Alternancia (geometría)

Alternación de un cubo crea un tetraedro.

Alternación de un cuboctaedro truncado crea un cubo no uniforme.

En geometría, una alternancia o truncamiento parcial es una operación en un polígono, poliedro, mosaico o politopo de dimensiones superiores que elimina vértices alternativos.

Coxeter etiqueta una alternancia con un prefijo h, que representa hemi o mitad. Debido a que la alternancia reduce todas las caras del polígono a la mitad de lados, solo se puede aplicar a politopos con todas las caras de lados pares. Una cara cuadrada alternada pasa a ser un digon, y al estar degenerada, suele reducirse a una sola arista.

En términos más generales, cualquier poliedro o mosaico de vértice uniforme con una configuración de vértice que consista en todos los elementos pares se puede alternar. Por ejemplo, la alternancia de una figura de vértice con 2a.2b.2c es a.3.b.3.c.3 donde el tres es el número de elementos en esta figura de vértice. Un caso especial son las caras cuadradas cuyo orden se divide por la mitad en digones degenerados. Así por ejemplo, el cubo 4.4.4 se alterna como 2.3.2.3.2.3 que se reduce a 3.3.3, siendo el tetraedro, y las 6 aristas del Los tetraedros también pueden verse como las caras degeneradas del cubo original.

Un desaire (en la terminología de Coxeter) puede verse como una alternancia de un poliedro regular truncado o cuasiregular truncado. En general, un poliedro puede ser desairado si su truncamiento sólo tiene caras pares. Todos los poliedros rectificados truncados pueden ser desairados, no sólo los poliedros regulares.

El antiprisma cuadrado chato es un ejemplo de un chato general y se puede representar mediante ss{2,4}, con el antiprisma cuadrado, s{2,4}.

Esta operación de alternancia se aplica también a politopos y panales de dimensiones superiores, pero en general la mayoría de los resultados de esta operación no serán uniformes. Los vacíos creados por los vértices eliminados en general no crearán facetas uniformes y, por lo general, no hay suficientes grados de libertad para permitir un cambio de escala apropiado de los nuevos bordes. Sin embargo, existen excepciones, como la derivación del desaire de 24 celdas del truncado de 24 celdas.

Ejemplos:

• Combustibles de miel
  1. Un panal cúbico alterado es el panal tetraedral-octaedral.
  2. Un panal hexagonal prismático alterado es el panal de miel cúbico alterado.
• 4-polytope
  1. Un alternado truncated 24-cell es el snub 24-cell.
• 4-honeycombs:
  1. Un panal de miel de 24 celdas truncado alterno es el panal de miel snub 24-cell.
• Un hipercubo siempre puede ser alternado en un demihipercubo uniforme.
  1. Cubo → Tetraedro (regular)
     • →
  2. Tesseract (8-cell) → 16-cell (regular)
     • →
  3. Penteract → demipenteract (semiregular)
  4. Hexeract → demihexeract (uniform)
  5. ...

Coxeter también usó el operador a, que contiene ambas mitades, por lo que conserva la simetría original. Para poliedros regulares de lados pares, a{2p,q} representa un poliedro compuesto con dos copias opuestas de h{2p,q}. Para poliedros regulares a{p,q} de lados impares, mayores que 3, se convierte en un poliedro en estrella.

Norman Johnson extendió el uso del alterados operador a{p,q}, bPara... mezclado, y cPara... convertido, como , , y respectivamente.

El compuesto poliedro conocido como el octaedro estelar puede ser representado por un {4,3} (un cubo alterado), y , .

El poliedro estrella conocido como el pequeño ditrigonal icosidodecahedro puede ser representado por un {5,3} (un dodeahedro alterado), y , . Aquí todos los pentágonos se han alternado en pentagramas, y se han insertado triángulos para tomar los bordes libres resultantes.

El poliedro estrella conocido como el gran ditrigonal icosidodecahedro puede ser representado por un {5/2,3} (un gran dodecaedro estelar alterado), y , . Aquí todos los pentagramas se han alternado en pentágonos, y se han insertado triángulos para tomar los bordes libres resultantes.

Una operación similar puede truncar vértices alternativos, en lugar de simplemente eliminarlos. A continuación se muestra un conjunto de poliedros que se pueden generar a partir de los sólidos catalanes. Estos tienen dos tipos de vértices que pueden truncarse alternativamente. Truncar el "orden superior" Los vértices y ambos tipos de vértices producen estas formas:

Nombre	Original	Suplente truncación	Truncación	Nombre truncado
Cube Dual of rectified tetrahedron				Cubo truncado
Rhombic dodecahedron Dual of cuboctahedron				Truncated rhombic dodecahedron
Triacontahedron Rhombic Dual of icosidodecahedron				Triacontahedro tóxico
Triakis tetrahedron Dual of truncated tetrahedron				Truncated triakis tetrahedron
Triakis octahedron Dual of truncated cube				Truncated triakis octahedron
Triakis icosahedron Dual of truncated dodecahedron				Truncated triakis icosahedron

• Notación poliedral de conway
• Construcción de Wythoff

• Coxeter, H.S.M. Polytopes regulares, (3a edición, 1973), Dover edición, ISBN 0-486-61480-8
• Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscrito (1991)
  • N.W. Johnson: The The The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Doctorado en Disertación, Universidad de Toronto, 1966
• Weisstein, Eric W. "Snubification". MathWorld.
• Richard Klitzing, Snubs, facetings alternos y diagramas Stott-Coxeter-Dynkin, Simmetría: Cultura y Ciencia, Vol. 21, No.4, 329-344, (2010) [1]

• Olshevsky, George. "Alternación". Glosario para Hyperspace. Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
• Nombres Polyhedra, snub

Operadores de poliedro

• v
• t
• e

Semillas	Truncación	Rectificación	Bitruncación	Doble	Ampliación	Omnitruncación	Alternations
T0{p,q} {}p,q}	t01{p,q} t{p,q}	t1{p,q} r{p,q}	t12{p,q} 2t{p,q}	t2{p,q} 2r{p,q}	T02{p,q} rr{p,q}	t012{p,q} Tr{p,q}	ht0{p,q} hq,p}	ht12{p,q} s{q,p}	ht012{p,q} sr{p,q}