Álgebra de mentira

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Espacio vectorial con una operación binaria que satisfaga la identidad Jacobi

En matemáticas, a Lie algebra (pronunciado LEE) es un espacio vectorial ${mathfrak {g}}$ junto con una operación llamada Soporte para minusválidos, un mapa bilineal alternativo ${displaystyle {mathfrak {g}}times {mathfrak {g}}rightarrow {mathfrak {g}}}$ , que satisface la identidad Jacobi. El soporte Lie de dos vectores $x$ y $y$ es denotado $[x,y]$ . El espacio vectorial ${mathfrak {g}}$ junto con esta operación es un álgebra no asociativa, lo que significa que el soporte Lie no es necesariamente asociativo.

Las álgebras de Lie están estrechamente relacionadas con los grupos de Lie, que son grupos que también son variedades suaves: cualquier grupo de Lie da lugar a un álgebra de Lie, que es su espacio tangente en la identidad. Por el contrario, para cualquier álgebra de Lie de dimensión finita sobre números reales o complejos, hay un grupo de Lie conectado correspondiente único hasta cubiertas finitas (tercer teorema de Lie). Esta correspondencia permite estudiar la estructura y clasificación de los grupos de Lie en términos de álgebras de Lie.

En física, los grupos de Lie aparecen como grupos de simetría de sistemas físicos, y sus álgebras de Lie (vectores tangentes cerca de la identidad) pueden considerarse como movimientos de simetría infinitesimales. Por lo tanto, las álgebras de Lie y sus representaciones se utilizan ampliamente en física, especialmente en mecánica cuántica y física de partículas.

Un ejemplo elemental es el espacio de vectores tridimensionales ${displaystyle {mathfrak {g}}=mathbb {R} ^{3}}$ con el funcionamiento del soporte definido por el producto cruzado ${displaystyle [x,y]=xtimes y.}$ Esto es simétrico de puerco desde ${displaystyle xtimes y=-ytimes x}$ , y en lugar de la asociación satisface la identidad Jacobi:

{displaystyle xtimes (ytimes z) = (xtimes y)times z + ytimes (xtimes z).}

Este es el álgebra Lie del grupo Lie de rotaciones del espacio, y cada vector ${displaystyle vin mathbb {R} ^{3}}$ se puede imaginar como una rotación infinitesimal alrededor del eje $v$ , con velocidad igual a la magnitud $v$ . El soporte Lie es una medida de la no-commutatividad entre dos rotaciones: ya que una rotación se comunica con sí mismo, tenemos la propiedad alternada ${displaystyle [x,x]=xtimes x=0}$ .

Historia

El álgebra de Lie se introdujo para estudiar el concepto de transformaciones infinitesimales por Marius Sophus Lie en la década de 1870, y Wilhelm Killing las descubrió de forma independiente en la década de 1880. El nombre Álgebra de mentira fue dado por Hermann Weyl en la década de 1930; en textos más antiguos, se usa el término grupo infinitesimal.

Definiciones

Definición de un álgebra de Lie

A Lie algebra es un espacio vectorial $,{mathfrak {g}}$ sobre algunos campos $F$ junto con una operación binaria ${displaystyle [,cdot ,,cdot ,]:{mathfrak {g}}times {mathfrak {g}}to {mathfrak {g}}}$ llamado el soporte Lie que satisface los siguientes axiomas:

Bilinearidad,

{displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],}

{displaystyle [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}

para todos los escalares

a

b

dentro

F

y todos los elementos

x

, $y$ , $z$ dentro

{mathfrak {g}}

Alternatividad,

[x,x]=0

para todos

x

dentro

{mathfrak {g}}

La identidad Jacobi,

{displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0 }

para todos

x

, $y$ , $z$ dentro

{mathfrak {g}}

Utilizando bilinearidad para ampliar el soporte Lie $[x+y,x+y]$ y el uso de la alternancia muestra que $[x,y]+[y,x]=0$ para todos los elementos $x$ , $y$ dentro ${mathfrak {g}}$ , mostrando que la bilinearidad y la alternancia juntos implican

Anticomunidad,

{displaystyle [x,y]=-[y,x], }

para todos los elementos

x

, $y$ dentro

{mathfrak {g}}

. Si la característica del campo no es 2 entonces la anticommutatividad implica la alternancia, ya que implica

{displaystyle [x,x]=-[x,x].}

Es habitual denotar un álgebra de Lie por una carta de fraktur inferior de caso como ${displaystyle {mathfrak {g,h,b,n}}}$ . Si un álgebra Lie está asociado con un grupo Lie, entonces el álgebra es denotado por la versión fraktur del grupo: por ejemplo el álgebra Lie de SU(n) es ${mathfrak {su}}(n)$ .

Generadores y dimensión

Elementos de un álgebra de Lie ${mathfrak {g}}$ se dice para generarlo si el subalgebra más pequeño que contiene estos elementos es ${mathfrak {g}}$ en sí mismo. El dimensión de un álgebra de Lie es su dimensión como un espacio vectorial sobre $F$ . La cardinalidad de un conjunto mínimo de generación de un álgebra de Lie es siempre menos o igual a su dimensión.

Consulte la clasificación de álgebras de Lie reales de baja dimensión para ver otros pequeños ejemplos.

Subálgebras, ideales y homomorfismos

El soporte de Lie no es necesario para ser asociativo, lo que significa que $[[x,y],z]$ no es igual $[x,[y,z]]$ . Sin embargo, es flexible. Sin embargo, gran parte de la terminología de anillos asociativos y álgebras se aplica comúnmente a los álgebras Lie. A Lie subalgebra es un subespacio ${mathfrak {h}}subseteq {mathfrak {g}}$ que se cierra bajo el soporte Lie. An ideal ${displaystyle {mathfrak {i}}subseteq {mathfrak {g}}}$ es un subalgebra que satisface la condición más fuerte:

{displaystyle [{mathfrak {g}},{mathfrak {i}}]subseteq {mathfrak {i}}.}

Un homomorfismo de álgebra de Lie es un mapa lineal compatible con los corchetes de Lie respectivos:

{displaystyle phi:{mathfrak {g}}to {mathfrak {g'}},quad phi ([x,y])=[phi (x),phi (y)] {text{for all}} x,yin {mathfrak {g}}.}

En cuanto a anillos asociativos, los ideales son precisamente los núcleos de homomorfismos; dado un álgebra de Lie ${mathfrak {g}}$ ideal ${displaystyle {mathfrak {i}}}$ en ella, uno construye el factor álgebra o álgebra cociente ${displaystyle {mathfrak {g}}/{mathfrak {i}}}$ , y el primer isomorfismo teorema sostiene para los álgebras de Lie.

Puesto que el soporte de Lie es una especie de conmutador infinitesimal del grupo correspondiente de Lie, decimos que dos elementos ${displaystyle x,yin {mathfrak {g}}}$ coma si su corchete desaparece: ${displaystyle [x,y]=0}$ .

El subalgebra centralizador de un subconjunto ${displaystyle Ssubset {mathfrak {g}}}$ es el conjunto de elementos que se comunican con $S$ Es decir, ${displaystyle {mathfrak {z}}_{mathfrak {g}}(S)={xin {mathfrak {g}} mid [x,s]=0 {text{ for all }}sin S}}$ . El centralizador de ${mathfrak {g}}$ en sí mismo centro ${displaystyle {mathfrak {z}}({mathfrak {g}})}$ . Del mismo modo, para un subespacial S, el subalgebra normalizador de $S$ es ${displaystyle {mathfrak {n}}_{mathfrak {g}}(S)={xin {mathfrak {g}} mid [x,s]in S {text{ for all}} sin S}}$ . Equivalentemente, si $S$ es un Subalgebra Lie, ${displaystyle {mathfrak {n}}_{mathfrak {g}}(S)}$ es el subalgebra más grande tal que $S$ es un ideal ${displaystyle {mathfrak {n}}_{mathfrak {g}}(S)}$ .

Ejemplos

Para ${displaystyle {mathfrak {d}}(2)subset {mathfrak {gl}}(2)}$ , el conmutador de dos elementos ${displaystyle gin {mathfrak {gl}}(2)}$ y ${displaystyle din {mathfrak {d}}(2)}$ :

${displaystyle {begin{aligned}left[{begin{bmatrix}a&b\c&dend{bmatrix}},{begin{bmatrix}x&0\0&yend{bmatrix}}right]&={begin{bmatrix}ax&by\cx&dy\end{bmatrix}}-{begin{bmatrix}ax&bx\cy&dy\end{bmatrix}}\&={begin{bmatrix}0&b(y-x)\c(x-y)&0end{bmatrix}}end{aligned}}}$

espectáculos ${displaystyle {mathfrak {d}}(2)}$ es un subalgebra, pero no un ideal. De hecho, cada subespacio lineal unidimensional de un álgebra Lie tiene un abelian inducido Lie algebra estructura, que generalmente no es un ideal. Para cualquier álgebra simple de Lie, todos los álgebras de Lie abelian nunca pueden ser ideales.

Suma directa y producto semidirecto

Para dos álgebras Lie ${displaystyle {mathfrak {g^{}}}}$ y ${mathfrak {g'}}$ , su suma directa Lie algebra es el espacio vectorial ${mathfrak {g}}oplus {mathfrak {g'}}$ consistente en todos los pares ${displaystyle {mathfrak {}}(x,x'),,xin {mathfrak {g}}, x'in {mathfrak {g'}}}$ , con la operación

{displaystyle [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']),}

para que las copias de ${displaystyle {mathfrak {g}},{mathfrak {g}}'}$ Comuníquese entre sí: ${displaystyle [(x,0),(0,x')]=0.}$

Vamos ${mathfrak {g}}$ ser un álgebra de Lie y ${mathfrak {i}}$ un ideal ${mathfrak {g}}$ . Si el mapa canónico ${mathfrak {g}}to {mathfrak {g}}/{mathfrak {i}}$ divisiones (es decir, admite una sección), luego ${mathfrak {g}}$ se dice que es un producto semidirecto ${mathfrak {i}}$ y ${mathfrak {g}}/{mathfrak {i}}$ , ${displaystyle {mathfrak {g}}={mathfrak {g}}/{mathfrak {i}}ltimes {mathfrak {i}}}$ . Vea también suma semidirecta de álgebras Lie.

El teorema de Levi dice que un álgebra de Lie de dimensión finita es un producto semidirecto de su subálgebra radical y complementaria (subálgebra de Levi).

Derivaciones

Una derivación en el álgebra de Lie ${mathfrak {g}}$ (o en cualquier álgebra no asociativa) es un mapa lineal ${displaystyle delta colon {mathfrak {g}}rightarrow {mathfrak {g}}}$ que obedece a la ley Leibniz, es decir,

delta ([x,y])=[delta (x),y]+[x,delta (y)]

para todos ${displaystyle x,yin {mathfrak {g}}}$ . El derivación interna asociado a cualquier $xin {mathfrak {g}}$ es la cartografía conjunta $mathrm {ad} _{x}$ definidas por ${displaystyle mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]}$ . (Esto es una derivación como consecuencia de la identidad Jacobi.) El derivaciones externas son derivaciones que no vienen de la representación conjunta del álgebra Lie. Si ${mathfrak {g}}$ es semisimple, cada derivación es interior.

Las derivaciones forman un espacio vectorial $mathrm {Der} ({mathfrak {g}})$ , que es un Subalgebra de Lie ${mathfrak {gl}}({mathfrak {g}})$ ; el soporte es conmutador. Las derivaciones internas forman un Subalgebra de Lie de $mathrm {Der} ({mathfrak {g}})$ .

Ejemplos

Por ejemplo, dado un álgebra Lie ideal ${displaystyle {mathfrak {i}}subset {mathfrak {g}}}$ la representación conjunta ${displaystyle {mathfrak {ad}}_{mathfrak {g}}}$ de ${mathfrak {g}}$ actúa como derivación externa en ${mathfrak {i}}$ desde entonces ${displaystyle [x,i]subset {mathfrak {i}}}$ para cualquier $xin {mathfrak {g}}$ y ${displaystyle iin {mathfrak {i}}}$ . Para el álgebra de Lie ${displaystyle {mathfrak {b}}_{n}}$ de matrices triangulares superiores ${displaystyle {mathfrak {gl}}(n)}$ , tiene un ideal ${displaystyle {mathfrak {n}}_{n}}$ de matrices triangulares estrictamente superiores (donde los únicos elementos no cero están por encima de la diagonal de la matriz). Por ejemplo, el conmutador de elementos en ${displaystyle {mathfrak {b}}_{3}}$ y ${displaystyle {mathfrak {n}}_{3}}$ da

${displaystyle {begin{aligned}left[{begin{bmatrix}a&b&c\0&d&e\0&0&fend{bmatrix}},{begin{bmatrix}0&x&y\0&0&z\0&0&0end{bmatrix}}right]&={begin{bmatrix}0&ax&ay+bz\0&0&dz\0&0&0end{bmatrix}}-{begin{bmatrix}0&dx&ex+yf\0&0&fz\0&0&0end{bmatrix}}\&={begin{bmatrix}0&(a-d)x&(a-f)y-ex+bz\0&0&(d-f)z\0&0&0end{bmatrix}}end{aligned}}}$

muestra que existen derivaciones externas de ${displaystyle {mathfrak {b}}_{3}}$ dentro ${displaystyle {text{Der}}({mathfrak {n}}_{3})}$ .

Álgebra de mentira dividida

Vamos V ser un espacio vectorial de dimensiones finitas sobre un campo F, ${mathfrak {gl}}(V)$ el Álgebra de Lie de transformaciones lineales y ${displaystyle {mathfrak {g}}subseteq {mathfrak {gl}}(V)}$ a Lie subalgebra. Entonces... ${mathfrak {g}}$ se dice que división si las raíces de los polinomios característicos de todas las transformaciones lineales en ${mathfrak {g}}$ están en el campo base F. Más generalmente, un álgebra de Lie dimensional finito ${mathfrak {g}}$ se dice que se dividirá si tiene un subalgebra de Cartan cuya imagen bajo la representación conjunta ${displaystyle operatorname {ad}:{mathfrak {g}}to {mathfrak {gl}}({mathfrak {g}})}$ es un álgebra de Lie dividida. Una forma real dividida de un álgebra semisimple de Lie compleja (cf. #Forma real y complejidad) es un ejemplo de un álgebra de Lie real dividida. Vea también dividir Álgebra Lie para más información.

Base del espacio vectorial

Para cálculos prácticos, a menudo es conveniente elegir una base de espacio vectorial explícita para el álgebra. Una construcción común para esta base se esboza en las constantes de estructura del artículo.

Definición usando notación teórica de categorías

Aunque las definiciones anteriores son suficientes para una comprensión convencional de las álgebras de Lie, una vez que se entiende esto, se puede obtener una comprensión adicional mediante el uso de la notación común a la teoría de categorías, es decir, mediante la definición de un álgebra de Lie en términos de mapas lineales, que es decir, morfismos de la categoría de espacios vectoriales, sin considerar elementos individuales. (En esta sección, se supone que el campo sobre el que se define el álgebra tiene una característica diferente de dos).

Para la definición teorética de la categoría de álgebras de Lie, se necesitan dos isomorfismos trenzados. Si $A$ es un espacio vectorial, el intercambio isomorfismo ${displaystyle tau:Aotimes Ato Aotimes A}$ se define por

{displaystyle tau (xotimes y)=yotimes x.}

El ciclic-permutation braiding ${displaystyle sigma:Aotimes Aotimes Ato Aotimes Aotimes A}$ se define como

{displaystyle sigma =(mathrm {id} otimes tau)circ (tau otimes mathrm {id}),}

Donde $mathrm{id}$ es el morfismo de identidad. Equivalentemente, $sigma$ se define por

{displaystyle sigma (xotimes yotimes z)=yotimes zotimes x.}

Con esta notación, un álgebra Lie se puede definir como un objeto $A$ en la categoría de espacios vectoriales junto con un morfismo

[cdotcdot ]:Aotimes Arightarrow A

que satisface las dos igualdades de morfismos

{displaystyle [cdotcdot ]circ (mathrm {id} +tau)=0,}

{displaystyle [cdotcdot ]circ ([cdotcdot ]otimes mathrm {id})circ (mathrm {id} +sigma +sigma ^{2})=0.}

Ejemplos

Espacios vectoriales

Cualquier espacio vectorial $V$ dotado con el idéntico cero El soporte de mentira se convierte en un álgebra de Lie. Tal Álgebras de mentira se llaman abelian, cf. abajo. Cualquier dimensión El álgebra de mentira sobre un campo es abeliano, por la propiedad alternada del soporte de Lie.

Álgebra asociativa con soporte conmutador

En un álgebra asociativa $A$ sobre un terreno $F$ con multiplicación $(x,y)mapsto xy$ , un soporte de Lie puede ser definido por el conmutador $[x,y]=xy-yx$ . Con este soporte, $A$ es un álgebra de Lie. El álgebra asociativa A se llama envolviendo álgebra del álgebra de Lie ${displaystyle (A,[,cdot ,,cdot ,])}$ . Cada uno El álgebra de mentira se puede incrustar en uno que surge de un álgebra asociativa en esta manera; ver álgebra universal envolviendo.
El álgebra asociativa de los endomorfismos de un F- Espacio de vehículos $V$ con lo anterior El soporte de mentira está denotado ${mathfrak {gl}}(V)$ .
Para un espacio vectorial finito ${displaystyle V=F^{n}}$ , el ejemplo anterior es exactamente el álgebra de Lie n × n matrices, denotadas ${displaystyle {mathfrak {gl}}(n,F)}$ o ${mathfrak {gl}}_{n}(F)$ , y con soporte ${displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ donde la adyacencia indica multiplicación de matriz. Este es el álgebra de Lie del grupo lineal general, que consiste en matrices invertibles.

Matrices especiales

Dos subalgebras importantes de ${mathfrak {gl}}_{n}(F)$ son:

Las matrices de traza cero forman el álgebra lineal especial Lie ${mathfrak {sl}}_{n}(F)$ , el álgebra de Lie del grupo lineal especial ${displaystyle mathrm {SL} _{n}(F)}$ .
Las matrices skew-hermitian forman el álgebra de Lie unitaria ${displaystyle {mathfrak {u}}(n)}$ , el álgebra de Lie del grupo unitarioU()n).

Álgebras de mentira de matrices

Un grupo de matriz complejo es un grupo de Lie compuesto de matrices, ${displaystyle Gsubset M_{n}(mathbb {C})}$ , donde la multiplicación de G es multiplicación de matriz. El álgebra correspondiente de Lie ${mathfrak {g}}$ es el espacio de matrices que son vectores tangentes a G dentro del espacio lineal $M_{n}({mathbb {C}})$ : esto consiste en derivados de curvas lisas en G en la identidad:

${displaystyle {mathfrak {g}}={X=c'(0)in M_{n}(mathbb {C}) mid {text{ smooth }}c:mathbb {R} to G, c(0)=I}.}$

El corchete Lie de ${mathfrak {g}}$ es dado por el conmutador de matrices, ${displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ . Dado el álgebra de Lie, se puede recuperar el grupo Lie como la imagen de la matriz de mapeo exponencial ${displaystyle exp:M_{n}(mathbb {C})to M_{n}(mathbb {C})}$ definidas por ${displaystyle exp(X)=I+X+{tfrac {1}{2!}}X^{2}+cdots }$ , que converge para cada matriz $X$ Es decir, ${displaystyle G=exp({mathfrak {g}})}$ .

Los siguientes son ejemplos de álgebras de Lie de grupos de matrices de Lie:

El grupo lineal especial ${displaystyle {rm {SL}}_{n}(mathbb {C})}$ , que consiste en todos $n \times n$ matrices con determinante 1. Su Álgebra de Lie ${mathfrak {sl}}_{n}(mathbb {C})$ consta de todo $n \times n$ matrices con entradas complejas y traza 0. Del mismo modo, se puede definir el grupo de Lie real correspondiente ${displaystyle {rm {SL}}_{n}(mathbb {R})}$ y su Lie algebra ${mathfrak {sl}}_{n}({mathbb {R}})$ .
El grupo unitario ${displaystyle U(n)}$ consta de n×n matrices unitarias ${displaystyle U^{*}=U^{-1}}$ ). Su álgebra de Lie ${mathfrak {u}}(n)$ consiste en matrices juntónicas (skew-self-adjoint matrices) ${displaystyle X^{*}=-X}$ ).
El grupo ortogonal especial $mathrm {SO} (n)$ , que consiste en matrices ortogonales determinantes reales (uno) ${displaystyle A^{mathrm {T} }=A^{-1}}$ ). Su álgebra de Lie $mathfrak{so}(n)$ consiste en matrices simétricas de skew real ( ${displaystyle X^{rm {T}}=-X}$ ). El grupo ortogonal completo $mathrm{O}(n)$ , sin la condición determinante-uno, consta de $mathrm {SO} (n)$ y un componente conectado separado, por lo que tiene el igual Álgebra de Lie como $mathrm {SO} (n)$ . Vea también rotaciones infinitesimal con matrices simétricas. Del mismo modo, se puede definir una versión compleja de este grupo y álgebra, simplemente permitiendo entradas de matriz complejas.

Dos dimensiones

En cualquier campo $F$ hay, hasta el isomorfismo, un solo nonabeliano bidimensional Lie algebra. Con generadores x, y, su corchete se define como ${displaystyle left[x,yright]=y}$ . Genera el grupo affine en una dimensión.

Esto puede ser realizado por las matrices:

{displaystyle x=left({begin{array}{cc}1&0\0&0end{array}}right),qquad y=left({begin{array}{cc}0&1\0&0end{array}}right).}

Desde

{displaystyle left({begin{array}{cc}1&c\0&0end{array}}right)^{n+1}=left({begin{array}{cc}1&c\0&0end{array}}right)}

para cualquier número natural $n$ y cualquier $c$ , uno ve que el resultado Los elementos del grupo de mentira son matrices triangulares superiores 2×2 con diagonal inferior unidad:

{displaystyle exp(acdot {}x+bcdot {}y)=left({begin{array}{cc}e^{a}&{tfrac {b}{a}}(e^{a}-1)\0&1end{array}}right)=1+{tfrac {e^{a}-1}{a}}left(acdot {}x+bcdot {}yright).}

Tres dimensiones

El álgebra de Heisenberg ${displaystyle {rm {H}}_{3}(mathbb {R})}$ es un tridimensional Álgebra de mentira generada por elementos $x$ , $Sí.$ , y $z$ con corchetes Lie

{displaystyle [x,y]=z,quad [x,z]=0,quad [y,z]=0}

Por lo general se realiza como el espacio de 3×3 matrices estrictamente superiores-triangulares, con el conmutador corchete Lie y la base

x=left({begin{array}{ccc}0&1&0\0&0&0\0&0&0end{array}}right),quad y=left({begin{array}{ccc}0&0&0\0&0&1\0&0&0end{array}}right),quad z=left({begin{array}{ccc}0&0&1\0&0&0\0&0&0end{array}}right)~.quad

Cualquier elemento del grupo Heisenberg tiene una representación como producto de generadores de grupos, es decir, exponenciales de matriz de estos Generadores de álgebra,

left({begin{array}{ccc}1&a&c\0&1&b\0&0&1end{array}}right)=e^{by}e^{cz}e^{ax}~.

El álgebra de Lie ${mathfrak {so}}(3)$ del grupo SO(3) es abarcado por las tres matrices

{displaystyle F_{1}=left({begin{array}{ccc}0&0&0\0&0&-1\0&1&0end{array}}right),quad F_{2}=left({begin{array}{ccc}0&0&1\0&0&0\-1&0&0end{array}}right),quad F_{3}=left({begin{array}{ccc}0&-1&0\1&0&0\0&0&0end{array}}right)~.quad }

Las relaciones de conmutación entre estos generadores son

{displaystyle [F_{1},F_{2}]=F_{3},}

{displaystyle [F_{2},F_{3}]=F_{1},}

{displaystyle [F_{3},F_{1}]=F_{2}.}

El espacio euclidiano tridimensional

mathbb {R} ^{3}

con el soporte de Lie dado por el producto de la cruz de los vectores tiene las mismas relaciones de conmutación como arriba: por lo tanto, es isomorfo

{mathfrak {so}}(3)

. Este álgebra Lie es un equivalente unitariamente a los operadores de componentes de Spin (physics) angular-momentum habituales para partículas spin-1 en mecánica cuántica.

Dimensiones infinitas

Una clase importante de álgebras reales infinitas de Lie surge en la topología diferencial. El espacio de campos vectoriales lisos en un manifold diferente M forma un álgebra Lie, donde el soporte Lie se define como el conmutador de campos vectoriales. Una manera de expresar el soporte de Lie es a través del formalismo de los derivados de Lie, que identifica un campo vectorial X con un operador diferencial parcial de primer orden L_X actuar en funciones lisas dejando L_X()f) ser el derivado direccional de la función f en la dirección de X. El corchete Lie [X,Y] de dos campos vectoriales es el campo vectorial definido a través de su acción sobre funciones por la fórmula:

L_{[X,Y]}f=L_{X}(L_{Y}f)-L_{Y}(L_{X}f).,

Kac-Moody álgebras son una gran clase de infinita dimensión Álgebras de mentira cuya estructura es muy similar a los casos de dimensión finita arriba.
El álgebra Moyal es una dimensión infinita Lie álgebra que contiene todos los álgebras clásicas de Lie como subalgebras.
El álgebra Virasoro es de importancia primordial en la teoría de cuerdas.

Representaciones

Definiciones

Dado un espacio vectorial V, vamos ${mathfrak {gl}}(V)$ denota el álgebra de Lie que consiste de todas las endomorfismos lineales de V, con el corchete dado ${displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ . A representación de un álgebra de Lie ${mathfrak {g}}$ on V es un homomorfismo de álgebra Lie

pi:{mathfrak {g}}to {mathfrak {gl}}(V).

Se dice que una representación es fiel si su núcleo es cero. El teorema de Ado establece que cada álgebra de Lie de dimensión finita tiene una representación fiel en un espacio vectorial de dimensión finita.

Representación adjunta

Para cualquier álgebra de Lie ${mathfrak {g}}$ , podemos definir una representación

{displaystyle operatorname {ad} colon {mathfrak {g}}to {mathfrak {gl}}({mathfrak {g}})}

dado por $operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]$ ; es una representación en el espacio vectorial ${mathfrak {g}}$ llamada la representación conjunta.

Objetivos de la teoría de la representación

Un aspecto importante del estudio de álgebras de Lie (especialmente álgebras de Lie semisimple) es el estudio de sus representaciones. (De hecho, la mayoría de los libros enumerados en la sección de referencias dedican una parte sustancial de sus páginas a la teoría de la representación.) Aunque el teorema de Ado es un resultado importante, el objetivo principal de la teoría de la representación no es encontrar una representación fiel de un dado Lie algebra ${mathfrak {g}}$ . De hecho, en el caso semisimple, la representación conjunta ya es fiel. Más bien el objetivo es entender Todos posible representación ${mathfrak {g}}$ , hasta la noción natural de equivalencia. En el caso semisimple sobre un campo de cero característico, el teorema de Weyl dice que cada representación finita-dimensional es una suma directa de representaciones irreducibles (aquellas sin subespacios invariantes notriviales). Las representaciones irreducibles, a su vez, son clasificadas por un teorema del peso más alto.

Teoría de la representación en física

La teoría de la representación de los álgebras de Lie juega un papel importante en varias partes de la física teórica. Allí se consideran operadores en el espacio de estados que satisfacen ciertas relaciones de conmutación natural. Estas relaciones de conmutación típicamente provienen de una simetría del problema—específicamente, son las relaciones del álgebra de Lie del grupo de simetría relevante. Un ejemplo sería los operadores de impulso angular, cuyas relaciones de conmutación son las del álgebra de Lie ${mathfrak {so}}(3)$ del grupo de rotación SO(3). Típicamente, el espacio de los estados está muy lejos de ser irreducible bajo los operadores pertinentes, pero uno puede intentar descomponerlo en piezas irreducibles. Al hacerlo, uno necesita saber las representaciones irreducibles del álgebra dada de Lie. En el estudio del átomo de hidrógeno cuántico, por ejemplo, los libros de texto de mecánica cuántica dan (sin llamarlo así) una clasificación de las representaciones irreducibles del álgebra de Lie ${mathfrak {so}}(3)$ .

Teoría de estructuras y clasificación

Las álgebras de mentira se pueden clasificar hasta cierto punto. En particular, esto tiene una aplicación a la clasificación de los grupos de Lie.

Abeliana, nilpotente y solucionable

(feminine)

De forma análoga a los grupos abelianos, nilpotentes y solubles, definidos en términos de los subgrupos derivados, se pueden definir álgebras de Lie abelianas, nilpotentes y solubles.

A Lie algebra ${mathfrak {g}}$ es abelian si el soporte de Lie desaparece, es decir [x,Sí.♪ = 0, para todos x y Sí. dentro ${mathfrak {g}}$ . Abelian Álgebras de mentira corresponden a grupos comunicativos (o abelianos) conectados de Lie como espacios vectoriales ${displaystyle mathbb {K} ^{n}}$ o tori ${mathbb {T}}^{n}$ , y son toda la forma ${mathfrak {k}}^{n},$ significa un n-dimensional espacio vectorial con el soporte de mentira trivial.

Una clase más general de álgebras de Lie se define por la desaparición de todos los conmutadores de la longitud dada. A Lie algebra ${mathfrak {g}}$ es nilpotent si la serie central inferior

[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}]>[[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}],{mathfrak {g}}]>[[[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}],{mathfrak {g}}],{mathfrak {g}}]>cdots }" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">g■[g,g]■[[g,g],g]■[[[g,g],g],g]■⋯ ⋯ {fnMitfrak} {fnMithfrak} {fnMithfrak {}}}}}} {mthfrak {}}}} {mthfrak {fnMitfrak} {fnMitfrag}}}}} {fnMithfrak} {cH00}fnMitfrak} {f}} {m} {f}}}}fnMitsssssstrikf}f}fnMitssssssssssssssssssssssstrikf}fnMitssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssstrik}fnMitsssssssssssssssssssssssstrik}fnn[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}]>[[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}],{mathfrak {g}}]>[[[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}],{mathfrak {g}}],{mathfrak {g}}]>cdots " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fbc7736bc5f43a440623e77833ea7de0cfa99fe" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.8ex; height:2.843ex;"/>

se convierte en cero eventualmente. Por el teorema de Engel, un álgebra de Lie es nilpotent si y sólo si por cada u dentro ${mathfrak {g}}$ el endomorfismo

operatorname {ad} (u):{mathfrak {g}}to {mathfrak {g}},quad operatorname {ad} (u)v=[u,v]

es nilpotente.

Más generalmente todavía, un álgebra de Lie ${mathfrak {g}}$ se dice que solvable si la serie derivada:

[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}]>[[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}],[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}]]>[[[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}],[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}]],[[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}],[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}]]]>cdots }" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">g■[g,g]■[[g,g],[g,g]]■[[[g,g],[g,g]],[[g,g],[g,g]]]■⋯ ⋯ {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}]>[[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}],[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}]]>[[[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}],[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}]],[[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}],[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}]]]>cdots " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55be9f812e367366f54c391ec9559604163654ab" style="vertical-align: -0.838ex; width:58.297ex; height:2.843ex;"/>

se convierte en cero eventualmente.

Cada álgebra de Lie de dimensión finita tiene un único ideal maximal resoluble, llamado su radical. Bajo la correspondencia de Lie, los grupos de Lie conectados nilpotentes (respectivamente, solucionables) corresponden a álgebras de Lie nilpotentes (respectivamente, solucionables).

Simple y semisimple

A Lie algebra es "simple" si no tiene ideales no-triviales y no es abeliano. (Esto implica que un álgebra monodimensional —necesariamente abeliana— es por definición álgebra no simple, aunque no tenga ideales notriviales.) A Lie algebra ${mathfrak {g}}$ se llama semisimple si es isomorfo a una suma directa de álgebras simples. Hay varias caracterizaciones equivalentes de álgebras semisimples, tales como no tener ideales solvables no cero.

El concepto de semisimplicidad para las álgebras de Lie está íntimamente relacionado con la reducibilidad completa (semisimplicidad) de sus representaciones. Cuando el campo fundamental F tiene la característica cero, cualquier representación de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple es semisimple (es decir, suma directa de representaciones irreducibles). En general, un álgebra de Lie se llama reductiva si la representación adjunta es semisimple. Por lo tanto, un álgebra de Lie semisimple es reductiva.

Criterio de Cartan

El criterio de Cartan da condiciones para que un álgebra de Lie sea nilpotente, solvable o semisimple. Se basa en la noción de la forma Killing, una forma bilineal simétrica en ${mathfrak {g}}$ definida por la fórmula

K(u,v)=operatorname {tr} (operatorname {ad} (u)operatorname {ad} (v)),

donde tr denota el rastro de un operador lineal. A Lie algebra ${mathfrak {g}}$ es semisimple si y sólo si la forma de matar es nodegenerada. A Lie algebra ${mathfrak {g}}$ es solvable si y sólo si $K({mathfrak {g}},[{mathfrak {g}},{mathfrak {g}}])=0.$

Clasificación

La descomposición de Levi expresa un álgebra de Lie arbitraria como una suma semidirecta de su radical soluble y un álgebra de Lie semisimple, casi de forma canónica. (Tal descomposición existe para un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo de característica cero). Además, las álgebras de Lie semisimples sobre un campo algebraicamente cerrado se han clasificado completamente a través de sus sistemas de raíces.

Relación con los grupos de Lie

El espacio tangente de una esfera en un punto

x

. Si

x

es el elemento de identidad, entonces el espacio tangente es también un álgebra Lie.

Aunque las álgebras de Lie a menudo se estudian por derecho propio, históricamente surgieron como un medio para estudiar los grupos de Lie.

Ahora esbozamos brevemente la relación entre grupos Lie y álgebras Lie. Cualquier grupo de Lie da lugar a un álgebra de Lie determinada canónicamente (concretamente, el espacio tangente en la identidad). Por el contrario, para cualquier álgebra de Lie finite-dimensional ${mathfrak {g}}$ , existe una conexión correspondiente Grupo de mentiras $G$ con álgebra de Lie ${mathfrak {g}}$ . Este es el tercer teorema de Lie; vea la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff. Este grupo de Lie no se determina únicamente; sin embargo, cualquier dos grupos de Lie con el mismo álgebra de Lie son localmente isomorfo, y en particular, tienen la misma cobertura universal. Por ejemplo, el grupo especial de ortogonales SO(3) y el grupo unitario especial SU(2) dan lugar al mismo álgebra Lie, que es isomorfo a $mathbb {R} ^{3}$ con el producto cruzado, pero SU(2) es una tapa doble simplemente conectada de SO(3).

Si lo consideramos simplemente conectado Los grupos de mentira, sin embargo, tenemos una correspondencia única: Para cada (real-dimensional) Lie algebra ${mathfrak {g}}$ , hay un único simplemente conectado Grupo de mentiras $G$ con álgebra de Lie ${mathfrak {g}}$ .

La correspondencia entre las álgebras de Lie y los grupos de Lie se usa de varias maneras, incluso en la clasificación de los grupos de Lie y el tema relacionado de la teoría de la representación de los grupos de Lie. Cada representación de un álgebra de Lie se eleva únicamente a una representación del correspondiente grupo de Lie conectado, simplemente conectado y, a la inversa, cada representación de cualquier grupo de Lie induce una representación del álgebra de Lie del grupo; las representaciones están en correspondencia biunívoca. Por lo tanto, conocer las representaciones de un álgebra de Lie resuelve la cuestión de las representaciones del grupo.

En cuanto a la clasificación, se puede demostrar que cualquier grupo de Lie conectado con un álgebra de Lie dada es isomorfo a la cubierta universal mod un subgrupo central discreto. Así clasificar grupos de Lie se convierte simplemente en una cuestión de contar los subgrupos discretos del centro, una vez que se conoce la clasificación de las álgebras de Lie (resuelto por Cartan et al. en el caso semisimple).

Si el álgebra de Lie es de dimensión infinita, el problema es más sutil. En muchos casos, el mapa exponencial ni siquiera es localmente un homeomorfismo (por ejemplo, en Diff(S¹), uno puede encontrar difeomorfismos arbitrariamente cercanos a la identidad que no son en la imagen de exp). Además, algunas álgebras de Lie de dimensión infinita no son el álgebra de Lie de ningún grupo.

Forma real y complejidad

Dado un complejo Lie algebra ${mathfrak {g}}$ , un verdadero álgebra de Lie $mathfrak{g}_0$ se dice que es un forma real de ${mathfrak {g}}$ si la complejidad ${displaystyle {mathfrak {g}}_{0}otimes _{mathbb {R} }mathbb {C} simeq {mathfrak {g}}}$ es isomorfo a ${mathfrak {g}}$ . Una forma real no necesita ser única; por ejemplo, ${displaystyle {mathfrak {sl}}_{2}mathbb {C} }$ tiene dos formas reales ${displaystyle {mathfrak {sl}}_{2}mathbb {R} }$ y $mathfrak{su}_2$ .

Dado un complejo semisimple finito-dimensional Lie algebra ${mathfrak {g}}$ , a forma dividida es una forma real que se divide; es decir, tiene un subalgebra de Cartan que actúa a través de una representación conjunta con valores reales. Existe una forma dividida y es única (hasta isomorfismos). A forma compacta es una forma real que es el álgebra de Lie de un grupo compacto Lie. Existe una forma compacta y también es única.

Álgebra de mentira con estructuras adicionales

Un álgebra de Lie se puede equipar con algunas estructuras adicionales que se supone que son compatibles con el corchete. Por ejemplo, un álgebra de Lie graduada es un álgebra de Lie con una estructura espacial vectorial graduada. Si también viene con diferencial (de modo que el espacio vectorial graduado subyacente es un complejo en cadena), entonces se llama álgebra de Lie graduada diferencial.

Un álgebra de Lie simplicial es un objeto simplicial en la categoría de álgebras de Lie; en otras palabras, se obtiene reemplazando el conjunto subyacente con un conjunto simplicial (por lo que podría pensarse mejor como una familia de álgebras de Lie).

Anillo de mentira

A Anillo de mentira surge como una generalización de álgebras de Lie, o a través del estudio de la serie central inferior de grupos. Un anillo Lie se define como un anillo nonasociativo con multiplicación que es anticommutante y satisface la identidad Jacobi. Más específicamente podemos definir un anillo de mentira $L$ ser un grupo abeliano con una operación $[cdotcdot ]$ que tiene las siguientes propiedades:

Bilinearidad:

[x+y,z]=[x,z]+[y,z],quad [z,x+y]=[z,x]+[z,y]

para todos x, Sí., z ▪ L.

El Identidad de Jacobi:

[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0quad

para todos x, Sí., z dentro L.

Para todos x dentro L:

[x,x]=0quad

Los anillos de mentira no necesitan ser grupos de mentira bajo adición. Cualquier Álgebra Lie es un ejemplo de un anillo Lie. Cualquier anillo asociativo se puede hacer en un anillo Lie definiendo un operador de soporte $[x,y]=xy-yx$ . Al contrario de cualquier álgebra de Lie hay un anillo correspondiente, llamado el álgebra universal envolvente.

Los anillos de mentira se utilizan en el estudio de p-grupos finitos a través de la correspondencia de Lazard. Los factores centrales inferiores de un grupo p son grupos p abelianos finitos, por lo que los módulos sobre Z/p Z. A la suma directa de los factores centrales inferiores se le da la estructura de un anillo de Lie al definir el soporte como el conmutador de dos coset representantes. La estructura del anillo de Lie está enriquecida con otro homomorfismo de módulo, el mapa de poder pésimo, lo que hace que el anillo de Lie asociado sea el llamado anillo de Lie restringido.

Los anillos de mentira también son útiles en la definición de grupos analíticos p-ádicos y sus endomorfismos mediante el estudio de álgebras de mentira sobre anillos de enteros como los enteros p-ádicos. La definición de grupos finitos de tipo Lie debido a Chevalley implica restringir de un álgebra de Lie sobre los números complejos a un álgebra de Lie sobre los números enteros, y luego reducir el módulo p para obtener un álgebra de Lie sobre un campo finito.

Ejemplos

Cualquier Lie algebra sobre un anillo general en lugar de un campo es un ejemplo de un anillo Lie. Anillos de mentira no Acuéstese grupos bajo adición, a pesar del nombre.
Cualquier anillo asociativo se puede hacer en un anillo Lie definiendo un operador de soporte

{displaystyle [x,y]=xy-yx.}

Por ejemplo, un anillo Lie que surge del estudio de los grupos, déjese $G$ ser un grupo con ${displaystyle [x,y]=x^{-1}y^{-1}xy}$ la operación del conmutador, y dejar $G=G_{0}supseteq G_{1}supseteq G_{2}supseteq cdots supseteq G_{n}supseteq cdots$ ser una serie central $G$ - que es el subgrupo de conmutadores ${displaystyle [G_{i},G_{j}]}$ figura en $G_{i+j}$ para cualquier $i,j$ . Entonces...

L=bigoplus G_{i}/G_{i+1}

es un anillo de Lie con la adición suministrada por la operación del grupo (que es abeliano en cada parte homogénea), y el funcionamiento del soporte dado por

{displaystyle [xG_{i},yG_{j}]=[x,y]G_{i+j} }

extendido linealmente. La centralidad de la serie asegura que el conmutador

[x,y]

da el funcionamiento del soporte las propiedades teóricas de Lie apropiadas.

Observaciones

^ Los corchetes $[,]$ representan una operación bilineal $times$ ; a menudo, es el conmutador: ${displaystyle [x,y]=xy-yx}$ , para un producto asociativo en el mismo espacio vectorial. ¡Pero no necesariamente!
^ Bourbaki (1989, Sección 2.) permite más generalmente un módulo sobre un anillo conmutativo; en este artículo, se llama anillo Lie.

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