x-v_{\text{ph}t)-\gamma t]}$ con número de onda ${\displaystyle k}$ y amortiguación decremento

$${\displaystyle \gamma \approx -{\pi\omega _{3}\over 2k^{2}N}(v_{\text{ph}),\quad N=\int f_{0}\mathrm {d} v.}$$

Aquí. ${\displaystyle \omega _{p}$ es la frecuencia de oscilación del plasma y ${\displaystyle N}$ es la densidad de electrones. Posteriormente Nico van Kampen demostró que el mismo resultado se puede obtener con Fourier transform. Mostró que las ecuaciones de Vlasov-Poisson linearizadas tienen un espectro continuo de modos normales singulares, ahora conocidos como van Kampen modes

$${\displaystyle {\frac {\omega ¿Qué? {\fnMitcal {}{kv-\omega }+\epsilon \delta \left(v-{\frac {\omega }{k}\right)}$$

${\displaystyle {\fncipal}}$

${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle \epsilon =1+{\frac {\omega ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué?$$

${\displaystyle \omega _{p}$

No estaba claro cómo el amortiguamiento podría ocurrir en un plasma sin colisión: ¿dónde va la energía de onda? En la teoría del fluido, en la que el plasma se modela como un medio dieléctrico dispersivo, se conoce la energía de ondas Langmuir: la energía de campo multiplicada por el factor Brillouin ${\displaystyle \partial _{\omega }(\omega \epsilon)}$. Pero la humedad no puede derivarse en este modelo. Para calcular el intercambio energético de la onda con electrones resonantes, la teoría del plasma Vlasov debe ampliarse a segunda orden y problemas sobre condiciones iniciales adecuadas y términos seculares surgen.

En ref. Se estudian estos problemas. Debido a que los cálculos para una onda infinita son deficientes en segundo orden, se analiza un paquete de ondas. Se encuentran condiciones iniciales de segundo orden que suprimen el comportamiento secular y excitan un paquete de ondas cuya energía concuerda con la teoría de fluidos. La figura muestra la densidad de energía de un paquete de ondas que viaja a la velocidad de grupo, y su energía es transportada por electrones que se mueven a la velocidad de fase. Se conserva la energía total, el área bajo las curvas.

El problema de Cauchy para soluciones perturbativas

La teoría matemática rigurosa se basa en resolver el problema de Cauchy para la ecuación de evolución (en este caso, la ecuación diferencial parcial de Vlasov-Poisson) y demostrar estimaciones de la solución.

En primer lugar, desde Landau se ha desarrollado una teoría matemática linealizada bastante completa.

Ir más allá de la ecuación linealizada y abordar la no linealidad ha sido un problema de larga data en la teoría matemática del amortiguamiento de Landau. Anteriormente, un resultado matemático a nivel no lineal era la existencia de una clase de soluciones amortiguadas exponencialmente de la ecuación de Vlasov-Poisson en un círculo que se había demostrado mediante una técnica de dispersión (este resultado se ha ampliado recientemente). Sin embargo, estos resultados de existencia no dicen nada sobre qué datos iniciales podrían conducir a soluciones tan amortiguadas.

En un documento publicado por los matemáticos franceses Cédric Villani y Clément Mouhot, se resuelve el problema inicial de los datos y se establece matemáticamente el amortiguamiento Landau por primera vez para la ecuación Vlasov no lineal. Se ha demostrado que las soluciones que comienzan en algún vecindario (para la topología analítica o Gevrey) de una solución estacionaria linealmente estable son (orbitalmente) estables para todo el tiempo y se amortiguan globalmente en el tiempo. El fenómeno de amortiguación se reinterpreta en términos de transferencia de regularidad ${\displaystyle f}$ como función de ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle v}$, respectivamente, en lugar de intercambios de energía. Las variaciones de gran escala pasan en variaciones de menor y menor escala en el espacio de velocidad, correspondiente a un cambio del espectro Fourier de ${\displaystyle f}$ como función de ${\displaystyle v}$. Este cambio, bien conocido en la teoría lineal, demuestra que se mantiene en el caso no lineal.

Teoría de la perturbación en un marco de N-cuerpos

La descripción mecánica de N cuerpo, originalmente considerada imposible, permite un cálculo riguroso de la amortiguación de Landau utilizando la segunda ley del movimiento de Newton y las series de Fourier. Para esta derivación no se requieren ni la ecuación de Vlasov ni las transformadas de Laplace. El cálculo del intercambio de energía (más precisamente, momento) de la onda con los electrones se realiza de manera similar. Este cálculo hace intuitiva la interpretación de la amortiguación de Landau como la sincronización de partículas que pasan casi resonantes.