Álgebra universal

El álgebra universal (a veces llamada álgebra general) es el campo de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas en sí mismas, no ejemplos ("modelos") de estructuras algebraicas. Por ejemplo, en lugar de tomar grupos particulares como objeto de estudio, en álgebra universal uno toma la clase de grupos como objeto de estudio.

Idea básica

En álgebra universal, un álgebra (o estructura algebraica) es un conjunto A junto con una colección de operaciones en A. Una operación n -aria en A es una función que toma n elementos de A y devuelve un solo elemento de A. Por lo tanto, una operación 0-aria (u operación nula) se puede representar simplemente como un elemento de A, o una constante, a menudo denotada por una letra como a. Una operación 1-aria (u operación unaria) es simplemente una función de A aA, a menudo denotada por un símbolo colocado delante de su argumento, como ~ x. Una operación biaria (u operación binaria) a menudo se denota con un símbolo colocado entre sus argumentos, como x ∗ y. Las operaciones de aridad mayor o no especificada generalmente se indican mediante símbolos de función, con los argumentos colocados entre paréntesis y separados por comas, como f (x, y, z) o f (x ₁,..., x _n). Algunos investigadores permiten operaciones infinitas, como donde Jes un conjunto índice infinito, lo que conduce a la teoría algebraica de redes completas. Una forma de hablar de un álgebra, entonces, es referirse a ella como un álgebra de cierto tipo , donde hay una secuencia ordenada de números naturales que representan la aridad de las operaciones del álgebra.

Ecuaciones

Una vez que se han especificado las operaciones, la naturaleza del álgebra se define aún más mediante axiomas, que en el álgebra universal a menudo toman la forma de identidades o leyes ecuacionales. Un ejemplo es el axioma asociativo para una operación binaria, que viene dado por la ecuación x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z. Se pretende que el axioma se cumpla para todos los elementos x, y y z del conjunto A.

Variedades

Una colección de estructuras algebraicas definidas por identidades se denomina variedad o clase ecuacional.

Restringir el estudio a las variedades descarta:

• cuantificación, incluida la cuantificación universal () excepto antes de una ecuación, y la cuantificación existencial ()
• Conectivos lógicos que no sean conjunción (∧)
• relaciones distintas de la igualdad, en particular las desigualdades, tanto a ≠ b como relaciones de orden

El estudio de las clases ecuacionales puede verse como una rama especial de la teoría de modelos, que generalmente se ocupa de estructuras que solo tienen operaciones (es decir, el tipo puede tener símbolos para funciones pero no para relaciones que no sean de igualdad), y en el que el lenguaje utilizado para hablar de estas estructuras usan ecuaciones solamente.

No todas las estructuras algebraicas en un sentido más amplio entran en este ámbito. Por ejemplo, los grupos ordenados implican una relación de orden, por lo que no entrarían dentro de este ámbito.

La clase de campos no es una clase ecuacional porque no hay ningún tipo (o "firma") en el que todas las leyes de campo puedan escribirse como ecuaciones (los inversos de los elementos se definen para todos los elementos distintos de cero en un campo, por lo que la inversión no puede ser añadido al tipo).

Una ventaja de esta restricción es que las estructuras estudiadas en álgebra universal se pueden definir en cualquier categoría que tenga productos finitos. Por ejemplo, un grupo topológico es solo un grupo en la categoría de espacios topológicos.

Ejemplos

La mayoría de los sistemas algebraicos habituales de las matemáticas son ejemplos de variedades, pero no siempre de forma obvia, ya que las definiciones habituales suelen implicar cuantificación o desigualdades.

Grupos

Como ejemplo, considere la definición de un grupo. Por lo general, un grupo se define en términos de una sola operación binaria ∗, sujeto a los axiomas:

• Asociatividad (como en la sección anterior): x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z; formalmente: ∀ x, y, z. X ∗(y ∗ z)=(X ∗ y)∗ z.
• Elemento de identidad: Existe un elemento e tal que para cada elemento x, se tiene e ∗ x = x = x ∗ e; formalmente: ∃ mi ∀ x. mi ∗ X = X = X ∗ mi.
• Elemento inverso: el elemento de identidad se ve fácilmente como único y generalmente se denota por e. Entonces para cada x existe un elemento i tal que x ∗ i = e = i ∗ x; formalmente: ∀ x ∃ i. X ∗ yo = mi = yo ∗ X.

(Algunos autores también usan el axioma de "cierre" de que x ∗ y pertenece a A siempre que x e y lo hagan, pero aquí esto ya está implícito al llamar a ∗ una operación binaria).

Esta definición de un grupo no se ajusta inmediatamente al punto de vista del álgebra universal, porque los axiomas del elemento identidad y la inversión no se expresan puramente en términos de leyes ecuacionales que se cumplen universalmente "para todos los..." elementos, sino que también implican el cuantificador existencial "existe...". Los axiomas de grupo se pueden expresar como ecuaciones cuantificadas universalmente especificando, además de la operación binaria ∗, una operación nula e y una operación unaria ~, con ~ x generalmente escrita como x. Los axiomas se convierten en:

• Asociatividad: x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z.
• Elemento de identidad: e ∗ x = x = x ∗ e; formalmente: ∀ x. mi ∗ X = X = X ∗ mi.
• Elemento inverso: x ∗ (~ x) = e = (~ x) ∗ x formalmente: ∀ x. X ∗~ X = mi =~ X ∗ X.

Para resumir, la definición habitual tiene:

• una sola operación binaria (firma (2))
• 1 ley ecuacional (asociatividad)
• 2 leyes cuantificadas (identidad e inversa)

mientras que la definición del álgebra universal tiene:

• 3 operaciones: una binaria, una unaria y una nula (firma (2,1,0))
• 3 leyes ecuacionales (asociatividad, identidad e inversa)
• sin leyes cuantificadas (excepto los cuantificadores universales más externos, que están permitidos en variedades)

Un punto clave es que las operaciones adicionales no agregan información, sino que se derivan únicamente de la definición habitual de un grupo. Aunque la definición habitual no especificaba de forma única el elemento de identidad e, un ejercicio fácil muestra que es único, como lo es cada elemento inverso.

El punto de vista del álgebra universal se adapta bien a la teoría de categorías. Por ejemplo, al definir un objeto grupal en la teoría de categorías, donde el objeto en cuestión puede no ser un conjunto, se deben usar leyes ecuacionales (que tienen sentido en categorías generales), en lugar de leyes cuantificadas (que se refieren a elementos individuales). Además, el inverso y la identidad se especifican como morfismos en la categoría. Por ejemplo, en un grupo topológico, el inverso no solo debe existir como elemento, sino que debe dar un mapeo continuo (un morfismo). Algunos autores también exigen que el mapa de identidad sea una inclusión cerrada (una cofibración).

Otros ejemplos

La mayoría de las estructuras algebraicas son ejemplos de álgebras universales.

• Anillos, semigrupos, cuasigrupos, groupoides, magmas, bucles y otros.
• Los espacios vectoriales sobre un campo fijo y los módulos sobre un anillo fijo son álgebras universales. Estos tienen una suma binaria y una familia de operadores de multiplicación escalar unarios, uno para cada elemento del campo o anillo.

Los ejemplos de álgebras relacionales incluyen semiretículos, retículos y álgebras booleanas.

Construcciones básicas

Suponemos que el tipo, , ha sido corregido. Luego hay tres construcciones básicas en álgebra universal: imagen homomórfica, subálgebra y producto.

Un homomorfismo entre dos álgebras A y B es una función h: A → B del conjunto A al conjunto B tal que, para cada operación f _A de A y correspondiente f _B de B (de aridad, digamos, n), h (f _A (x ₁,..., x _norte)) = f _segundo (h (x ₁),..., h (x _norte)). (A veces los subíndices en fse eliminan cuando está claro del contexto de qué álgebra proviene la función.) Por ejemplo, si e es una constante (operación nula), entonces h (e _A) = e _B. Si ~ es una operación unaria, entonces h (~ x) = ~ h (x). Si ∗ es una operación binaria, entonces h (x ∗ y) = h (x) ∗ h (y). Y así. Algunas de las cosas que se pueden hacer con los homomorfismos, así como las definiciones de ciertos tipos especiales de homomorfismos, se enumeran bajo la entrada Homomorfismo. En particular, podemos tomar la imagen homomórfica de un álgebra, h (A).

Una subálgebra de A es un subconjunto de A que es cerrado bajo todas las operaciones de A. Un producto de algún conjunto de estructuras algebraicas es el producto cartesiano de los conjuntos con las operaciones definidas por coordenadas.

Algunos teoremas básicos

• Los teoremas de isomorfismo, que engloban los teoremas de isomorfismo de grupos, anillos, módulos, etc.
• Teorema HSP de Birkhoff, que establece que una clase de álgebras es una variedad si y solo si es cerrada bajo imágenes homomórficas, subálgebras y productos directos arbitrarios.

Motivaciones y aplicaciones

Además de su enfoque unificador, el álgebra universal también proporciona teoremas profundos e importantes ejemplos y contraejemplos. Proporciona un marco útil para aquellos que pretenden iniciar el estudio de nuevas clases de álgebras. Puede permitir el uso de métodos inventados para algunas clases particulares de álgebras en otras clases de álgebras, reformulando los métodos en términos de álgebra universal (si es posible) y luego interpretándolos como aplicados a otras clases. También ha proporcionado aclaraciones conceptuales; como dice JDH Smith, "Lo que parece desordenado y complicado en un marco particular puede resultar simple y obvio en el marco general adecuado".

En particular, el álgebra universal se puede aplicar al estudio de monoides, anillos y redes. Antes de que apareciera el álgebra universal, muchos teoremas (sobre todo los teoremas de isomorfismo) se demostraban por separado en todas estas clases, pero con el álgebra universal, se pueden demostrar de una vez por todas para todo tipo de sistema algebraico.

El artículo de 1956 de Higgins al que se hace referencia a continuación ha tenido un buen seguimiento por su marco para una variedad de sistemas algebraicos particulares, mientras que su artículo de 1963 se destaca por su discusión de álgebras con operaciones que solo están parcialmente definidas, ejemplos típicos de esto son categorías y grupoides.. Esto lleva al tema del álgebra de dimensiones superiores, que puede definirse como el estudio de teorías algebraicas con operaciones parciales cuyos dominios se definen en condiciones geométricas. Ejemplos notables de estos son varias formas de categorías y groupoides de dimensiones superiores.

Problema de satisfacción de restricciones

El álgebra universal proporciona un lenguaje natural para el problema de satisfacción de restricciones (CSP). CSP se refiere a una clase importante de problemas computacionales donde, dada un álgebra relacional A y una oración existencial sobre este álgebra, la pregunta es averiguar si se puede satisfacer en A. El álgebra A suele ser fija, de modo que CSP _A se refiere al problema cuya instancia es sólo la oración existencial .

Se demuestra que todo problema computacional se puede formular como CSP _A para algún álgebra A.

Por ejemplo, el problema de n -coloración se puede enunciar como CSP del álgebra , es decir, un álgebra con elementos y una única relación, la desigualdad.

La conjetura de la dicotomía (probada en abril de 2017) establece que si A es un álgebra finita, entonces CSP _A es P o NP-completo.

Generalizaciones

El álgebra universal también se ha estudiado utilizando las técnicas de la teoría de categorías. En este enfoque, en lugar de escribir una lista de operaciones y ecuaciones obedecidas por esas operaciones, se puede describir una estructura algebraica utilizando categorías de un tipo especial, conocidas como teorías de Lawvere o, más generalmente, teorías algebraicas. Alternativamente, uno puede describir estructuras algebraicas usando mónadas. Los dos enfoques están estrechamente relacionados y cada uno tiene sus propias ventajas. En particular, cada teoría de Lawvere da una mónada sobre la categoría de conjuntos, mientras que cualquier mónada "finitaria" sobre la categoría de conjuntos surge de una teoría de Lawvere. Sin embargo, una mónada describe estructuras algebraicas dentro de una categoría particular (por ejemplo, la categoría de conjuntos), mientras que las teorías algebraicas describen estructuras dentro de una gran clase de categorías (a saber, aquellas que tienen productos finitos).

Un desarrollo más reciente en la teoría de categorías es la teoría de la ópera: una ópera es un conjunto de operaciones, similar a un álgebra universal, pero restringida porque las ecuaciones solo se permiten entre expresiones con las variables, sin duplicación u omisión de variables permitidas. Así, los anillos se pueden describir como las llamadas "álgebras" de algunas óperas, pero no como grupos, ya que la ley duplica la variable g en el lado izquierdo y la omite en el lado derecho. Al principio, esto puede parecer una restricción problemática, pero la recompensa es que las operaciones tienen ciertas ventajas: por ejemplo, se pueden hibridar los conceptos de anillo y espacio vectorial para obtener el concepto de álgebra asociativa, pero no se puede formar un híbrido similar de los conceptos de grupo y espacio vectorial.

Otro desarrollo es el álgebra parcial donde los operadores pueden ser funciones parciales. Ciertas funciones parciales también pueden manejarse mediante una generalización de las teorías de Lawvere conocidas como teorías esencialmente algebraicas.

Otra generalización del álgebra universal es la teoría de modelos, que a veces se describe como "álgebra universal + lógica".

Historia

En el libro de Alfred North Whitehead A Treatise on Universal Algebra, publicado en 1898, el término álgebra universal tenía esencialmente el mismo significado que tiene hoy. Whitehead le da crédito a William Rowan Hamilton y Augustus De Morgan como creadores del tema, y ​​​​a James Joseph Sylvester por haber acuñado el término en sí.

En ese momento, estructuras como las álgebras de Lie y los cuaterniones hiperbólicos llamaron la atención sobre la necesidad de expandir las estructuras algebraicas más allá de la clase asociativamente multiplicativa. En una reseña, Alexander Macfarlane escribió: "La idea principal del trabajo no es la unificación de los diversos métodos, ni la generalización del álgebra ordinaria para incluirlos, sino el estudio comparativo de sus diversas estructuras". En ese momento, el álgebra de la lógica de George Boole hizo un fuerte contrapunto al álgebra de números ordinarios, por lo que el término "universal" sirvió para calmar las sensibilidades tensas.

Los primeros trabajos de Whitehead buscaban unificar los cuaterniones (debido a Hamilton), la Ausdehnungslehre de Grassmann y el álgebra lógica de Boole. Whitehead escribió en su libro:"Tales álgebras tienen un valor intrínseco para un estudio detallado por separado; también son dignas de un estudio comparativo, en aras de la luz que arrojan sobre la teoría general del razonamiento simbólico, y sobre el simbolismo algebraico en particular. El estudio comparativo presupone necesariamente algunos estudio separado, siendo imposible la comparación sin conocimiento”.

Whitehead, sin embargo, no obtuvo resultados de carácter general. El trabajo sobre el tema fue mínimo hasta principios de la década de 1930, cuando Garrett Birkhoff y Øystein Ore comenzaron a publicar sobre álgebras universales. Los desarrollos en metamatemáticas y teoría de categorías en las décadas de 1940 y 1950 impulsaron el campo, particularmente el trabajo de Abraham Robinson, Alfred Tarski, Andrzej Mostowski y sus estudiantes.

En el período comprendido entre 1935 y 1950, la mayoría de los artículos se escribieron siguiendo las líneas sugeridas por los artículos de Birkhoff, que trataban de álgebras libres, celosías de congruencia y subálgebra y teoremas de homomorfismo. Aunque el desarrollo de la lógica matemática había hecho posibles las aplicaciones al álgebra, se produjeron lentamente; Los resultados publicados por Anatoly Maltsev en la década de 1940 pasaron desapercibidos a causa de la guerra. La conferencia de Tarski en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1950 en Cambridge marcó el comienzo de un nuevo período en el que se desarrollaron aspectos de teoría de modelos, principalmente por el propio Tarski, así como por CC Chang, Leon Henkin, Bjarni Jónsson, Roger Lyndon y otros.

A fines de la década de 1950, Edward Marczewski enfatizó la importancia de las álgebras libres, lo que llevó a la publicación de más de 50 artículos sobre la teoría algebraica de las álgebras libres del propio Marczewski, junto con Jan Mycielski, Władysław Narkiewicz, Witold Nitka, J. Płonka, S. Świerczkowski, K. Urbanik y otros.

A partir de la tesis de William Lawvere en 1963, las técnicas de la teoría de categorías se han vuelto importantes en el álgebra universal.