Álgebra sobre un campo

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Espacio vectorial equipado con un producto bilineal

En matemáticas, un álgebra sobre un campo (a menudo llamado simplemente álgebra) es un espacio vectorial equipado con un producto bilineal. Así, un álgebra es una estructura algebraica que consiste en un conjunto junto con operaciones de multiplicación y suma y multiplicación escalar por elementos de un campo y que satisface los axiomas implícitos en el "espacio vectorial" y "bilineal".

La operación de multiplicación en un álgebra puede o no ser asociativa, lo que lleva a las nociones de álgebras asociativas y álgebras no asociativas. Dado un entero n, el anillo de matrices cuadradas reales de orden n es un ejemplo de un álgebra asociativa sobre el campo de números reales bajo la suma y multiplicación de matrices ya que la multiplicación de matrices es asociativo. El espacio euclidiano tridimensional con multiplicación dada por el producto vectorial vectorial es un ejemplo de álgebra no asociativa sobre el campo de los números reales, ya que el producto vectorial vectorial no es asociativo y, en cambio, satisface la identidad de Jacobi.

Un álgebra es unital o unitaria si tiene un elemento identidad con respecto a la multiplicación. El anillo de matrices cuadradas reales de orden n forma un álgebra unital ya que la matriz identidad de orden n es el elemento identidad con respecto a la multiplicación de matrices. Es un ejemplo de álgebra asociativa unitaria, un anillo (unital) que también es un espacio vectorial.

Muchos autores usan el término álgebra para referirse a álgebra asociativa, o álgebra asociativa unitaria, o en algunas materias como la geometría algebraica, álgebra conmutativa asociativa unitaria.

Reemplazar el campo de escalares por un anillo conmutativo lleva a la noción más general de un álgebra sobre un anillo. Las álgebras no deben confundirse con los espacios vectoriales dotados de forma bilineal, como los espacios de productos interiores, ya que, para tal espacio, el resultado de un producto no está en el espacio, sino en el campo de los coeficientes.

Definición y motivación

Ejemplos motivadores


Álgebra	espacio vectorial	bilinear operator	asociatividad	Comutatividad
números complejos	$mathbb {R} ^{2}$	producto de números complejos ${displaystyle left(a+ibright)cdot left(c+idright)}$	Sí.	Sí.
producto de cruz de vectores 3D	$mathbb {R} ^{3}$	producto cruzado ${displaystyle {vec {a}}times {vec {b}}}$	No	No (anticommutante)
quaternions	$mathbb {R} ^{4}$	Producto Hamilton ${displaystyle (a+{vec {v}})(b+{vec {w}})}$	Sí.	No
polinomios	${displaystyle mathbb {R} [X]}$	multiplicación polinómica	Sí.	Sí.
matrices cuadradas	${displaystyle mathbb {R} ^{ntimes n}}$	multiplicación de matriz	Sí.	No

Definición

Sea $K$ un campo y $A$ sea un espacio vectorial sobre $K$ equipado con una operación binaria adicional de $A \times A$ a $A$ , indicado aquí por $\cdot$ (es decir, si $x$ y $y$ son dos elementos cualesquiera de $A$ , entonces $x \cdot y$ es un elemento de $A$ que se llama el producto de $x$ y $y$ ). Entonces $A$ es un álgebra sobre $K$ si las siguientes identidades se cumplen para todos los elementos $x, y, z$ en $A$ y todos los elementos (a menudo llamados escalares) $a$ y $b$ en $K$ :

Distribución correcta: $() x + Sí.) z = x \cdot z + Sí. \cdot z$
Distribución izquierda: $z \cdot (x + Sí.) z \cdot x + z \cdot Sí.$
Compatibilidad con los cuero cabelludos: $() ax) por) = ab) x \cdot Sí.)$ .

Estos tres axiomas son otra forma de decir que la operación binaria es bilineal. Un álgebra sobre $K$ a veces también se denomina $K$ -álgebra, y $K$ se denomina campo base de $A$ . La operación binaria a menudo se denomina multiplicación en $A$ . La convención adoptada en este artículo es que la multiplicación de elementos de un álgebra no es necesariamente asociativa, aunque algunos autores usan el término álgebra para referirse a un álgebra asociativa.

Cuando una operación binaria en un espacio vectorial es conmutativa, la distributividad izquierda y la distributividad derecha son equivalentes y, en este caso, solo una distributividad requiere una demostración. En general, para operaciones no conmutativas, la distributividad por la izquierda y la distributividad por la derecha no son equivalentes y requieren pruebas separadas.

Conceptos básicos

Homomorfismos de álgebra

Dadas K-álgebras A y B, un homomorfismo de K-álgebra es un K -mapa lineal f: A → B tal que f(xy) = f(x) f(y) para todo x, y en A. El espacio de todos los homomorfismos de K-álgebra entre A y B se escribe con frecuencia como

mathbf{Hom}_{Ktext{-alg}} (A,B).

Un isomorfismo de K-álgebra es un homomorfismo biyectivo de K-álgebra. A efectos prácticos, las álgebras isomorfas se diferencian únicamente por la notación.

Subálgebras e ideales

Una subálgebra de un álgebra sobre un campo K es un subespacio lineal que tiene la propiedad de que el producto de dos de sus elementos está nuevamente en el subespacio. En otras palabras, una subálgebra de un álgebra es un subconjunto no vacío de elementos que se cierra bajo suma, multiplicación y multiplicación escalar. En símbolos, decimos que un subconjunto L de una K-álgebra A es una subálgebra si para cada x, y en L y c en K, tenemos que x · y, x + y y cx están todos en L.

En el ejemplo anterior de los números complejos vistos como un álgebra bidimensional sobre los números reales, la línea real unidimensional es una subálgebra.

Un ideal izquierdo de un K-álgebra es un subespacio lineal que tiene la propiedad de que cualquier elemento del subespacio multiplicado a la izquierda por cualquier elemento del álgebra produce un elemento del subespacio. En símbolos, decimos que un subconjunto L de una K-álgebra A es un ideal izquierdo si para cada x y y en L, z en A y c en K, tenemos las siguientes tres declaraciones.

x + Sí. está dentro L ()L está cerrado bajo adición),
cx está dentro L ()L se cierra bajo la multiplicación del escalar),
z · x está dentro L ()L se cierra bajo la multiplicación izquierda por elementos arbitrarios).

Si (3) fuera reemplazado por x · z está en L, entonces esto definiría un ideal correcto. Un ideal de dos colas es un subconjunto que es a la vez ideal izquierdo y derecho. El término ideal por sí solo suele interpretarse como un ideal de dos caras. Por supuesto, cuando el álgebra es conmutativa, todas estas nociones de ideal son equivalentes. Las condiciones (1) y (2) juntas son equivalentes a que L sea un subespacio lineal de A. De la condición (3) se sigue que todo ideal izquierdo o derecho es una subálgebra.

Esta definición es diferente de la definición de un anillo ideal, en que aquí requerimos la condición (2). Por supuesto, si el álgebra es unitaria, entonces la condición (3) implica la condición (2).

Extensión de escalares

Si tenemos una extensión de campo F/K, que es decir un campo más grande F que contiene K, entonces hay una manera natural de construir un álgebra sobre F de cualquier álgebra sobre K. Es la misma construcción que se utiliza para hacer un espacio vectorial sobre un campo más grande, a saber, el producto tensor $V_F:=V otimes_K F$ . Así que si A es un álgebra sobre K, entonces $A_F$ es un álgebra sobre F.

Tipos de álgebras y ejemplos

Las álgebras sobre campos vienen en muchos tipos diferentes. Estos tipos se especifican insistiendo en algunos axiomas adicionales, como la conmutatividad o la asociatividad de la operación de multiplicación, que no se requieren en la definición amplia de álgebra. Las teorías correspondientes a los diferentes tipos de álgebras suelen ser muy diferentes.

Álgebra unitaria

Un álgebra es unital o unitaria si tiene una unidad o elemento de identidad I con Ix = x = xI para todo x en el álgebra.

Álgebra cero

Un álgebra se llama álgebra cero si uv = 0 para todo u, v en el álgebra, que no debe confundirse con el álgebra de un elemento. Es inherentemente no unitario (excepto en el caso de un solo elemento), asociativo y conmutativo.

Se puede definir un álgebra unital cero tomando la suma directa de los módulos de un campo (o más generalmente un anillo) K y un K-espacio vectorial (o módulo) V, y definiendo que el producto de cada par de elementos de V sea cero. Es decir, si λ, μ ∈ K y u, v ∈ V, luego (λ + u) (μ + v) = λμ + (λv + μu). Si e₁,... e_d es una base de V, el álgebra de cero unitario es el cociente del anillo polinomial K[ E₁,..., E_n] por el ideal generado por la E_iE_j para cada par (i, j).

Un ejemplo de álgebra de cero unitario es el álgebra de números duales, el álgebra de cero unitario R construida a partir de un espacio vectorial real unidimensional.

Estas álgebras unitales cero pueden ser más útiles en general, ya que permiten traducir cualquier propiedad general de las álgebras a propiedades de espacios vectoriales o módulos. Por ejemplo, Bruno Buchberger introdujo la teoría de las bases de Gröbner para ideales en un anillo polinomial R = K[x₁,..., x_n] sobre un campo. La construcción del álgebra unitaria cero sobre un módulo R libre permite extender esta teoría como una teoría de base de Gröbner para submódulos de un módulo libre. Esta extensión permite, para calcular una base de Gröbner de un submódulo, usar, sin ninguna modificación, cualquier algoritmo y cualquier software para calcular bases ideales de Gröbner.

Álgebra asociativa

Ejemplos de álgebras asociativas incluyen

el álgebra de todos n-por-n matrices sobre un campo (o anillo conmutativo) K. Aquí la multiplicación es la multiplicación de matriz ordinaria.
álgebras de grupo, donde un grupo sirve como base del espacio vectorial y la multiplicación de álgebra extiende la multiplicación del grupo.
el álgebra conmutativa K[x] de todos los polinomios sobre K (ver anillo polinomio).
álgebras de funciones, tales como R- álgebra de todas las funciones continuas de valor real definidas en el intervalo [0,1], o C- álgebra de todas las funciones holomorfas definidas en algún conjunto abierto fijo en el plano complejo. Estos también son conmutativos.
Los álgebras de incidencia se construyen en ciertos conjuntos parcialmente ordenados.
álgebras de operadores lineales, por ejemplo en un espacio Hilbert. Aquí la multiplicación de álgebra es dada por la composición de los operadores. Estos álgebras también llevan una topología; muchos de ellos se definen en un espacio de Banach subyacente, que los convierte en álgebras de Banach. Si una involución se da también, obtenemos B*-álgebras y C*-álgebras. Se estudian en análisis funcionales.

Álgebra no asociativa

A álgebra no asociativa (o álgebra distributivasobre un campo K es un K- Espacio de vehículos A equipado con K-bilinear mapa $A times A rightarrow A$ . El uso de "no asociativo" aquí está destinado a transmitir que la asociatividad no se asume, pero no significa que esté prohibido – es decir, significa "no necesariamente asociativo".

Los ejemplos detallados en el artículo principal incluyen:

Espacio euclidiano R³ con multiplicación dada por el producto de la cruz vectorial
Octonions
Álgebras de mentira
Álgebras Jordania
Álgebras alternativas
Álgebras flexibles
Álgebras asociativas de poder

Álgebras y anillos

La definición de un K-álgebra asociativa con unidad también se da con frecuencia de forma alternativa. En este caso, un álgebra sobre un campo K es un anillo A junto con un homomorfismo de anillos

etacolon Kto Z(A),

donde Z(A) es el centro de A. Dado que η es un homomorfismo de anillo, entonces se debe tener que A es el anillo cero o que η es inyectivo. Esta definición es equivalente a la anterior, con multiplicación escalar

Ktimes A to A

dado por

(k,a) mapsto eta(k) a.

Dadas dos tales K-álgebras unitarias A y B, un homomorfismo K-álgebra unitario f: A → B es un homomorfismo de anillos que conmuta con la multiplicación escalar definida por η, que se puede escribir como

f(ka)=kf(a)

para todos $kin K$ y $ain A$ . En otras palabras, el siguiente diagrama comunica:

begin{matrix} && K && \ & eta_A swarrow & , & eta_B searrow & \ A && begin{matrix} f \ longrightarrow end{matrix} && B end{matrix}

Coeficientes de estructura

Para álgebras sobre un cuerpo, la multiplicación bilineal de A × A a A está completamente determinada por la multiplicación de los elementos básicos de A. Por el contrario, una vez que se ha elegido una base para A, los productos de los elementos de la base pueden establecerse arbitrariamente y luego extenderse de manera única a un operador bilineal en A, es decir,, por lo que la multiplicación resultante satisface las leyes del álgebra.

Por lo tanto, dado el campo K, cualquier álgebra de dimensión finita se puede especificar hasta el isomorfismo dando su dimensión (digamos n) y especificando n ³ coeficientes de estructura c_{i,j, k}, que son escalares. Estos coeficientes de estructura determinan la multiplicación en A mediante la siguiente regla:

mathbf{e}_{i} mathbf{e}_{j} = sum_{k=1}^n c_{i,j,k} mathbf{e}_{k}

donde e₁,...,e_n forman un base de A.

Sin embargo, tenga en cuenta que varios conjuntos diferentes de coeficientes de estructura pueden dar lugar a álgebras isomorfas.

En física matemática, los coeficientes de estructura generalmente se escriben con índices superior e inferior, para distinguir sus propiedades de transformación bajo transformaciones de coordenadas. Específicamente, los índices más bajos son índices covariantes y se transforman a través de retrocesos, mientras que los índices superiores son contravariantes, transformándose bajo empujes hacia adelante. Por lo tanto, los coeficientes de estructura a menudo se escriben c_i,j^k, y su regla de definición se escribe usando la notación de Einstein como

e_ie_j = c_i,j^ke_k.

Si aplicas esto a vectores escritos en notación de índice, entonces esto se convierte en

()xy)^k = c_i,j^kxⁱSí.^j.

Si K es solo un anillo conmutativo y no un campo, entonces funciona el mismo proceso si A es un módulo libre sobre K. Si no es así, entonces la multiplicación aún está completamente determinada por su acción en un conjunto que abarca A; sin embargo, las constantes de estructura no se pueden especificar arbitrariamente en este caso, y conocer solo las constantes de estructura no especifica el álgebra hasta el isomorfismo.

Clasificación de álgebras asociativas unitarias de baja dimensión sobre los números complejos

Álgebras asociativas unitarias bidimensionales, tridimensionales y tetradimensionales sobre el campo de los números complejos fueron completamente clasificadas hasta el isomorfismo por Eduard Study.

Existen dos álgebras bidimensionales de este tipo. Cada álgebra consta de combinaciones lineales (con coeficientes complejos) de dos elementos básicos, 1 (el elemento de identidad) y a. De acuerdo con la definición de un elemento de identidad,

textstyle 1 cdot 1 = 1 , quad 1 cdot a = a , quad a cdot 1 = a ,.

Queda por especificar

textstyle a a = 1

para el primer álgebra,

textstyle a a = 0

para el segundo álgebra.

Existen cinco álgebras tridimensionales de este tipo. Cada álgebra consta de combinaciones lineales de tres elementos básicos, 1 (el elemento de identidad), a y b. Teniendo en cuenta la definición de un elemento de identidad, es suficiente especificar

textstyle a a = a , quad b b = b , quad a b = b a = 0

para el primer álgebra,

textstyle a a = a , quad b b = 0 , quad a b = b a = 0

para el segundo álgebra,

textstyle a a = b , quad b b = 0 , quad a b = b a = 0

para el tercer álgebra,

textstyle a a = 1 , quad b b = 0 , quad a b = - b a = b

para el cuarto álgebra,

textstyle a a = 0 , quad b b = 0 , quad a b = b a = 0

para el quinto álgebra.

La cuarta de estas álgebras no es conmutativa y las demás son conmutativas.

Generalización: álgebra sobre un anillo

En algunas áreas de las matemáticas, como el álgebra conmutativa, es común considerar el concepto más general de un álgebra sobre un anillo, donde un anillo conmutativo R reemplaza el campo K. La única parte de la definición que cambia es que se supone que A es un módulo R (en lugar de un espacio vectorial K).

Álgebras asociativas sobre anillos

Un anillo A es siempre un álgebra asociativa sobre su centro, y sobre los enteros. Un ejemplo clásico de un álgebra sobre su centro es el álgebra de división-biquaternion, que es isomorfo a ${displaystyle mathbb {H} times mathbb {H} }$ , el producto directo de dos álgebras de quaternion. El centro de ese anillo es ${mathbb {R}}times {mathbb {R}}$ , y por lo tanto tiene la estructura de un álgebra sobre su centro, que no es un campo. Tenga en cuenta que el álgebra de biquaternión es también naturalmente un 8-dimensional $mathbb {R}$ - álgebra.

En álgebra conmutativa, si A es un anillo conmutativo, luego cualquier homomorfismo de anillo unitario $R to A$ define un R- Estructura del módulo A, y esto es lo que se conoce como R- estructura álgebra. Así que un anillo viene con un natural $mathbb {Z}$ - estructura modulada, ya que se puede tomar el homomorfismo único ${displaystyle mathbb {Z} to A}$ . Por otro lado, no todos los anillos se pueden dar la estructura de un álgebra sobre un campo (por ejemplo, los enteros). See Campo con un elemento para una descripción de un intento de dar a cada anillo una estructura que se comporta como un álgebra sobre un campo.

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