Álgebra simétrica

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En matemáticas, el álgebra simétrica $S (V)$ (también denotado < span class="texhtml">Sym(V)) en un espacio vectorial $V$ sobre un campo $K$ es un álgebra conmutativa sobre $K$ que contiene $V$ y, en cierto sentido, es mínimo para esta propiedad. Aquí, "mínimo" significa que $S (V)$ satisface la siguiente propiedad universal: para cada aplicación lineal $f$ de $V$ a un álgebra conmutativa $A$ , existe un homomorfismo de álgebra único $g : S (V) \to A$ tal que $f = g \circ i$ , donde $i$ es el mapa de inclusión de $V$ en $S (V)$ .

Si $B$ es una base de $V$ , el álgebra simétrica $S (V)$ puede identificarse, mediante un isomorfismo canónico, para el anillo polinomial $K [B]$ , donde los elementos de $B$ se consideran indeterminados. Por lo tanto, el álgebra simétrica sobre $V$ puede verse como una ecuación "libre de coordenadas" anillo polinomial sobre $V$ .

El álgebra simétrica $S (V)$ se puede construir como el cociente del álgebra tensorial $T (V)$ por el ideal bilateral generado por los elementos de la forma $x \otimes y - y \otimes x$ .

Todas estas definiciones y propiedades se extienden naturalmente al caso en el que $V$ es un módulo (no necesariamente libre) sobre un anillo conmutativo.

Construcción

Del álgebra tensorial

Es posible utilizar el álgebra tensor $T () V)$ para describir el álgebra simétrica $S () V)$ . De hecho, $S () V)$ se puede definir como el álgebra cociente de $T () V)$ por el ideal de dos caras generado por los conmutadores ${displaystyle votimes w-wotimes v.}$

Es sencillo verificar que el álgebra resultante satisface la propiedad universal declarada en la introducción. Debido a la propiedad universal del álgebra tensor, un mapa lineal $f$ desde $V$ a un álgebra conmutativa $A$ se extiende a un homomorfismo álgebra ${displaystyle T(V)rightarrow A}$ , qué factores a través $S(V)$ porque $A$ es comunicativo. The extension of $f$ a un homomorfismo álgebra ${displaystyle S(V)rightarrow A}$ es único porque $V$ genera $A$ como $K$ - álgebra.

Esto también resulta directamente de un resultado general de la teoría de categorías, que afirma que la composición de dos funtores adjuntos izquierdos también es un functor adjunto izquierdo. Aquí, el funtor olvidadizo de álgebras conmutativas a espacios vectoriales o módulos (olvidando la multiplicación) es la composición de los funtores olvidadizos de álgebras conmutativas a álgebras asociativas (olvidando la conmutatividad), y de álgebras asociativas a vectores o módulos (olvidando la multiplicación). Como el álgebra tensorial y el cociente de los conmutadores se dejan adjuntos a estos funtores olvidadizos, su composición queda adjunta al funtor olvidadizo del álgebra conmutativa a vectores o módulos, y esto demuestra la propiedad universal deseada.

Del anillo polinómico

El álgebra simétrica $S (V)$ también se puede construir a partir de anillos polinomiales.

Si $V$ es una $K$ -espacio vectorial o un módulo K libre, con una base $B$ , sea $K [B]$ sea el anillo polinómico que tiene los elementos de $B$ como indeterminados. Los polinomios homogéneos de grado uno forman un espacio vectorial o un módulo libre que puede identificarse con $V$ . Es sencillo verificar que esto hace que $K [B]$ sea una solución al problema universal planteado en la introducción. Esto implica que $K [B]$ y $S (V)$ son canónicamente isomórficos y, por lo tanto, pueden identificarse. Esto también resulta inmediatamente de consideraciones generales de la teoría de categorías, ya que los módulos libres y los anillos polinomiales son objetos libres de sus respectivas categorías.

Si $V$ es un módulo que no es gratuito, se puede escribir ${displaystyle V=L/M,}$ Donde $L$ es un módulo gratuito, y $M$ es un submodulo de $L$ . En este caso, uno tiene

{displaystyle S(V)=S(L/M)=S(L)/langle Mrangle}

Donde ${displaystyle langle Mrangle }$ es el ideal generado por $M$ . (Aquí, los signos iguales significan la igualdad hasta un isomorfismo canónico). De nuevo esto se puede probar mostrando que uno tiene una solución de la propiedad universal, y esto puede ser hecho ya sea por una computación directa pero aburrida, o mediante la teoría de la categoría, y más específicamente, el hecho de que un cociente es la solución del problema universal para los morfismos que mapa a cero un subconjunto dado. (Dependiendo del caso, el núcleo es un subgrupo normal, un submodulo o un ideal, y la definición habitual de los cocientes se puede ver como una prueba de la existencia de una solución del problema universal.)

Calificación

El álgebra simétrica es un álgebra graduada. Es decir, es una suma directa.

{displaystyle S(V)=bigoplus ¿Qué?

Donde ${displaystyle S^{n}(V),}$ llamado $n$ potencia simétrica $V$ , es el subespacial vectorial o submodulo generado por los productos de $n$ elementos de $V$ . (La segunda potencia simétrica ${displaystyle S^{2}(V)}$ a veces se llama cuadrado simétrico de $V$ ).

Esto puede ser probado por diversos medios. Uno sigue de la construcción del álgebra- tensor: ya que el álgebra de tensor está clasificada, y el álgebra simétrica es su cociente por un ideal homogéneo: el ideal generado por todos ${displaystyle xotimes y-yotimes x,}$ Donde $x$ y $Sí.$ están dentro $V$ , es decir, homogénea del grado uno.

En el caso de un espacio vectorial o un módulo libre, la gradación es la gradación de los polinomios por el grado total. Un módulo no libre se puede escribir como $L / M$ , donde $L$ es un módulo gratuito de base $B$ ; su álgebra simétrica es el cociente del álgebra simétrica (graduada) de $L$ (un anillo polinomial) por el ideal homogéneo generado por el elementos de $M$ , que son homogéneos de grado uno.

También se puede definir ${displaystyle S^{n}(V)}$ como solución del problema universal para las funciones simétricas n-linear desde $V$ en un espacio vectorial o un módulo, y luego verificar que la suma directa de todos ${displaystyle S^{n}(V)}$ satisface el problema universal para el álgebra simétrica.

Relación con tensores simétricos

Como el álgebra simétrica de un espacio vectorial es un cociente del álgebra tensorial, un elemento del álgebra simétrica no es un tensor y, en particular, no es un tensor simétrico. Sin embargo, los tensores simétricos están fuertemente relacionados con el álgebra simétrica.

A tensor simétrico grado $n$ es un elemento $T n () V)$ que es invariable bajo la acción del grupo simétrico ${displaystyle {Mathcal {S}_{n}}$ Más precisamente, dado ${displaystyle sigma in {matcal {S}_{n},}$ la transformación ${displaystyle v_{1}otimes cdots otimes v_{n}mapsto v_{sigma (1)}otimes cdots otimes v_{sigma (n)}}$ define un endomorfismo lineal $T n () V)$ . Un tensor simétrico es un tensor invariante bajo todos estos endomorfismos. Los tensores simétricos de grado $n$ forma un subespacio vectorial (o módulo) $Sym n () V \subset T n () V)$ . El tensores simétricos son los elementos de la suma directa ${displaystyle textstyle bigoplus ¿Por qué?$ que es un espacio vectorial de grado (o un módulo de grado). No es un álgebra, ya que el producto tensor de dos tensores simétricos no es simétrico en general.

Vamos. ${displaystyle pi _{n}$ ser la restricción a $Sym n () V)$ de la subjeción canónica ${displaystyle T^{n}(V)to S^{n}(V).}$ Si $n!$ es invertible en el campo de tierra (o anillo), entonces ${displaystyle pi _{n}$ es un isomorfismo. Este es siempre el caso con un campo de tierra de la característica cero. El isomorfismo inverso es el mapa lineal definido (en productos de $n$ vectores) por la simetría

{displaystyle v_{1}cdots v_{n}mapsto {fnMicroc {1} {n}}sum _{sigma in S_{n}v_{sigma (1)}otimes cdots otimes v_{sigma (n)}.}

El mapa ${displaystyle pi _{n}$ no es inyectable si la característica es menor que $n$ +1; por ejemplo ${displaystyle pi _{n}(xotimes y+yotimes x)=2xy}$ es cero en la característica dos. Sobre un anillo de la característica cero, ${displaystyle pi _{n}$ puede ser no subjetivo; por ejemplo, sobre los enteros, si $x$ y $Sí.$ son dos elementos linealmente independientes $V = S 1 () V)$ que no están $2 V$ Entonces ${displaystyle xynot in pi _{n}(operatorname {Sym} ^{2}(V)),}$ desde entonces ${displaystyle {frac {1}{2}}(xotimes y+yotimes x)not in operatorname {Sym} ^{2}(V). }$

En resumen, sobre un campo de característica cero, los tensores simétricos y el álgebra simétrica forman dos espacios vectoriales graduados isomórficos. Por lo tanto, pueden identificarse sólo en lo que respecta a la estructura del espacio vectorial, pero no pueden identificarse tan pronto como se trate de productos. Además, este isomorfismo no se extiende a los casos de campos de característica positiva y anillos que no contienen números racionales.

Propiedades categóricas

Dado un módulo $V$ sobre un anillo conmutativo $K$ , el álgebra simétrica $S (V)$ se puede definir mediante la siguiente propiedad universal:

Por todos

K

- mapa lineal

f

desde

V

a un conmutador

K

- álgebra

A

, hay un único

K

- homomorfismo álgebra

{displaystyle g:S(V)to A}

tales que

{displaystyle f=gcirc i,}

Donde

i

es la inclusión de

V

dentro

S () V)

Como para toda propiedad universal, en cuanto existe una solución, ésta define únicamente el álgebra simétrica, hasta un isomorfismo canónico. De ello se deduce que todas las propiedades del álgebra simétrica pueden deducirse de la propiedad universal. Esta sección está dedicada a las principales propiedades que pertenecen a la teoría de categorías.

El álgebra simétrica es un functor de la categoría de $K$ -módulos a la categoría de $K$ - álgebra mutua, ya que la propiedad universal implica que cada módulo homomorfismo ${displaystyle f:Vto W}$ se puede extender únicamente a un homomorfismo álgebra ${displaystyle S(f):S(V)to S(W).}$

La propiedad universal se puede reformular diciendo que el álgebra simétrica es un adjunto izquierdo del funtor olvidadizo que envía un álgebra conmutativa a su módulo subyacente.

Álgebra simétrica de un espacio afín

Se puede construir de manera análoga el álgebra simétrica en un espacio afín. La diferencia clave es que el álgebra simétrica de un espacio afín no es un álgebra graduada, sino un álgebra filtrada: se puede determinar el grado de un polinomio en un espacio afín, pero no sus partes homogéneas.

Por ejemplo, dado un polinomio lineal en un espacio vectorial, se puede determinar su parte constante evaluando en 0. En un espacio afín, no hay un punto distinguido, por lo que no se puede hacer esto (elegir un punto convierte un espacio afín en un espacio vectorial).

Analogía con álgebra exterior

Los S^k son funtores comparables a las potencias exteriores; aquí, sin embargo, la dimensión crece con k; esta dado por

{displaystyle operatorname {dim} (S^{k}(V)={binom {n+k-1}{k}}}

Donde n es la dimensión de V. Este coeficiente binomial es el número de n- monomiales variables de grado k. De hecho, el álgebra simétrica y el álgebra exterior aparecen como los componentes isotípicos de la representación trivial y signo de la acción de ${displaystyle S_{n}$ actuando en el producto tensor ${displaystyle V^{otimes No.$ (por ejemplo en el campo complejo)

Como álgebra de Hopf

Al álgebra simétrica se le puede dar la estructura de un álgebra de Hopf. Consulte Álgebra tensorial para obtener más detalles.

Como álgebra envolvente universal

El álgebra simétrica S(V) es el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie abeliana, es decir, aquella en la que el corchete de Lie es idénticamente 0.

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